Universidad Técnica Federico Santa María

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1 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Vrles Aletors Cpítulo 5: Vrles Aletors Dstrucones stdístc Computconl II Semestre Profesor : Héctor Allende Págn : e-ml : Funcón que sgn cd punto del espco muestrl un número rel jemplo N : : Ω R Ω {fll, no fll} ({ no fll }) ({ fll }) Vrles Aletors Vrles Aletors Ω spco Muestrl no fll fll A cd w Ω le corresponde ectmente un vlor ( IR Ω A w k w (w) (w ) ; w Ω ({no fll}) : Ω ({fll}) R IR IR + Conjunto Números Reles R l espco R es el conjunto de TODOS los posle vlores de (w). n certo sentdo podemos consderr R como otro espco muestrl. l espco muestrl orgnl Ω nduce un espco muestrl R socdo l Vrle Aletor. - (]-, ]) I Fml de eventos elementles 3 Luego un evento A en S nduce un evento en el espco muestrl R. 4 Vrles Aletors Funcón de Proldd w k A Nótese que pr cd pr de números reles y esten los sguentes conjuntos w - - (w) (w) ; s Ω ( < < ) ( < ] [ < ) [ ] < ) ] ( > ( R l concepto de Proldd de ocurrenc de eventos en el espco muestrl Ω se puede plcr eventos en R. s Ω f() : Ω R f : R [, ] ( ) f( ) I ( f ( ) R 6 Profesor: Héctor Allende Olvres

2 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Vrle Aletor Vrle Aletor Dscret : Ω R f:c R (], ]) I Vrle Aletor Dscret Se C I (con C Ω) Soporte contle ) f ( c ) ) I f ( c ) Usndo l trnsformcon C { c : I N} 7 Se un vrle letor S el número de vlores de (esto es su Recorrdo). s fnto (contle) o. s contlemente nfnto (denumerle). ntonces llmmos un vrle letor dscret. sto es, los vlores de (w) pueden ser enumerdos.,, 3,, n, n el cso contle l lst es fnt. n el cso denumerle l lst es nfnt contle 8 Funcón de Proldd v. dscret A cd resultdo posle se soc un número f ( ) ( w) llmdo l proldd de Los f( ) deen stsfcer: f ( ) f ( ) l conjunto de pres (, f( )) se le denomn Funcón de Proldd o Cuntí. ) f( ) n P (5) f(5) Funcón de Proldd de ms Funcón de Frecuenc 9 Funcón de Cuntí de un v.. dscret ( c ) A) j { : c C A} f ( c Propeddes funcón de cuntí: ) Funcón de Dstrucón ) j ) F ( ) ) f ( ) ) spernz y Vrnz de un v.. dscret spernz de un v..d. [ ] ) Vrnz de un v..d [ ] ( [ ] V ) ) f() Consderemos un solo epermento ε p,7 Dstrucón Bernoull se A un evento socdo con tl epermento. supongmos que A) p; luego A c ) - p Se l v.. (A ) (A c ) ) p ) p ntonces su funcón de cuntí es f() ) p ( p) -, < p < Profesor: Héctor Allende Olvres

3 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Dstrucón Bernoull Vrle letor dscret Bernoull: donde se tenen sólo eventos posles: spernz: Vrnz: : Ω R ( w) ) p ( w) ) p [] ( - p ) + * p p V [] ( - p ) ( - p ) + ( - p ) p p ( - p ) Dstrucón Bnoml Supongmos que de un líne de produccón se etren n pezs con reemplzo, ls cules pueden ser defectuoss o no con un proldd p. : N de pezs defectuoss en ls n etrccones ntonces n k nk k) p ( p) k,,..., n k 3 4 Dstrucón Bnoml Dstrucón Bnoml Sen n repetcones ndependentes del epermento. Ω consste de todos los posles secuencs {,, 3,.., n }, donde cd puede ser un evento A o un evento A c. sten n de tles secuencs. f(),3,,, n 6 p, Se l vrle letor : número de veces que ocurre el evento A sus posles vlores son:,,, 3,..., n f() ) n,,,...,n < p < p ( p) n- 5 spernz: Vrnz : Notcón: [] np V [] np (-p) ~ B( n, p) Crcterístcs: Se utlz en el muestreo de un polcón fnt con reemplzo. Tmén cundo l polcón es muy grnde, con o sn reemplzo, y que p se hce reltvmente constnte. 6 Dstrucón Bnoml Dstrucón de Posson Supongmos que tenemos un muestr de tmño grnde, pr lo cul l proldd de encontrr un rtículo defectuoso es pequeño p, y por lo tnto np el número totl de rtículos defectuosos en l muestr. Se λ np. ntonces k λ λ e k) k,,,... k! 7 8 Profesor: Héctor Allende Olvres 3

4 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Dstrucón de Posson Dstrucón de Posson spernz: Vrnz: [] λ V [] λ Cso límte: B( n, p ) con k n λ λ k) k n n n y p P nk k λ ( k) e λ I N ( k ) k! I ( k ) {,,,..., n} 9 Construccón de un Modelo Prolístco Crendo un modelo prolístco jemplo: Ls pezs l sld de un líne de produccón se clsfcn en defectuoss (D) o no defectuoss (N). Se tom tres pezs letormente y se clsfcn de cuerdo este esquem. l Ω pr este epermento es: Ω {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} L proldd que un pez se defectuos es p y no cm. so mplc que s l polcón es fnt, ls oservcones se hcen con reemplzo Interes el número de pezs D y no el orden en que slen. Se defne un v.. gul l número de pezs defectuoss; luego, {,,, 3). ncontrr (, f( )),5,4,3,, f() (-p) 3 3(-p) p Ω {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} (NND) (NDN) (DNN) 3(-p) p 3 N) N) D) p 3 3 F() Funcón de dstrucón v.. dscret n 5) f( 5) Funcón de Proldd de ms Funcón de Frecuenc F() < Σ f( ) < Σ f( ) < 3 3 Σ f( ) 3 < 4 4 Σ f( ) 4 < 5 Vrles Aletors Contnus Cundo el epermento ε se relz sore un espco muestrl Ω que está relcondo con escls ntevlres. tles como medcones de dstncs, volúmenes, pesos, tempos, velocdd, voltjes, ntensdd, cudl, tempertur, etc. Y que los posles vlores de en un ntervlo, < <, son nfntos - no enumerles - no podemos hlr del -ésmo vlor de ; n tles csos se hl de Vrles Aletors Contnus, donde R es un ntervlo o un conjunto de ntervlos; entonces este un funcón contnu especl: f : R R < < + h) f ( ) lm > h h 3 4 Profesor: Héctor Allende Olvres 4

5 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Vrles Aletors Contnus Dstrucones de Proldd Contnus Se un vrle letor contnu. L funcón densdd de proldd (pdf) es un funcón que stsfce: f() > ; R f() d R, + f() A: un evento A: { < ) A) < < ) f( ) d 5 stán defnds por un densdd de v.. f : R R se dce densdd de proldd Propeddes: f() - f()d 6.. F ( ) ) f ( t) dt 3. F (- ) ; F ( ) 4. F es no decrecente 5. Propeddes y Defncones P ( ) f ( ) d [ ] R 6. V ( ) f ( ) d f ( ) d [ ] [ ] R f() A f ( ) d 7 Funcón de dstrucón cumuld S es un vrle letor, l Funcón de Dstrucón Acumuld mde l proldd de un suceso en un ntervlo de vlores: F( ) ) S es un v.. Dscret F ( ) f ( ) Donde l sum es tomd sore todos los índces que stsfcen S es un v.. Contnu F ( ) f ( t) dt Donde l sumtor es reemplzd por un ntegrcón pr todos los vlores de t 8 Construccón de Modelos de Proldd Vrles Aletors Contnus Se F : R R es un funcón de dstrucón, entonces: F es no decrecente F es contnu por l derech lm f ( ) y lm f ( ) Luego ] -, ]) F() defne un Proldd Además: ],] ) F() - F() [,] ) F() - F(-) ],[ ) F(-) - F() [,[ ) F(-) - F(-) 9 f(),, Se un vrle letor contnu que puede tomr culquer vlor entre ; cuy pdf es:, mn má f ( ) Se 3; A: el evento { 4 < < 7 } ntonces: A) 4 < < 7) A) d 3 Profesor: Héctor Allende Olvres 5

6 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Dstrucón Unforme Dstrucón Unforme Funcón de densdd f ( ) < < Funcón de Dstrucón es F ( ) < < + ( ) spernz [ ] Vrnz V [ ] Notcón: ~ U (, ) 3 3 Dstrucón Norml o Gussn Dstrucón Norml Funcón de densdd f ( ) µ σ πσ e, R L funcón de Dstrucón no tene epresón nlítc. (Usr tls o clculdor spernz Vrnz Notcón: [ ] µ [ ] σ V ~ N( µ, σ ) Dstrucón Norml o Gussn Dstrucón ponencl stndrzcón Hcendo µ Z N(, ) σ se tene que: z f z( z) e π y F Z (z) se otene de tls!, z R Funcón de densdd Funcón de Dstrucón es spernz Vrnz Notcón: λ f ( ) e s, λ > λ V [ ] λ ~ ep( λ) λ F ( ) e [ ] λ Profesor: Héctor Allende Olvres 6

7 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Dstrucón ponencl Dstrucón de Rylegh Funcón de densdd Funcón de Dstrucón es spernz Vrnz Notcón: f ( ) e α α s F ( ) e α π [ ] π V [ ] ( ) α ~ R( α) α Dstrucón de Rylegh Dstrucón de Weull Funcón de densdd f ( ) e s, >, > Funcón de Dstrucón es F ( ) e spernz Vrnz Notcón: [ ] / Γ + / Γ + Γ V + ~ Weull(, ) [ ] 39 4 Dstrucón de Weull Dstrucón t-student Funcón de densdd ν + Γ f ( ) ν + ν νπ Γ + ν spernz Vrnz Notcón: V [ ] ν > ν [ ] ν > ν ~ t ν 4 4 Profesor: Héctor Allende Olvres 7

8 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Dstrucón t-student Dstrucón Gmm Funcón de densdd α β e f (, β ) I α R α) β + ( ) Funcón de Dstrucón es spernz Vrnz Notcón: f F ( ) ) ( t, β ) dt [ ] αβ V [ ] αβ ~ Gmm( β ) β ) n) y n e y dy n > Dstrucón Gmm Dstrucón Ch-CudrdoCudrdo ~ β ) Funcón de densdd Funcón de Dstrucón es spernz Vrnz Notcón: f F ( ) ) ( t, n) dt [ ] n V [ ] n ~ χ ( n) n /,) f n e n Γ (,n) I () n R Dstrucón Ch-CudrdoCudrdo Dstrucón Bet Funcón de densdd r + r f (, r, s ( ) I[ ]( ), r) Funcón de Dstrucón es spernz Vrnz Notcón: f F ( ) ) ( u, r, du V [ ] [ ] β( r, µ [ ] r r + s rs ( r + ( r + s + ) ~ Bet( r, β ( r, r s ( ) d r + r + u) r) r + s + u) Profesor: Héctor Allende Olvres 8

9 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Dstrucón Bet 49 Profesor: Héctor Allende Olvres 9