Variables aleatorias discretas

Transcripción

1 rles letors dscrets Al relzr un eermento generlmente estmos nteresdos en lgun funcón del resultdo más que en el resultdo en sí msmo. Así, or eemlo, l rror un ddo dos veces odrímos estr nteresdos sólo en l sum de los untos otendos y no en el r de vlores que do orgen ese vlor de l sum. s cntdd de nterés, o más formlmente es funcón vlores reles defnd sore el esco muestrl se denomn vrle letor. rle orque tom dstntos vlores y letor orque el vlor oservdo no uede ser redcho ntes de l relzcón del eermento, unque sí se se cuáles son sus osles vlores. Ddo que el vlor de un vrle letor en delnte lo revremos v.. es determndo or el resultdo de un eermento, odremos sgnr rolddes los osles vlores o conuntos de vlores de l vrle. emlo: Se rro dos veces un ddo equlrdo. Un esco muestrl socdo es: S {, / {,,,,5,6}} osles v.. socds con este eermento son: : número de crs res Y: mámo unte Z: sum de untos Defncón: Se S un esco muestrl socdo con un eermento letoro. Un vrle letor es un funcón que soc cd elemento w S un número rel w, es decr : S R Como se oserv, en generl reresentremos ls v.. con letrs myúsculs:, Y, Z, etc. y sus vlores con letrs mnúsculs, es decr w sgnfc que es el número rel socdo l resultdo w S trvés de. emlos: olvendo l eemlo nteror,,5 Y,5 5 Z,5 7, Y, Z,, Y, Z, Se rro un moned equlrd veces, s el número de crs es mr en cso contrro

2 Se rro un moned equlrd hst que se otene l rmer cr, : número de tros necesros A rtr del nstnte en que se ntent l coneón un servdor, se regstr el temo que demor en concretrse l msm, : temo requerdo r l coneón. n los eemlos, y ls v.. tomn un número fnto o nfnto numerle de vlores, mentrs que en el eemlo l v.. tom vlores en un conunto nfnto no numerle, el ntervlo, o un ntervlo, M s este un temo mámo tme out. Notcón: Indcremos con R el rngo de l v.., es decr el conunto de vlores osles de l v... emlos: n los eemlos nterores, R {,,} R Y {,,,,5,6} R Z {,,,5,6,7,8,9,,,} R {,} R {,,,...} N R, ó,m s este un tme out Defncón: Un v.. es dscret s tom un número fnto o nfnto numerle de vlores. emlo: n el cso del eemlo, cómo clculrímos l roldd de que l v.. Z tome el vlor 7, suonendo que los lnzmentos son ndeendentes? {, S / Z, 7} {,6,,5,,,,,5,,6, }. Z Defncón: L funcón de roldd untul o de ms de l v.. dscret, se defne r todo como { w S / w } Se cumlen ls sguentes roeddes: R

3 L funcón de roldd untul de un v.. nos dce cómo se dstruye l roldd totl entre los dstntos vlores de, y se determn rtr de l roldd de los sucesos socdos cd vlor de. emlos: Hllemos l funcón de roldd untul de l v.. : número de crs res l rror dos veces un ddo equlrdo. Recordemos que R {,,}. {, S /, {,,5 } {, S / {,,5 }, {,,6 } {, S / {,,6}, {,,5 } {, S /, {,,6 } odemos resumr est nformcón en un tl de l form: / / / o mednte un gráfco en el cul, r cd vlor de se construye un rr o un rectángulo centrdo en, cuy ltur es roorconl Dgrm de Brrs Hstogrm

4 Defncón: L funcón de dstrucón cumuld de un v.. dscret con funcón de roldd untul se defne r todo R, como R y y y, s decr que es l roldd de que l v.. tome vlores menores o gules que. emlo: olvendo l eemlo, hllemos l funcón de dstrucón cumuld de l v.., cuy funcón de roldd untul es / / / S > Resumendo: s s s s Cómo es? Oservmos que se trt de un funcón escler, no decrecente que tom vlores entre y.

5 roeddes de l funcón de dstrucón cumuld: R,,. es monóton no decrecente, es decr que s. [ ] es contnu derech, es decr lm h. v lm y lm - h o v n cd unto, el vlor del slto es l roldd untul, es decr donde lm h límte or l zquerd. n rtculr s tom vlores h..., entonces r todo y. Dem: Dremos sólo demostrcones heurístcs de ests roeddes. Demostrcones rguross ueden encontrrse, or eemlo, en S. Ross 988 o B. Jmes 98. Ovo, y que { w S / s } vlores entre y. Consderemos el suceso A y tod roldd tom { w / w } { w / w } { w / w } A A Como A, A A, es decr A A y, or lo tnto,

6 5 Recordemos que un funcón g es contnu derech en s lm h g h g. or lo tnto, l contnudd derech de en todo result de su defncón:. v { } / lm lm lm S w w w w / lm lm lm v rooscón: Sen y tles que, entonces Dem: Demostremos l rmer guldd ] ] ],,, - ercco: Demostrr ls sguentes gulddes, usndo or eemlo que y lcndo l roedd v de ls funcones de dstrucón cumulds. emlo: olvendo l eemlo, y usndo l funcón de dstrucón clculd ntes. emlo: Un eermento tene sólo dos resultdos osles, que denomnremos Éto y rcso. l eermento se rete en form ndeendente hst que se otene el rmer éto. Se Éto,, y defnmos l v.. número de reetcones hst otener el rmer éto. Como y hemos vsto, R N.

7 6 Hllemos l funcón de roldd untul de l v ntonces,. N erfquemos que en efecto est funcón stsfce ls dos roeddes R Ddo que, l rmer roedd ovmente se stsfce. Resecto l segund, donde hemos usdo que l sum de l sere geométrc q q, s. q Hllemos l funcón de dstrucón cumuld de l v

8 Hemos usdo que l sum rcl de un sere geométrc es q n q q n. Recordemos que l funcón de dstrucón dee estr defnd r todo R, entonces [] s s donde [ ] denot l rte enter de. ercco: erfcr que est funcón de dstrucón stsfce ls roeddes enuncds ntes. rámetro de un funcón de roldd: n el eemlo nteror l roldd de Éto l desgnmos donde. rndo este vlor otenemos dferentes funcones de roldd que consttuyen lo que se denomn un fml de dstrucones. l vlor se denomn rámetro de l dstrucón. n el cso del eemlo, l fml otend se denomn Geométrc de rámetro y dremos que ~ G. or eemlo, s el eermento huese consstdo en rror un ddo equlrdo hst otener el rmer s, ~ G/6 y s huese consstdo en rror un moned equlrd hst otener l rmer cr, ~ G/. sernz o vlor eserdo de un v.. dscret: Un emres roveedor de servco de Televsón Steltl tene clentes en cert zon, cd uno de los cuáles uede otr or contrtr de 5 quetes de señles el ono ásco consste en un solo quete y cd uno de los otros quetes ncluye gruos de señles temátcs o remum. Suongmos que, entre los clentes, l dstrucón del número de quetes contrtdos es l sguente: 5 número de clentes roorcón 7.5% 7.5% 7.5%.% 7.5% S nteres el número romedo de quetes contrtdos, o se el vlor romedo de en l olcón, deerímos clculr: Oservemos que, s no huésemos conocdo los números de clentes que contrtn cd número de quetes n el totl de l olcón, sno sólo ls roorcones de cd número o su roldd huésemos oddo otener el vlor romedo, y que dcho número uede escrrse en l form: 7

9 Ésto motv l sguente defncón Defncón: Se un v.. dscret que tom vlores en R con funcón de roldd untul, l esernz o vlor eserdo de se defne como R semre que. S l sere de los vlores solutos dverge, l esernz R no uede defnrse y decmos que no este. emlos: Se : número de crs res l rror dos veces un ddo equlrdo. Como / / / entonces,. Se un v.. que tom sólo dos vlores que desgnremos y Éto y rcso con l sguente funcón de roldd untul - sendo. Un v.. de este to se dce que es un v.. de to Bernoull y su esernz es: emos un eemlo en que no este. Se un v.. con l sguente funcón de roldd untul 8

10 6 s N π en otro cso n rmer lugr, oservemos que es un funcón de roldd untul, y que π 6 y, or lo tnto l sum de ls rolddes es. Clculemos l esernz de, 6 π 6 π Consderemos nuevmente un eermento que tene sólo dos resultdos osles y que se rete en form ndeendente hst que se otene el rmer éto. S Éto,, y s defnmos l v.. número de reetcones hst otener el rmer éto, hemos demostrdo que su funcón de roldd untul está dd or Clculemos l esernz de. N Como l sere de otencs nvolucrd en l últm guldd es convergente, l dervd de l sum es l sum de ls dervds, entonces. y or lo tnto hemos demostrdo que. Interretcón de l esernz: es el centro de grvedd de l funcón de roldd untul. s decr que s mgnmos que sore cd vlor osle de,, colocmos un ms, el unto de equlro del sstem es. n este sentdo, odemos decr que es un medd del centro de l dstrucón. Otr nterretcón de está relcond con un resultdo que estudremos más delnte, denomndo ley de los grndes números. Imgnemos que se rete ndefndmente un eermento letoro y que en cd reetcón nuestr v.. tom 9

11 dferentes vlores. Se h demostrdo que el romedo de los resultdos otendos tende estlzrse en un número que es, s es que ést este. sernz de un funcón de un v.. dscret: olvmos l eemlo consderdo l comenzo del rágrfo dedcdo l esernz. Se l v.. : número de quetes de rogrms contrtdo or un clente seleccondo l zr y consderemos su funcón de roldd untul: Suongmos que el costo del servco Y es funcón del número de quetes contrtdo, según l sguente fórmul: Y Cuál es el vlor eserdo del costo gdo or clente? s decr, cuál es Y?. A rtr de l funcón de roldd untul de, odemos otener l de funcón de roldd de Y y que, or un ldo R Y {6,9,,5,8} y, or eemlo, Y.75. ntonces, y Y y y, Y Oservemos que, Y h, sendo h. rooscón: S es dscret y tom vlores,,..., entonces h es dscret con vlores y, y,..., sendo y h r l menos un vlor de. rooscón: S l v.. tene funcón de roldd untul r todo R, entonces l esernz de culquer funcón rel h, está dd or h h R s l sere es solutmente convergente, o se s h. Dem: Se Y h, entonces R

12 Y y Y y y y / h y / h y h. roeddes de l esernz: Lneldd S y son constntes reles,. Dem: Se h, entonces h R R R. S es un v.. tl que c, entonces c. Dem: c c c. rnz de un v.. dscret: Hemos vsto que l esernz de un v.. mde donde está centrd l dstrucón de roldd, es el unto de equlro de l funcón de roldd untul. Consderemos ls sguentes funcones de roldd: / / / y 5 Y y / /8 / /8 / z Z z sts tres v.. tenen l msm esernz, sn emrgo l form de su dstrucón es muy dferente. ercco: Grfcr ls tres funcones de roldd untul y verfcr que YZ. Defnremos un medd de l vrldd de un vrle letor lrededor de su esernz. Defncón: Se un v.. dscret con funcón de roldd untul y esernz, l vrnz de, que se denotrá, σ ó σ, es σ [ R ].

13 y el desvío stndrd de, es σ. emlos: Clculemos l vrnz y el desvío stndrd de ls tres v.. que cmos de resentr, cuy esernz es gul Z Y Z Y σ σ σ Consderemos : número de crs res l rror dos veces un ddo equlrdo cuy funcón de roldd untul es / / / y su esernz es, entonces. Se un v.. Bernoull con funcón de roldd untul - con. Recordemos que, entonces [ ]. rooscón:. Dem: R R R R R.

14 emlo: Consderemos nuevmente un eermento que tene sólo dos resultdos osles y que se rete en form ndeendente hst que se otene el rmer éto. S Éto,, hemos defndo l v.. número de reetcones hst otener el rmer éto, cuy funcón de roldd untul está dd or: N Hemos demostrdo que. Demostrremos hor que. Clculemos. [ ] ntonces, como querímos demostrr.

15 roeddes de l vrnz y del desvío stndrd: y σ σ Dem: Oservemos que, en generl, ntonces,. h h h. R R R R R y, or lo tnto, σ σ. n rtculr, oservemos que σ σ y σ σ, y or lo tnto un cmo de escl fect l vrnz ero un trslcón no l fect.