DEFINICIÓN: Un vector es un segmento orientado. Todo vector posee un punto origen y un punto extremo. Si por ejemplo su origen es el punto a

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2 VECTORES EN EL ESPACIO En Fís mhs sn ls nepts, tles m ferzs, elddes, desplzments, qe n peden ser determnds pr n ún númer rel qe es neesr ner s dreón sentd. Ests mgntdes, llmds mgntdes etrles, sn representds pr elements gemétrs nds n el nmre de etres. El estd de etres en el pln l hz desrrlld nterrmente en s frm gemétr en s frm nlít. Ahr efetrems el estd de ls etres en el esp DEFINICIÓN: Un etr es n segment rentd. Td etr psee n pnt rgen n pnt etrem. S pr ejempl s rgen es el pnt s etrem el pnt, el etr se ndrá n n sl letr mnúsl n rr rr fleh. Es der: Ls etres se rterzn pr tener: Módl: es l dstn entre el pnt rgen el etrem, es der l medd del segment rentd. Se smlz: send Dreón: es l de l ret qe ntene l etr lqer de ss prlels. Sentd: es el ndd pr l pnt de n fleh. Pr ejempl s el etr tene pr etrem el pnt, l pnt de l fleh estrá en él. GENERALIDADES Al njnt de tds ls etres del esp trdmensnl l ntrems V. P O L I T E C N I C O

3 Vetres Mtemát Dd n segment, se llm etr lre l njnt de tds ls etres qe tenen gl módl, dreón sentd qe, nld el prp. En l ses será ndstnt trjr n lqer de ls elements de dh njnt. Se llm etr nl se smlz, l etr módl es er. Es der. Este etr pr tener módl er, se rede n pnt, pr l l ree de dreón sentd. En símls: es el etr nl Ds etres n nls sn prlels nd tenen l msm dreón. En símls: // dreón de dreón de Ds etres sn gles nd tenen módl er nd pseen gl dreón, sentd módl. Dd n etr lqer n nl, se llm etr pest de se smlz tr etr qe tene gl módl dreón qe Se llm ersr td etr de módl n. En símls: es n ersr per sentd pest., OPERACIONES EN V SUMA DEFINICIÓN: Dds ls etres V se tene de l sgente mner: V A prtr de n pnt p lqer, se tm, denmnms etr sm tr etr qe pq n rgen en q, se tm qs etr n rgen en p etrem en s, pq, se l denmn etr sm de. Es der: pq, l P O L I T E C N I C O

4 Ejempl: Dds ls etres: El etr sm será: q s + p PROPIEDADES ; ; V S) Cnmtt: + = + S) Ast: ( + ) + = + ( + ) S) Esten del element netr: V / + = S4) Esten del pest: - V / + (- ) = DIFERENCIA DEFINICIÓN: Dds ls etres V V, denmnms etr dferen qe se tene smnd l prmer el pest del segnd. Es der: Ejempl: Dds ls etres: El etr dferen será: tr etr PRÁCTICA. Dds ; determn gráfmente de md qe = P O L I T E C N I C O

5 Vetres Mtemát. Dds ; del gráf epres ; w en fnón de ; = w = w = PRODUCTO DE UN VECTOR DE V POR UN NÚMERO REAL (O ESCALAR) DEFINICIÓN: Se denmn prdt de n etr pr n eslr ( númer rel) tr etr w tl qe: w w // s w sentd w sentd s sentd w sentd s s Ejempl: w = - w - PROPIEDADES ; V ; R; R P) = P) ( + ) = + P) ( + ) = + P4) ( ) = ( ) 4 P O L I T E C N I C O

6 VERSOR ASOCIADO AL VECTOR DEFINICIÓN Dd n etr n nl, llmms ersr sd l etr l smlzms, l etr de módl n qe tene gl dreón sentd qe. TEOREMA S es n etr lqer n nl,del esp, entnes es s ersr sd. Demstrón Pr demstrr qe es el ersr sd, deerems prr qe es de módl n qe tene gl dreón sentd qe. dreón sentd de de () () dreón () () () sentd de de es el ersr sd () Defnón de Prdt de n etr de V pr n rel () Defnón de lr slt de n númer pst. Cm R () R P O L I T E C N I C O 5

7 Vetres Mtemát CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE VECTORES TEOREMA Ds etres n nls, sn prlels s sól s este n númer rel tl qe. En símls: S : // R tl qe Demstrón ) () () // dreón de dreón de R tl qe ) () R tl qe // () defnón de etres prlels () S () (4) () defnón de prdt de n etr pr n númer (4) Cm ÁNGULO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: Dds ls etres n nls se denmn ángl entre ls etres se nd l ángl ne entre ; (es der ) pr ells determnd l ser plds n rgen en el msm pnt. Ejempl: 6 P O L I T E C N I C O

8 PRÁCTICA. Cmplet según rrespnd, send etres n nls. sn ángls.... d. sn ángls sn ángls. sn ángls. 4. S setrz de ál es l medd de d n de ls sgentes ángls?. d.. w e. (-w). (-) f. ( )( ) w 5. Epl pr qé l sgente frmón es fls. VECTOR PROYECCIÓN DEFINICIÓN: s k, k Z Dds ls etres n nls l ser plds ms n rgen en n msm pnt p es psle trzr pr el etrem de n de ells, n perpendlr l dreón del tr tenéndse el pnt q m ndn ls fgrs. Cs ) Cs ) Cs ) p ' q p q ' q ' p Al ne etr pq se l denmn etr preón de sre se nd: ' pq etr pr P O L I T E C N I C O 7

9 Vetres Mtemát Ls fgrs lstrn ls tres ss psles ) ) ' gl sentd ' dstnt sentd ) ' gl l etr nl ( ) S nsderms l ersr de gl dreón sentd qe, este sempre n númer tl qe: Send ' '. > en el s ) < en el s ) = en el s ) Al númer l llmrems preón de sre TEOREMA Dds ls etres n nls, l preón de sre, es gl l prdt del módl de pr el sen del ángl determnd pr. En símls: S ' pr s N se efetrá l demstrón en el presente rs PRÁCTICA 6. Cll, en d s, l. 5º pr. 9º send qe. 45º 7. Send qe pr º determn. 8 P O L I T E C N I C O

10 P O L I T E C N I C O 9 PRODUCTO ESCALAR O INTERNO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: Dds ds etres, se llm prdt eslr ntern entre ls etres, se smlz, l númer: s s s PROPIEDADES, R se mplen ls sgentes prpeddes: PE) Demstrón: s s () () () s PE) PE).. PE4) Demstrón: (4) () (). s PE5) : S (ndón de perpendlrdd entre etres n nls) () Defnón de Prdt Eslr () Prpedd nmtt de l mltplón () s = (4) Defnón de ptenón

11 P O L I T E C N I C O Vetres Mtemát Demstrón: s 9º ) 9º s s ) Nt: Pede demstrrse qe pr PRÁCTICA 8. Send, determn: Send qe, 4 6, ll:... d. e.. Epl pr qé l sgente frmón es fls.. Determn el ángl qe frmn, send qe 5 5 ; 5 4.

12 PRODUCTO VECTORIAL ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: Dds ds etres se l smlz de V, se denmn prdt etrl entre, l etr tl qe: dreón de sentd de es el tend sen perpendlr l pln snd regl de l mn dereh () determnd pr s s () Regl de l mn dereh El sentd de está dd pr l regl de l mn dereh. L msm nsste en: se l l mn dereh etendd n el plgr seprd de ls tr deds nds, hend ndr el prmer etr del prdt ( ) en dreón sentd n ess tr deds leg dhs deds grn h trés del ángl. El sentd de está determnd pr l dreón del ded plgr. Es der, el etr pnt en el msm sentd qe el plgr. Gráfmente reslt: P O L I T E C N I C O

13 P O L I T E C N I C O Vetres Mtemát PROPIEDADES V ; R; R, se mplen ls sgentes prpeddes: PV) Demstrón: // S el resltd es edente En s ntrr, reslt qe sn etres pests, qe : tenen l msm dreón pr ser ms perpendlres l pln determnd pr. El sentd de es pest l sentd de tlznd l regl de l mn dereh PV) PV).. PV4) S : // (prpedd de etres prlels n nls) Demstrón: ) Cnsderms qe ls etres n sn prlels / / sen sen S Est es srd prqe híms spest qe n ern prlels ls etres Pr l tnt, pr // s, ) // pr defnón de prdt etrl

14 TEOREMA 4 Dds ls etres ; n prlel, entnes es el áre del prlelgrm pqrs, send pq ps Demstrón áre pqrs =. h ( ) sen h () sen h. sen ( ) p q h s r () defnón de prdt etrl PRÁCTICA. S.., determn:. d.. Send qe 5.,, ll:.. 4 d. 4. Dds ls etres, demestr qe el etr es perpendlr 5. Send qe 4, 4, ll P O L I T E C N I C O

15 Vetres Mtemát PRODUCTO MIXTO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: Dds ds etres ; de V, se denmn el prdt mt entre ; l númer qe se tene hend. Prpeddes Ntems qe el prdt mt erf tds ls prpeddes del prdt eslr. TEOREMA 5 S ; ; ; n prlel ; n plnres entnes lmen del prlelepíped determnd pr ls etres ;. Demstrón etr pr () s, () () s, sp. de l se ltr () defnón de prdt eslr () prpedd del lr slt () prpeddes del prdt etrl defnón de rznes trgnmétrs s, lmen del prlelepí ped () S TEOREMA 6 n prlel ; ; N se relzrá l demstrón en el presente rs sn plnres PRÁCTICA 6. Cll send ; ;, 6 ; 6 ;. 4 P O L I T E C N I C O

16 SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO ORTONORMAL Dd n pnt lqer del esp (rgen de rdends), en él plds tres ersres ; j k perpendlres ds ds, l njnt ; ; j; k se l denmn sstem de referen rtnrml en el esp. Denmnrems m: ejes rdends ; z d n de ls rets qe ntenen d n de ls ersres ; j k, respetmente. plns rdends ; z e z, ls plns qe ntenen ls ejes e, ls eje z ls eje z, respetmente. Gráfmente reslt: z k j pnt fj j k j j k k ;; j;k sstem de referen rtnrml en el esp DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR DEFINICIÓN: Llmrems etr psón td etr n rgen en el rgen de rdends. Dd n sstem de referen ;; j;k n pnt p p ;p; p prlel k, ést rt l pln en n pnt qe llmrems p. Cm n msm pln, reslt: Pr tr prte, p' p p j ()., s pr p trzms n ret p ', j están en p p' p' p p'p // k p'p pk p p' pk () De () (), pdems nlr qe: p p p j pk P O L I T E C N I C O 5

17 Vetres Mtemát Gráfmente reslt: DEFINICIONES: z p Llmms: l epresón p p p j pk epresón nón p p p k k j p p j p p rtesn del etr p. l tern rdend de númers p ;p; p mpnentes eslres del etr p en el sstem ;; j;k. ls etres p ; p j p k se ls llm mpnentes etrles de p. PRÁCTICA 7. En n sstem de referen ;; j;k d (4; ; ). p 8. Dd el etr psón p ;p ; ls pnts: (;; ) ; (; ;) ; ( ; ;) p demestr qe p p p p VECTORES IGUALES Ls etres ; ; sn gles. En símls: ; ; sn gles s sl s ss mpnentes OPERACIONES ENTRE VECTORES EN FUNCIÓN DE SUS COMPONENTES SUMA Dds ls etres ( ; ; ) ( ; ; ), el etr sm se tene: ; ; ; ; ; ; 6 P O L I T E C N I C O

18 PROPIEDADES ; V S) Cnmtt: = S) Ast: = S) Esten del element netr: ; ; V / DIFERENCIA S4) Esten del pest: - V / Dds ls etres ( ; ; ) ( ; ; ), el etr dferen se tene: PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR ; ; ; - ; - ; ; Dds el etr ( ; ; ) el númer, el etr prdt de pr se tene: PROPIEDADES ; ; ; ; ; V ; R; R P) P) ( ) = + Demstrón Dds ls etres ( ; ; ) ( ; ; ) el númer : () ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; () () Sm de etres en mpnentes () Prdt de n eslr pr n etr en mpnentes () Prpedd dstrt del prdt n respet l sm en ls númers reles () () () P O L I T E C N I C O 7

19 Vetres Mtemát PRÁCTICA P) ( + ) = + P4) ( ) = ( ) 9. Send (; ; ) ; (4; ; ) ( 5 ; ; 5), determn:.. 5. d. ( ) COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTOR NO POSICIÓN TEOREMA Dds ls pnts p (;;z ) p (;;z) entnes ls mpnentes eslres de sn ; ; z. z p p Demstrón Rerdnd l defnón prpeddes de l sm entre etres l epresón nón de n etr psón, reslt: z p pp p pp p p pp ( j zk) ( j zk) pp ( ) ( )j (z z )k de dnde ls mpnentes eslres de p p sn: ; ; z z k p j p PRÁCTICA. Send ( ;5; ) (; ; ) j k, determn:. Ls mpnentes etrles de.. Ls rdends del pnt med del segment.. Un etr lnel n de módl. 8 P O L I T E C N I C O

20 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DETERMINADO POR DOS PUNTOS TEOREMA Dds ls pnts p (;;z ) ; p (;;z) el pnt m, pnt med m del segment p p, entnes ls rdends de m sn z z ; ; Demstrón p Cm m es el pnt med de p p pm mp, reslt: Llmnd ( m ;m;zm) ls rdends de m tlznd el terem, pdems esrr: ( m ; m ; zm z ) ( m ; m ; z zm ) Leg, ds etres sn gles s ss mpnentes sn gles, es der: p m z m m m z z z m m m z m m m z z z m m m z z Reemplznd en Ejempl m ( m ; m ; z m ) reslt m ; z ; z Dds ls pnts p (; ; ) p (;5; ), entnes: Ls mpnentes eslres de p p sn p p ( ; 7; 4). L epresón nón de p p es p p 7j 4 k. L dstn entre ls pnts p p el módl de p p es d(p ;p ) p p ( ) 7 ( 4) 66. Ls rdends del pnt med del segment p p sn m ; ;. P O L I T E C N I C O 9

21 Vetres Mtemát PRÁCTICA. Determn ls mpnentes del etr en d s... z z k ( ; 4 ; ) ( 4 ; ; ) ( ; 5 ; ) k ( 4 ; ; ) j j. Cll ls medds de ls lds del trángl pqr s értes sn ls pnts p(; ; ) ; q(5; ; ) r ( ;; ) es el trángl pqr sóseles? Jstf l respest.. Determn ls rdends de ls pnts smétrs de (; ; 4) ; (; ; ) (;; ). respet l pln rdend.. respet l eje.. respet l rgen de rdends. 4. Dds ls pnts (4; ; ) ( ; ;) en n ;; j;k. ls mpnentes eslres de /. determn:. ls rdends de m, send m el pnt med del segment. 5. Dd ls pnts (; 4; ) ( ; ;5), determn el pnt med del segment. 6. Un etr tene módl ss ds prmers mpnentes sn 4, en ese rden; Cál es l terer mpnente? este ún slón? 7. Un etr de módl 5 tene ls tres mpnentes gles áles sn? PRODUCTO ESCALAR se tene de l sgente mner: Dds ls etres ; ; ; ;, el prdt eslr entre Aplnd prpeddes del prdt eslr, pdems demstrr l fórml nterr de l sgente mner:. P O L I T E C N I C O

22 ( j k) ( j k) () ( ) (k ) ( j) (k j) ( k) () (k k) (j ) (j j) (j k) () plnd prpeddes del prdt eslr. () Cndón de prlelsm perpendlrdd de etres j j j / / PRÁCTICA j k j k k j k k k 8. Dds ls etres (; ; ) ( ; ; 4).. el ángl qe frmn dhs etres j / / j k / / k j j, determn: k k 9. Cáles de ls sgentes pres de etres sn perpendlres?. ( ; ;) (;;5). ( ; ;) (; ;). ( 5;;) (;;). Dds ls etres mj k sen:. Prlels. Ortgnles - 4j mk, hll m pr qe ls etres. Determn s ls pnts p(; ;) ; q (;; ) r(4;7; 6) están lneds.. Demestr: es n etr del esp, entnes ; j. qe s ; ; k. qe l preón de n etr sre ls ersres de n ;; j;k. S en ;; j;k mpnentes del etr en dh sstem. es (; ;), determn:. etr pr. etr pr. etr pr j k sn ls P O L I T E C N I C O

23 Vetres Mtemát 4. Dds q( ;; ) p (; ;) en ;; j;k. L epresón nón de qp.. qp pq, determn: / ( ; ; ) es perpendlr pq d. pr pq send ( ; ;) COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR DEFINICIONES: Llmrems: ángls dretres de n etr, respet de n sstem ;; j;k, ls ángls qe el etr frm n d n de ls ersres del sstem. sens dretres de n etr, respet de n sstem ;; j;k, d n de ls sens de ls ángls dretres. Ejempl: z Dds el etr, tenems: ángls dretres de : sens dretres de : ; j k s ; s s k j PRÁCTICA 5.. Demestr qe: S ; ;, entnes s ; s j s k. Determn ss sens dretres del etr ( ; ; ). 6. Pre qe:. S ; ;. S ; ;, entnes s s j s k, entnes s ; sj ; sk P O L I T E C N I C O

24 7. Determn el etr de módl 5 qe frm ángls gles n ls ersres ; j k. 8. Send qe ls sens dretres de n etr sn s módls 5, ll ls mpnentes del etr. 6 PRODUCTO VECTORIAL s ; s ; se tene de l sgente mner: Dds ls etres ; ; ; ; ( - ) ( - ) j ( ) k, el prdt etrl entre Aplnd prpeddes del prdt etrl, pdems demstrr l fórml nterr de l sgente mner:. ( j k) ( j k) () ( ) ( j) ( k) (j ) (j j) (j k) () (k ) (k j) (k k) k ( j) ( k) j (-) ( - ) ( - ) j ( ) k () plnd prpeddes del prdt etrl. () Defnón de prdt etrl j k j k // j // j j j k // k k k A md de ejempl demstrrems qe k tene gl dreón, sentd módl. k j k j j k k j j k. Pr est deerems prr qe j Módl: j j sen j k j k P O L I T E C N I C O

25 Vetres Mtemát Dreón: dreón j k Sentd: perpendlr l pln perpendlr l pln k // j dr j dr k Aplnd l regl de l mn dereh pdems nlr qe: sentd j sentd k De l nterr pdems nlr qe j k qe tenen gl módl, dreón sentd. Cm regl nemtén pr rerdr l últm fórml pdems empler el sgente esqem: ( PRÁCTICA j k ) j ( j k () ) k ( () () ) Cd n de ls epresnes ndds en ( ) se denmnn determnntes de rden ds s áll se relz de l sgente mner: d d 9. Dds ls etres (; ; ) (; ; ). Ls mpnentes de. determn:. ( ) ( ) d. ( j) ( k) 4. Dds ls etres j k k, hll. Ls mpnentes de n etr perpendlr ms.. El áre del prlelgrm qe ells determnn. 4. Hll ls mpnentes del ersr perpendlr ls etres ( ;; 5) ( ; ; ) smltánemente. este ún slón? 4. S w ; w º 4, determn:. w w e. w w 4 P O L I T E C N I C O

26 . w f. w. ( w ) ( w) g. w d. ( w ) (w ) h. w w 4 4. Hll el ls etres de módl perpendlr ls etres (; - ; ) d (; 4; ) smltánemente. 44. Dds ls etres (; ;) (; ; 4). pr. pr, determnr: 45. Determn ls mpnentes de ; ; send ; ; ; ; 5 send qe es prlel l etr,, 64 es ts. 46. Determn s ls etres ;; ; ; ; w ; 9; sn plnres. 47. Hll el lr de pr qe ls etres ; - 5; ; 7; 4; ;4; plnres. 48. Hll n etr de l msm dreón qe ; ; w ; 4; n prlelgrm de áre gl 5. w sen tl qe frme n TEOREMAS DE ADICIÓN Mednte el áll del prdt eslr en mpnentes se pede tener, trjnd n etres en el pln, n nd resltd de trgnmetrí qe reln el sen de l dferen de ds ángls n el sen el sen de ess ángls. Csen de l dferen de ds ángls Cnsderems n sstem de rdends en el pln ls ángls, n értes en el rgen ld nl sre el sentd pst del eje, m mestr l fgr. Cn entr en el rgen del sstem trzms n rnferen de rd (rnferen trgnmétr). Ést nterse ls lds fnles de en ls pnts ( ; ) ( ; ), respetmente. P O L I T E C N I C O 5

27 Vetres Mtemát De este md resltn: s ; sen ; s ; sen s α j sen α s j sen Cm es el ángl entre ls etres, tenems: s. s s sen sen Es der: s s s sen sen Oserón: s en ls ángls, qe fgrn en el gráf qe relzms, sn del prmer segnd drnte, ls nlsnes sn ndependentes de es stón. Al trjr lgermente l relón qe tms pr el sen de l dferen de ds ángls, se peden tener ls sgentes resltds. Tds ells el nterr, en trgnmetrí se denmnn Terems de dón. Csen de l sm de ds ángls: s Sen de l dferen de ds ángls: sen Sen de l sm de ds ángls: sen s s sen sen sen s s sen sen s s sen 6 P O L I T E C N I C O

28 PRÁCTICA: 49. A prtr de ls epresnes nds del sen ( ) s ( ) tene n epresón pr tg ( ) en fnón de tg tg. 5. Verf ls sgentes dentddes: ) sen =. sen.s ) s = 4 sen.s ) s = s - sen 5. Verdder fls?.jstf l respest. ) tg 5º = - ) sen( +) sen (- ) = s. sen ) + sen = (sen + s ) 5. Cll s( ), s sen =-, tg =,send del terer drnte TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO En rss nterres plste ls defnnes de sen, sen tngente de n ángl gd en l reslón de trángls retángls. S emrg se peden presentr prlems en ls qe se neesr tener medd de ángls lds de n trángl n retángl(lángls) En ests ss sn útles ls terems del sen del sen En : TEOREMA DEL SENO En td trángl ls lngtdes de ls lds sn prprnles ls sens de ls ángls pests P O L I T E C N I C O 7

29 Vetres Mtemát sen sen sen send ; Demstrón Cnsderems el prlelgrm p determnd pr n l dgnl. el ndente α β δ Cm Áre p Entnes sen Áre () El áre del tmén se pede llr sí: Iglnd () () sen sen de dnde sen sen Áre () De l msm frm se pede llr el áre del : sen (*) sen Áre sen sen () Leg se gl () n () se tene sen (**) sen Fnlmente de (*) (**) sen sen sen 8 P O L I T E C N I C O

30 TEOREMA DEL COSENO El drd de l lngtd de n ld de n trángl es gl l sm de ls drds de ls lngtdes de ls trs ds lds, mens el dle prdt de ss lngtdes pr el sen del ángl qe determnn En el :, s s s Demstrón Se demstrrá l prmer de ls glddes nterres En : Pr l tnt : Aplms prpedd dstrt del prdt eslr respet de l sm De dnde s Oserón En el s prtlr en qe es ret, el resltd nterr se trnsfrm en el nd Terem de Ptágrs s pr ser Pr este mt el Terem del sen se l ne n el nmre de Terem de Ptágrs Generlzd. P O L I T E C N I C O 9

31 Vetres Mtemát RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Qé sgnf resler n trángl lqer? Enntrr ls medds de ls lds ángls del trángl, prtr de determnds dts tlznd fórmls de l Trgnmetrí qe nlen ls dts. En est prtndd ns dedrems llr medds de lds ángls de trángls lángls, qe en ñs nterres se h trjd n trángls retángls. Pr ests trángls sn útles ds prpeddes qe hems st: Terem del sen Terem del sen. S en pr resler n trángl neestms tener determnd nfrmón sre ss lds ángls, ls rters de ngren de trángls ns permtrán segrr qé dts, en prtlr, deems ner pr resler el trángl: Cs : n ld ds ángls dentes él. Cs : ds lds el ángl pest l mr de ells. C A Cs : ds lds el ángl mprendd. Cs 4 : tres lds. B Vems, prtr de n stón prlemát, qé rre s tenems pr dts ds lds el ángl pest l menr de ells? Pedes nstrr n trángl, send qe tene n ángl, el ld 6 A, pest dh ángl mde tr ld B = 8? Intentems nstrrl: Cmenems trznd el Pr determnr el érte, llems reslt:, plnd el Terem de ls sens, sí 8 sen 8 A B B sen. 6 4 sen sen sen sen sen A Qé rre?, En est stón ns h qedd B.sen A Es der: A B.sen Gemétrmente: d B. sen P O L I T E C N I C O

32 Leg pr determnr el érte, qe es n pnt de l d trzms n r de rnferen de rd de medd A n entr en Cm A B.sen, ns qed: El n se pede nstrr A B. sen Entnes qé ndón dee mplr A n respet B.sen pr qe est? Desde qe A B.sen Cnsderems hr, dds el gd ls medds A B de ds segments. Pr nstrrl, en d s, prederems trzr el. Leg pr determnr el érte, trzms n r de rnferen n entr rd de medd A. S: B. sen = A, este n trángl, retángl en A B. sen B.sen < A, en est stón, esten ds trángls A A B. sen En síntess, serms qe en este s, se peden presentr stnes en ls qe esten ds trángls, n trángl nngún trángl, pr tl mt se l ne n el nmre de Cs mg P O L I T E C N I C O

33 Vetres Mtemát PRÁCTICA 5. Se n prlelgrm s dgnles mden m 5 m respetmente frmn entre ells n ángl de 4º. Cll el perímetr el áre del prlelgrm. 54. Pr hllr l ltr de n gl erstát, relzms ls mednes ndds en l fgr. ) Cánt dst el gl del pnt? ) Cánt dst el gl del pnt? ) A qé ltr está el gl? 55. Ds rreters rets dergen frmnd n ángl de 65º. Ds tmóles slen de l nterseón ls 4 hs, n j 5 km/h el tr km/h. Qé dstn ls sepr ls 4: hs? 56. Determn el áre de n trángl de lds m; 8 m 4 m. 57. Jl Aníl tenen ss ss en el mp n dstn de 5m. Ams dsn n helópter lnd en líne ret entre ells. Jl l e n n ángl de eleón de 8º Aníl está n dstn de 6m del helópter. En ese nstnte qé ltr está el helópter qe dstn se enentr de Jl? 58. Ds pájrs qe están sre ds rms dstnts de n árl dsn n frt del sel. Al msm temp se lnzn sre él en líne ret per n dstnts elddes llegn ls ds jnts. El de l rm más lt est 6m del frt el tr, 4m. S el ángl qe frmn ls tretrs de d n es de 6º, n ests dts se pede ergr qe dstn sepr ls pájrs ánd estn en ls rms?. Jstf 59. Determn l medd de del trpe sóseles, según ls dts de l fgr g 9º h 75º 7º 6º m º d 6m 5º BIBLIOGRAFÍA Apnte de Vetres en el Esp. Atrs: Nemí Lgre Betn Cttne Mtemát II. Edtrl Sntlln. Atrs: Bshzz,Fng,Gnzález L Lgre Lenes de Alger Gemetrí Anlít. Atres: Ad Msó Rert López P O L I T E C N I C O