Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica- Fórmulas de de tipo interpolatorio

Transcripción

1 Progrmcón y Métodos Numércos: Integrcón Numérc- Fórmuls de de tpo nterpoltoro Prof. Crlos Conde LázroL Prof. Arturo Hdlgo LópezL Prof. Alfredo LópezL Mrzo, 27 Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos ETSIM - UPM 11

2 Progrm Generlddes Fórmuls de ntegrcón numérc Fórmuls de ntegrcón de tpo nterpoltoro Relcón entre el orden de excttud y los puntos del soporte en ls fórmuls de ntegrcón numérc de tpo nterpoltoro. Análss del error en ls fórmuls de tpo nterpoltoro Otencón de fórmuls de ntegrcón numérc Fórmuls gussns. Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos ETSIM - UPM 12

3 DEFINICIÓN Defncón y prmers propeddes Se denomn fórmul de ntegrcón numérc de tpo nterpoltoro (de Lgrnge) pr proxmr el vlor de culquer fórmul otend ntegrndo en (, ) l expresón del polnomo nterpoldor de Lgrnge construdo sore un soporte de puntos dstntos. PROPIEDAD (Crcterzcón de ls fórmuls) L condcón necesr y sufcente pr que l fórmul de ntegrcón n numérc se de tpo nterpoltoro es que sus coefcentes stsfgn ls sguentes gulddes: c f(x) dx V c f(x ) = L (x) dx = = ( =, 1,..., n) donde se h denotdo por L (x) los (n+1) polnomos de se de Lgrnge sore el soporte {x, x 1,..., x n }. Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos ETSIM - UPM 13

4 Defncón y prmers propeddes PROPIEDAD (Sumtoro de los pesos) En tod fórmul de ntegrcón numérc de tpo nterpoltoro se verfc que: f(x) dx V c f(x ) n = c = n = = Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos ETSIM - UPM 14

5 TEOREMA 1 Orden (mínmo) de de ls fórmuls de de tpo nterpoltoro L condcón necesr y sufcente pr que un fórmul de ntegrcón numérc construd sore (n+1) scss dstnts se exct de orden n es que se de tpo nterpoltoro. NOTA: Un fórmul de tpo nterpoltoro, construd sore (n+1) puntos puede ser de orden superor n SI SE ELIGE LA POSICIÓN DE LAS ABSCISAS DE FORMA ADECUADA. Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos ETSIM - UPM 15

6 Relcón entre orden de de excttud y poscón de de ls scss del soporte TEOREMA 2 L condcón necesr y sufcente pr que l fórmul de ntegrcón n numérc de tpo nterpoltoro se de orden f(x) dx V c f(x ) = (n+q), donde q es un número nturl, es que se stsfgn ls sguentes gulddes: n k x (x x ) dx = (k =,...,q 1) = TEOREMA 3 No exste nngun fórmul de ntegrcón numérc de tpo nterpoltoro construd sore un soporte de (n+1) scss dstnts que se de orden superor (2 n+1). = Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos ETSIM - UPM 16

7 x x1 c = L (x) dx = dx x x1 Ejemplo Consdérese el soporte {x, x 1 } y sen: L fórmul f(x) dx c f(x ) + c f(x ) 1 1 x x c1 = L 1(x) dx = dx x 1 x es, l menos, de orden de excttud 1 se cul se l eleccón de {x, x 1 }. Justfccón: Es de tpo nterpoltoro y st plcr el teorem 1 Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos ETSIM - UPM 17

8 1 Ejemplo Pr que se de orden 2 st con que se verfque: es decr (x x ) (x x ) dx = ( x ) ( x 1) ( x ) ( x 1) ( x ) ( x ) 2 6 = Por ejemplo, s tommos (decsón lre) x =, se tene que escoger x 1 = ( + 2 )/3 (poscón dd por l relcón nteror) Justfccón: Es de tpo nterpoltoro y st plcr el teorem 2 Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos ETSIM - UPM 18

9 (x x ) (x x ) dx = 1 Ejemplo Pr que se de orden 3 st con que se verfquen ls gulddes: es decr ( ) ( ) 2 2 x + x ( ) x x 1 (-) = ( x + x 1) ( ) x x 1( ) 4 Lo que conduce tomr: = + + x = ; x1 = Justfccón: Es de tpo nterpoltoro y st plcr el teorem 2 Por el teorem 3 no exsten fórmuls de 2 puntos y orden gul o myor 4 x (x x ) (x x ) dx = 1 Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos ETSIM - UPM 19

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