Magnitud: es aquello que para existir necesita de las relaciones de igualdad y suma.

Transcripción

1 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt Ing. Vvn CAPPELLO Álger vetorl Este tpo de álger es un neesdd undo se tr on mgntudes: Mgntud: es quello que pr exstr neest de ls relones de guldd y sum. Exsten dos tpos de mgntudes, que son ls sguentes: Mgntudes Eslres: Son quells que pr ser representdos solo neestn un número denomndo medd y un undd. E: 8 m medd undd En este so l mgntud es l longtud. Son mgntudes eslres tmén, el tempo, l ms, et. Mgntudes Vetorles: Son mgntudes que pr ser representds neestn de un punto de plón, dreón, sentdo y módulo. módulo dreón punto de plón Ddo un segmento omo el representdo, s se orent A sentdo B Se lee: : vetor AB que nd prnpo y fn AB v Cundo es unívoo se puede usr un sol letr.

2 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt Ing. Vvn CAPPELLO Clsfón de los vetores Vetores fos: El efeto de un vetor puede mr según esté udo en un punto o en otro, este tpo de vetores se los denomn fos. Su efeto será her grr en uno u otro sentdo Vetores deslzntes: Son quellos que pueden mr su posón sore su ret de ón, sn mr el efeto. Fuerzs sore un rrto Vetores deslzntes Vetores lres: Cundo un vetor puede moverse prlelmente s msmo sn mr su efeto, este vetor se lo denomn lre. Vetores lres Ddo un vetor lre; todo vetor lre que teng el msmo efeto que él se denomnrá equpolente del msmo. (los vetores nterores son equpolentes uno de otro). Equpolen de vetores: Dos vetores son equpolentes s ourre lgun de ls sguentes stuones:. S son gules (están superpuestos). S son nulos. S formn ldos opuestos de un prlelogrmo gulmente orentdos

3 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt Ing. Vvn CAPPELLO 4. S lnedos un terer vetor equpolente on ellos. Iguldd entre mgntudes vetorles Dos vetores lres son gules undo se puede formr entre ellos un prlelogrmo. Vetores fos: Sum geométr de vetores Se sumn por l regl del prlelogrmo Vetores deslzntes: A B C D A BC D AB + CD AD Vetores lres Pr sumr se elge un punto fo y se du un vetor equpolente los sumndos on orgen en el punto

4 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt Ing. Vvn CAPPELLO Propeddes de l sum (Pr todo tpo de vetores) V= onunto de vetores V={,, z,...} ) L operón es errd: l sum de vetores d omo resultdo otro vetor y el resultdo de l sum de vetores es úno., V V / es úno. ) L operón es sotv,, d V d ( d ) ) Tene elemento neutro v Vo V / v o o v = v 4) Tene opuesto v V v V / v ( v) ( v) v = 0 5) Es onmuttvo, V Este onunto de propeddes onform un estrutur que se denomn grupo Aelno, formdo por un operón pld sore un onunto que umple ests 5 propeddes. Propeddes del produto de un número por un vetor L operón no es errd y que se están multplndo elementos de onuntos dstntos (R y V) ) R v V v wv w es úno. ) R v, v V ( v v) v v ), R v V ( + ) v v v 4), R v V (. ) v ( v)

5 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt 5) v V. v v Ing. Vvn CAPPELLO A ls nterores se ls denomn propeddes lneles de los vetores. Vetores sore un ret Vetores en oordends v v = 0 x x v = x x El módulo de un vetor en l ret es el vlor soluto de l dferen de ls sss. A Vetores en el plno 0 xa Se utlzrá pr l representón de vetores en el plno un pr de ees normlzdos (msm esl), ortogonles (perpendulres). y P(xp,yp) v x

6 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt v xp yp v Xp + Yp ; son versores: Vetores de módulo que señln un dreón y sentdo en el espo Ing. Vvn CAPPELLO A l expresón nteror se l denomn expresón nón de un vetor. E. v 4 w y v w x Otenón del módulo de un vetor en el plno: Ptágors v Xp Yp por plón del teorem de Vetores en el espo Z Zp P(x,y,z) Yp Y Xp X

7 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt ; ; Ing. Vvn CAPPELLO v Xp Yp Zp su módulo se otene por el Teorem de Ptágors en E : v Xp Yp Zp Exste otr form de onoer un vetor: se mde desde ee x postvo se mde desde ee y postvo v x Dee oservrse que los ángulos y son ángulos no orentdos. Hendo defndo los ángulos y, pr onoer un vetor solo es neesro onoer dhos ángulos y el módulo del vetor. Vetores en el Segundo Cudrnte y v o x Vetores en el Terer Cudrnte y o x

8 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt Ing. Vvn CAPPELLO Vetores en el Curto Cudrnte y o x Por omo defnmos los ángulos y oservmos que los msmos vrín entre 0º y 80 º lo que mpl que los osenos determnn un úno ángulo y que los ángulos de 0º y 80º tenen dferentes vlores del oseno (los vlores se repten de 80º 60º). os = v = os v os = os v v v v os v os A los ángulos y se los denomn ángulos dretores. A los osenos de dhos ángulos se los denomn osenos dretores. Esto tre l vent que es posle representr el versor del vetor v (el vetor de módulo untro que tene l dreón y sentdo del vetor v ), de l sguente form. v v v v v os v os v v os os De lo nteror de dedue: v os os Sendo que el módulo de un versor es entones tenemos que: os os y tmén sen os por trgonometrí se dedue que:

9 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt Ing. Vvn CAPPELLO sen os. podemos der que: v sen os = Generlzón dmensones Z Zp P(x,y,z) Yp Y Xp X v = v os v os v os os os os = Produto eslr de vetores En los lros, puede ser enontrdo omo produto externo de vetores (se denomn sí dedo que l operón no d omo resultdo un vetor). E. os ˆ = es un número 45º

10 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt 4 Ing. Vvn CAPPELLO 7 4*7*0.707 (un número) El produto eslr entre y será ero undo: os 90º 0, o mos son nulos. El vetor nulo es perpendulr ulquer otro vetor. Propeddes del produto eslr. ) Es onmuttvo ) Es dstrutvo respeto de l sum de vetores.. ) Es sotvo respeto del produto de números ( )= S se pln ests propeddes l produto de dos vetores. se otene: y x

11 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt = os 0º os 0º Ing. Vvn CAPPELLO Tmén puede postulrse l defnón: y llegr = os porque os os sen sen = os os + sen sen = os os sensen os( ) os = E. v 4 w 8 5 v w Est fórmul es generlzle dmensones. Tmén se puede prtr l revés y tener l demostrón on teorem pr E. Otenón del oseno del ángulo que formn los vetores. os os os

12 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt Ing. Vvn CAPPELLO Est expresón es tmén generlzle dmensones donde result de muh myor utldd, y que el ángulo en E no es dule. os os Produto vetorl de vetores En los lros es tmén denomndo produto nterno y que el resultdo de est operón d un vetor. Como es onodo dos vetores que se ortn defnen un úno plno: PROPIEDADES: L ret de ón del vetor produto vetorl de dos vetores será perpendulr l plno que defnen dhos vetores. El sentdo del vetor estrá ddo por l regl del Truzón. Módulo de vetor produto vetorl sen() PROPIEDADES: ) No es onmuttvo ) Asotv del produto on números ) Dstrutvo respeto de l sum de vetores. S los vetores son prlelos 0 o 80 º Sen 80º = sen 0º = 0

13 Fultd Regonl L Plt Álger y Geometrí Anlít Vetores Ing. Vvn CAPPELLO es el vetor nulo Cálulo del produto vetorl en el espo trdmensonl Aplndo propedd dstrutv, regrupndo y elmnndo los térmnos nulos se otene: x x x x x x x x x x x x x x x ( ) Resoluón de produto vetorl por determnntes (smólo) = Interpretón geométr del produto vetorl h

14 Fultd Regonl L Plt Como semos el módulo de es gul : sen Álger y Geometrí Anlít Vetores Ing. Vvn CAPPELLO S oservmos l fgur no es dfl notr que dos vetores ulesquer formn un prlelogrmo uy ltur h será gul : h sen h sen S multplmos l se que en este so onde on el módulo de, por l ltur sí otend tendremos l superfe del prlelogrmo: S= h sen sen Como se puede oservr entones es posle lulr l superfe del prlelogrmo que formn dos vetores smplemtente lulndo en módulo del vetor produto vetorl. S los vetores son ntprlelos, entones tendremos que: 80º y S = 0 sen 80º 0 0 S los vetores son prlelos se tene = 0º y l superfe es 0. sen 0º 0 0 Produto mxto Est operón, nvolur vetores y en l msm ntervenen tnto el produto eslr omo el vetorl. número Cálulo del produto mxto

15 Fultd Regonl L Plt Álger y Geometrí Anlít Vetores Ing. Vvn CAPPELLO por propedd de determnntes. En este so, el produto mxto se lul trvés de un determnnte rel omo se oserv. Propedd íl de los produtos mxtos por propeddes de los determnntes. Interpretón geométr del produto mxto Como y fue demostrdo, semos que l superfe S estrá dd por. Por otro ldo tenemos: os h h os S reordmos l form de otener un produto eslr. ˆ os Semos que el volumen V de l fgur será (Prlelepípedo) V=S.h de donde S= h x

16 Álger y Geometrí Anlít Vetores Fultd Regonl L Plt Ing. Vvn CAPPELLO h= os os ˆ De donde dedumos que el volumen de l fgur que formn los vetores es gul l produto mxto entre los msmos. V= os ˆ S el volumen de l fgur es 0, esto sgnfrá que los vetores son oplnres. V=0 =>,, son oplnres. Por lo tnto tendremos que: 0 Pr omplementr l letur de est reve teorí se sugere ver en Youtue los sguentes vdeos expltvos: Blogrfí olgtor y reomendd: Armndo Roo: Álger I y II Hetor D Cro: Álger y Geometrí Anlít. Sgstume Berr, G. Fernández: Álger y Cálulo Numéro. Lentn, Rvud: Álger Modern Donto D Petro: Geometrí Anlít. Ch. H. Lehmnn Geometrí Anlít. Lous Lethold El Cálulo on Geometrí P. Smth, A. Gle Elementos de G. Anlít