Teoría y ejercicios de Matemáticas II. Geometría

Transcripción

1 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores 4. VECTORES En rsos nterores hemos sto l ent qe tene pr el estdo de l geometrí nlít del plno el onomento del állo etorl En este tem nos ntrodmos en el állo de los etores en el espo; llo qe en tems posterores plremos l geometrí nlít del espo poándonos tmén en ls herrments qe nos proporon el álger mednte ls mtres los determnntes. 4. VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO Llmmos etor fo en el pnto B AB l segmento orentdo qe tene s orgen en el pnto A s etremo Semos de otros rsos qe n etor es l representón de n mgntd etorl es der n mgntd determnón pres demás de ntdd o módlo ndd omo ls mgntdes eslres de dreón sentdo pnto de plón En l representón de l mgntd etorl por medo de n etor ndmos el -módlo por l longtd del segmento AB -l dreón por l dreón de l ret qe ps por los pntos A B -el sentdo por el reorrdo desde A hst B -el pnto de plón por l stón del pnto A Pr qe dos etores fos sen gles deen ondr ests tro rterísts Los etores o módlo es gl ero se denomnn etores nlos se dmte qe todos ellos tene l msm dreón sentdo. En el onnto de los etores fos del espo podemos ntrodr l relón de eqpolen: Dos etores fos no nlos son eqpolentes s tene el msmo módlo l msm dreón el msmo sentdo 4. VECTORES LIBRES L relón de eqpolen defnd en el pnto nteror es n relón de eqlen qe es : -refle: todo etor es eqpolente s msmo eqpolente l etor -smétr: s el etor AB AB es eqpolente l etor CD entones el etor CD es - 4 -

2 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores eqpolente l etor - trnst : s el etor EF entones el etor AB es eqpolente l entro AB es eqpolente l etor CD el etor EF CD es De est form s elegmos n etor son eqpolentes on él. AB este etor pede representr todos los etores qe Llmmos etor lre d n de ls lses de eqlen en qe lsfmos el onnto de los etores l ntrodr n relón de eqlen Así pes n etor lre no es n etor sno n onnto de etores qe tene el msmo módlo l msm dreón el msmo sentdo. Est onnto de etores se represent por lqer de los etores qe formn el onnto. Los etores nterores son todos ellos eqpolentes por lo qe formn n lse de eqlen. Clqer de ellos por eemplo el pede ser representnte de todo el grpo. Así pes los etores lres se peden plr en lqer pnto sempre qe no se me s módlo s dreón n s sentdo. 4.. Operones on etores lres ) sm : Pr otener l sm de sm de los etores se d el etor ontnón el etor ; nendo el orgen del etor on el fnl del etor otenemos el etor sm

3 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores ) Prodto de n eslr por n etor lre S mltplmos n número por n etor otenemos n etor qe tene l msm dreón del etor el msmo sentdo o sentdo ontrro según se posto o negto el número s módlo será 4.. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Demos qe n etor es omnón lnel de otros L n no todos nlos tles qe: L n n L n s esten n números Se de entones qe el etor depende lnelmente de L n S n etor no depende lnelmente de otros se de qe es lnelmente ndependente. Reslt fál er qe pr qe dos etores sen lnelmente dependentes deen tener l msm dreón

4 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores Lego dos etores son lnelmente ndependentes s tene dstnt dreón De l msm form tres etores son lnelmente dependentes s están en e n msmo plno qe en este so sempre podemos enontrr dos etores en l dreón de ellos qe smdos nos den el terer etor. Como emos en el do los etores son lnelmente dependentes. Por l msm rón pr qe tres etores sen lnelmente ndependentes no tenen qe estr los tres en el msmo plno S los etores L n son lnelmente ndependentes lqer otro etor es omnón lnel de ellos se de qe el onnto de etores L n es n se n de V en l representmos por V n el onnto de etores qe podemos epresr omo omnón lnel de n etores lnelmente ndependentes

5 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores form Dd n se oordends del etor L n en V n lqer otro etor podrá epresrse en l L n n ; los números L n se les llms ls en l se L n De est form elegd n se d etor le podemos her orresponder únmente los L n. n números reles ( ) 4. COORDENADAS CARTESIANAS DE UN VECTOR S en V elegmos tres etores lnelmente ndependentes tendremos n se pr todos los etores. Lógmente podrímos elegr n número nfnto de ses pr representr lqer etor. Por s mportn geométr elegmos omo se tres etores d no de los les tene módlo ndd dreón l de tres ees perpendlres entre sí sentdo ontrro l de l stón del érte omún : De form qe los etores ellos pede otener omo omnón lnel de los otros dos ) tenen por qe formn l se ( oserr qe nngno de

6 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores L se oordends ( 0 0) ( 0 0 ) ( 0 0 ) sí defnd se llm se nón de Ddo n etor de V podemos representrlo omo omnón lnel de los etores de l se nón omo se e en l fgr V ( ) Los etores sm nos d el etor etor en l se nón. son ls omponentes de este

7 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores 4.4 MODULO DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS A prtr de este momento on el fn de fltr l esrtr epresremos l se nón por { } ntros. Se n etor ( ) sn l fleh en l prte speror pr ndr qe se trt de etores qe podemos representr smplemente por ; oserndo l fgr del prtdo nteror emos qe el módlo de qe representmos por es : Eemplo. Cllr el módlo del etor 6 ( ) 6 7 nddes 4.5 SUMA DE VECTORES EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS Ddos dos etores mednte: ( ) ( ) ( ) se otene el etor sm Eemplo. Ddos los etores ) ) llr los etores: ) ( ) ( ) ( ) ) (( ) ( ) ( )

8 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR El prodto del eslr p por el etor onsste en smr p ees el etor lego: p p p p Eemplo. Ddos los etores llr los etores: ) ) 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 4 ( ) ( ) DEPENDECIA LINEAL Y COORDENADAS Los etores son lnelmente ndependentes s esten tres número λ β α tles qe: S 0 γ β α entones 0 γ β α o esrto en form mtrl: γ β α sstem homogéneo qe es omptle determndo ndo el rngo de l mtr de oefentes es ; o lo qe es lo msmo s: 0

9 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores son lnelmente Eemplo 4. Compror qe los etores ( 0 ) ( ) w ( 4 5 ) dependentes. En efeto: Eemplo 5. Pr qe lores de los etores w 5 formn n se de V Dhos etores no formrán n se s son lnelmente dependentes es der s: lego esos etores formn n se de V s PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Ddo dos etores w se llm prodto eslr w mltplndo el prodto de los módlos por el oseno de ánglo qe formn de ellos l eslr qe se otene w w os.w Eemplo 6. Cllr el prodto eslr de los etores n ánglo de 45º 6 s semos qe formn 6 os 45º 6 6 ) Interpretón geométr del prodto eslr proetemos no sore el otro omo se nd en l fgr; en l qe A Sen los etores es el orgen de mos etores AB dh proeón ; emos qe - 5 -

10 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores ( ) AB os lego [ ] AB os Es der el prodto eslr es gl l módlo de no de ellos por l proeón del otro sore él ) Propeddes del prodto eslr -El prodto eslr de dos etores es onmtto En efeto s llmmos α l ánglo qe form el etor on tenemos: os ) os( os α α α -El prodto eslr es dstrto respeto l sm de etores: w w 4.8. Prodto eslr en fnón de ls oordends de los etores Sen los etores entones ( )( ) ( ) ( ) ( ) pero:

11 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores os 0º ; os 90º 0 ; os 90º 0 los msmo pr los demás etores ntros lego: o en form mtrl: ( ) Eemplo 7. Cllr el prodto eslr de los etores ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 Comnndo ls dos forms de llr el prodto eslr podemos otener lgns plones nteresntes: ) Módlo del etor prodto eslr S mltplmos eslrmente n etor por s msmo. os 0º otenemos l fórml pr llr el módlo del etor del prtdo.4 ) Cállo del ánglo qe formn dos etores: osα lego: osα - 5 -

12 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores Eemplo 8. Qé ánglo formn los etores Se α el ánglo sdo; entones: osα α 5 º 5 5 lego ( 6) ( 6 )( ) 6 ( ) 7 7? ) Condón de perpendlrdd Dos etores son perpendlres s s prodto eslr es ero ; lego son perpendlres s: 0 Eemplo 9. Cllr el lor de pr qe los etores perpendlres. Por l ondón nteror: ( ) sen 4.9 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Ddos dos etores rterísts: w se llm prodto etorl - por módlo el lor w sen w l etor qe tene ls sgentes w - por dreón l de l perpendlr l plno qe formn los etores - sentdo el de ne de n sorhos qe gr en sentdo de w w

13 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores ) Interpretón geométr del prodto etorl Sen w dos etores omo nd l fgr: El segmento por otr prte pero AA' AA ' w Sen w ; w w sen w AA' es el áre del prlelogrmo qe tene por ldos los etores lego: Are del prlelogrmo OABC ) Propeddes del prodto etorl w A l st de l defnón podemos frmr qe el prodto etorl tene ls sgentes propeddes: - propedd ntonmtt; w w - propedd de homogenedd:

14 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores w w w sendo n eslr - propedd dstrt respeto l sm: ( ) ( ) w w 4.9. Prodto etorl en fnón de ls oordends de los etores Sen entones: ( ) ( ) tenendo en ents ls propeddes del prodto etorl tenendo en ent los sgentes prodtos: o 0 o ( ) ( ) ( ) epresón qe podemos epresr en l form: Eemplo 0. Cllr el prodto etorl de los etores K J I K J 5 8 Eemplo. Cllr áre del prlelogrmo de ldos los etores Semos qe el áre sd es módlo del prodto etorl de los etores lego:

15 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores A 0 4. de. 4.0 PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Ddos tres etores w se llm prodto mto de ellos l número qe se represent por [ w ] qe se otene mednte el prodto eslr de no de ellos por el prodto etorl de los otros dos es der: [ w ] ( w ) ) nterpretón geométr del prodto mto: Sen los tres etores w qe representmos en l fgr: pero [ w ] ( w ) [ w ] ( w ) w os w os w OH h qe es l ltr del prlelepípedo qe tene omo rsts los tres etores w es el áre de l se; lego

16 Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores [ w ] Áre de l se ltr Volmen es der el lor del prodto mto de tres etores es gl l olmen del prlelepípedo formdo por los etores Prodto mto de tres etores en fnón de ss oordends Sen tres etores; ( ) ( ) Eemplo. Cllr el prodto mto de los etores Eemplo. Demostrr qe los etores 9 8 están en n msmo plno S los tres etores son oplnros el olmen del prlelepípedo formdo por ellos dee ser ero: lego son oplnros