perpendiculares al flujo. Estas corrientes parásitas son muy perjudiciales a causa de la

Transcripción

1 perpendculres l flujo. Ests correntes prásts son muy perjudcles cus de l grn cntdd de clor ( 2 R) que orgnn y tmén cus del flujo que ells msms cren. En todos los trnsformdores, ls correntes de Foucult son elmnds, unque no completmente, por el empleo de un núcleo formdo por lámns delgds. L resstenc eléctrc entre ls superfces de ls lámns (ded un cp de rnz slnte), reduce ls correntes de torellno cd lámn ndvdul (fgur 151c). L longtud de l tryector resultnte ument consderlemente, con el umento consguente de l resstenc. En consecuenc, unque l fem nducd no se modfc, ls ntensddes y sus efectos clorífcos se reducen l mínmo. Inductnc Mutu: + 1 crcuto 1 Dos crcutos dycentes. El cmpo mgnétco en S2 se dee prclmente l corrente 1 y prclmente l corrente 2. 1 S2 2 crcuto 2 fgur Hemos vsto que en un crcuto fjo se nduce un fem cundo ument o dsmnuye el flujo mgnétco lgdo l crcuto. S l vrcón de flujo es producd por un corrente vrle que crcul en un segundo crcuto, es cómodo expresr l fem nducd en funcón de est corrente vrle, en vez de utlzr l vrcón de flujo. Cundo dos o más crcutos están próxmos uno l otro, el flujo mgnétco que trves uno de ellos depende no sólo de l corrente en el msmo, sno tmén de l corrente que crcul por los crcutos próxmos. Por ejemplo, En l fgur 152 el cmpo mgnétco en S 2 se dee prclmente l corrente 1 y prclmente l corrente 2. Esto quere decr que el flujo trvés de culquer de los crcutos es l sum de dos térmnos, uno proporconl 1 y el otro proporconl 2. El flujo credo por l corrente que crcul por l on (1) trves l on (2). fgur 153 L fgur 153 represent l seccón de dos ons de esprs pretds formds por hlo conductor. L corrente que crcul por el crcuto 1 cre un cmpo mgnétco en l form ndcd y un prte de su flujo trves el crcuto 2. Puesto que tod líne de nduccón es un líne cerrd, cd líne que trves el Ing. Sndr Slvester Págn 198

2 áre del crcuto 2 está lgd este crcuto del msmo modo que se encuentrn undos dos eslones de un msm cden. S el crcuto contene esprs y es Φ el flujo que trves cd espr, el producto Φ es el flujo totl lgdo l crcuto 2. Pr un corrente dd que crcul por el crcuto 1, el flujo lgdo l crcuto 2 depende de l form y dmensones del dspostvo. No ostnte, ndependentemente de éste, l densdd de flujo en cd punto del cmpo es drectmente proporconl l corrente que crcul por el crcuto 1. Por lo tnto, el flujo lgdo l crcuto 2 es proporconl tmén l corrente que crcul por el crcuto 1. Puede entonces escrrse: donde es el flujo lgdo l crcuto 2 dedo l corrente que crcul por el crcuto 1 y es un constnte de proporconldd. S vrí, vrrá tmén y precerá en el crcuto 2 un fem de vlor: (174) S representmos el producto por un sol constnte, tenemos: (175) O se: (176) El fctor M se denomn coefcente de nduccón mutu, nduccón mutu o nductnc mutu de los dos crcutos. L undd SI de nductnc mutu rece el nomre de henro (H) en honor del físco estdoundense Joseph Henry ( ). De cuerdo con l ecucón (176), un henro es gul un volto por mpero por segundo. L nductnc mutu de dos crcutos es un henro s se nduce en uno de los crcutos un fem de un volto cundo l corrente en el otro vrí rzón de un mpero por segundo. Puede demostrrse que se otene l msm nductnc mutu culquer que se el crcuto que se tome como punto de prtd [ ]. Además, de (174) puede deducrse otr expresón pr l nductnc mutu: Ing. Sndr Slvester Págn 199

3 (177) Según hemos dcho en el párrfo nteror, se tendrá tmén. L nductnc mutu entre dos crcutos es un henro s l crculr por uno culquer de ellos un corrente de un mpero, el flujo que trves el otro es un weervuelt. L nductnc mutu será grnde cundo los crcutos estén dspuestos de modo tl que un prte mportnte del flujo credo por l corrente que crcule por uno de ellos trvese el otro (por ejemplo, cundo mos se encuentren devndos sore el msmo núcleo de herro). Ejercco Nº 106: Un lrgo solenode de longtud, seccón A y N 1 esprs, llev devndo en su centro un pequeñ on de N 2 esprs, como ndc l fgur. Clculr: ) l nduccón mutu de mos crcutos; ) l fem nducd en el crcuto 2 cundo l corrente en el crcuto 1 vrí rzón de 10 A/s. l 1 l N 2 2 N 1 ) L corrente 1 que crcul por el crcuto 1, cre un cmpo en el centro del solenode: El flujo trvés de l seccón centrl es: Y ddo que todo este flujo trves l on 2: Φ M Φ S N 1 = esprs, N 2 = 20 esprs, A = 10 3 m 2 y = 1 m: M ,1 10 $ % ) ε 25,1 10$ $ ' Ing. Sndr Slvester Págn 200

4 Autonduccón: Anterormente hemos consderdo que el flujo mgnétco lgdo l crcuto en el cul se nduce un fem, er credo por lgún gente exteror. Pero sempre que crcul un corrente por un crcuto, l msm cre un cmpo que está lgdo su propo crcuto y que vrí cundo lo hce l corrente. En consecuenc, en culquer crcuto que trnsporte un corrente vrle, se nduce un fem cus de l vrcón de su Cundo l corrente vrí, el flujo tmén lo hce y prece un fem nducd en el crcuto. propo cmpo. Est fem se denomn fuerz electromotrz de utonduccón. Por ejemplo, l fgur 154 represent esquemátcmente un on de N esprs conectd en sere con un generdor de corrente contnu y un reóstto. Cundo el contcto deslznte del reóstto se mueve hc un ldo o hc otro, el flujo que trves l espr vrí e nduce un fem en el crcuto. Como en el cso de l nductnc mutu, es cómodo referr l fem nducd l corrente vrle, en lugr de utlzr l vrcón de flujo. Como l densdd de flujo en un punto culquer es drectmente proporconl l ntensdd de l corrente que lo produce (excepto s hy presenc de sustncs ferromgnétcs), el flujo result entonces proporconl tmén l ntensdd. De cuerdo esto, podemos escrr: Donde es un fctor que depende de l form, dmensones, etc. del crcuto y es constnte pr un crcuto ddo. S el crcuto tene N esprs y todo el flujo trves cd espr, se deduce: fgur 154 S representmos el producto por un sol constnte (, tenemos: (178) ( (179) Ing. Sndr Slvester Págn 201

5 O se: ( (180) El fctor L se denomn coefcente de utonduccón, utonduccón o nductnc del crcuto. L nductnc de un crcuto es un henro s se nduce en el crcuto un fem de un volto cundo l corrente en el msmo vrí rzón de un mpero por segundo. Como en el cso de l nductnc mutu, de (178) puede deducrse otr expresón pr l nductnc: ( (181) L nductnc de un crcuto es un henro s un ntensdd de corrente de un mpero produce en el crcuto un flujo lgdo de un weer-vuelt. Un crcuto o un prte de crcuto que se comport de este modo, se represent generlmente por el símolo ε ε () El sentdo de l fem de utonduccón se encuentr mednte l ley de Lenz. L cus de l fem es un umento o dsmnucón de l ntensdd de corrente. S l ntensdd de l corrente ument, el sentdo de l fem nducd es opuesto l de l corrente. S l corrente dsmnuye, l fem y l corrente son del msmo sentdo. En l fgur 155, ument ) 0, es opuest y el punto está un potencl superor l de. En l fgur 155, dsmnuye * 0, e son del msmo sentdo y está un potencl superor l de (sendo R=0). L dferenc de potencl entre los extremos de un resstenc, depende de l corrente ' +, -. L dferenc de potencl entre los extremos de un nductnc, depende de l velocdd de vrcón de l corrente ' +, (. De cuerdo lo expuesto, qued en clro que l fem nducd se opone l vrcón de l corrente y no l corrente msm. () () S ument, ε es opuest. () S dsmnuye, ε e son del msmo sentdo. fgur 155 Ing. Sndr Slvester Págn 202

6 Ejercco Nº 107: Un rrollmento torodl tene 1 m de longtud med, 10 cm 2 de seccón y esprs. Clculr: ) l nductnc; ) el vlor y sentdo de l fem utonducd, cundo l corrente en l on ument rzón de 10 A/s. ) L densdd de flujo dentro del volumen encerrdo por el rrollmento es: y el flujo: Φ Y ddo que todo el flujo trves cd espr: ) L Φ $ 1,26 10 % 1 ε ( 1, ,6 10 ' Puesto que l corrente está umentndo, el sentdo de est fem es opuesto l de l corrente. Asoccón de Inductncs: Ls nductncs se pueden conectr en sere, en prlelo o formndo redes más complcds. L nductnc equvlente culquer red se defne como l rzón de l fem totl nducd entre los ornes de l red, l dervd respecto l tempo de l corrente que orgn dch fem. Nosotros sólo veremos nductncs en sere. Consderemos el cso especl de dos ons cuys nductncs son ( y (, fgur 156 () () DOS INDUCTANCIAS EN SERIE () flujos del msmo sentdo () flujos de sentdo opuesto l nductnc mutu es y se encuentrn conectds en sere. Supongmos que ests ons están colocds como se ndc en l fgur 156, de modo que el flujo que trves cd un, dedo l corrente que crcul por l otr, tene l msm dreccón que el flujo dedo l corrente de l prop on. Entonces, s l corrente vrí, ms fuerzs electromotrces, de utonduccón y de nduccón mutu, tendrán el msmo sentdo: Ing. Sndr Slvester Págn 203

7 ó ( ( ( 9 ( 9 2 En vrtud de su defncón, l nductnc equvlente es: ( ( 9 ( 9 2 (182) S un de ls ons está nvertd (fgur 156), de modo que el flujo que trves cd un dedo l corrente que crcul por l otr tene sentdo opuesto l flujo de l prop on, ls fuerzs electromotrces de utonduccón y de nduccón mutu tendrán en cd on sentdos opuestos. Operndo gul que ntes, otenemos: ( ( 9 ( 2 (183) Evdentemente, s nngun frccón del flujo lgdo un on trves l otr, l nductnc mutu es nul y l nductnc equvlente es smplemente l sum de ls nductncs de ms ons. S ms ons están devnds sore el msmo núcleo de herro, como sucede en un trnsformdor, o s estndo ls esprs muy próxms, un on se encuentr contnucón de l otr, todo el flujo credo por un de ells trves práctcmente tods ls esprs de l otr. En tl cso: sendo ( Φ ; ( Φ y Φ Φ ; Φ Φ Multplcndo ests ecucones y regrupndo: Φ Φ ( ( Consecuentemente: ;( ( (184) Ing. Sndr Slvester Págn 204

8 Crcuto con Inductnc y Resstenc: fgur 157 Crcuto que contene en sere un nductnc y un resstenc Un nductnc por l cul crcul un corrente que ument de ntensdd, se converte en un generdor de fem cuyo sentdo es opuesto l de l corrente. Como consecuenc de est fuerz contrelectromotrz, l ntensdd de l corrente en un crcuto nductvo no lcnzrá su vlor fnl en el nstnte msmo de cerrr el crcuto, sno que umentrá en un proporcón que dependerá de l nductnc y l resstenc del msmo. L fgur 157 represent un nductnc sn resstenc en sere con un resstenc no nductv, un terí de fem y resstenc nteror desprecle y un nterruptor S 1 (l funcón de S 2 se comentrá más delnte). Se l ntensdd de l corrente en el crcuto y su dervd, un certo nstnte después de cerrr el nterruptor S 1. L dferenc de potencl entre los extremos de l nductnc es: y l dferenc de potencl entre los ornes de l resstenc será: Ddo que ' +E 9 ' E,, se deduce que ( 9 - de donde: S1 S2 Como 0 pr 0, ntegrmos como sgue: y otenemos: ε L x R - ( (185) ' +E ( y - - (? > - - y ( - - A B 1 ( > ' E, Fnlmente: - A B C1 D (186) Puesto que - = es gul l corrente fnl en el crcuto: = C1 1 A D (187) Ing. Sndr Slvester Págn 205

9 I I/e L/R I-(I/e) Estlecmento de l corrente en un crcuto L R Cundo ument, el térmno exponencl 1 A tende hc cero y l corrente tende hc su vlor fnl estconro = -. O se que l corrente fnl no depende de l nductnc y es l msm que s huese un resstenc pur conectd un fuente de fem. L fgur 158 es un representcón gráfc de l ecucón (187). L corrente nstntáne crece l prncpo rápdmente, después ument con más lenttud y, por fn, se proxm sntótcmente l vlor fnl = -. Se defne l constnte de tempo del crcuto como el tempo pr el cul - ( 1, o se: Cundo ( - I I/e I 0,63 =, o se el 63 % de I, proxmdmente. Pr un crcuto con un resstenc dd, este tempo es tnto myor cunto más grnde es l nductnc. Así, unque l gráfc que represent en funcón de tene l msm form generl culquer que se l nductnc, l corrente crece rápdmente hst su vlor fnl s ( es pequeño y lentmente s ( es grnde. I I/e L/R fgur 158 t fgur 159 Decrecmento de l corrente en un crcuto L R t ( - S hy un corrente constnte = en el crcuto de l fgur 157 y cerrmos el nterruptor S 2 (rendo smultánemente el S 1 pr desconectr l fuente y evtr dñr l msm), l corrente no se reduce nstntánemente cero, sno que decrece grdulmente tl como se represent en l fgur 159, cuy curv es exctmente l nvers de l correspondente l fgur 158. L ecucón de est curv, que puede otenerse tmén prtr de l ecucón (185), es: = 1 A (188) En este cso, l constnte de tempo ( - es el tempo necesro pr que l ntensdd de l corrente dsmnuy hst el 37 % =/1 de su vlor orgnl. Ing. Sndr Slvester Págn 206

10 Ejercco Nº 108: Un nductnc de resstenc R = 150 Ω y coefcente de utonduccón L = 4 H, en sere con un resstenc no nductv R 0 = 50 Ω, se conect un dferenc de potencl constnte ε = 36 V (ver fgur). ) Inmedtmente después de cerrr s 1, cuáles son l corrente trvés de R 0 y ls dferencs de potencl v c y v c? ) Cundo s 1 h permnecdo cerrdo mucho tempo y l corrente h lcnzdo su vlor estle fnl, cuáles son los vlores de, v c y v c? c) Determnr ls expresones de, v c y v c en funcón del tempo t, prtr del momento en que se cerró s 1. Sus resultdos deen concordr con el ncso ) cundo t = 0 y con el ncso ) cundo t. R 0 S1 c R + S2 ε L ) 0 ; M +N 0 ; M N, 36 ' \]7é\ _ \, _ \1 4] _8768 ó ) ' 50 Ω Ω 0,18 M +N - 0,18 50 Ω 9 V ; M N, M +N 36 ' 9 ' 27 ' c) C1 1 A TUTVW D 0,18 C1 1 CX YZ[ D M +N - 9 ' C1 1 CX YZ[ D M N, - 36 ' 9 ' C1 1 CX YZ[ D 9 ' C3 9 1 CX YZ[ D Ejercco Nº 109: En el ejercco nteror, un vez que l corrente h lcnzdo su vlor estle fnl, se cerr el nterruptor s 2 y qued el nductor en cortocrcuto. ) Inmedtmente después de cerrr s 2, cuáles son ls dferencs de potencl v c y v c, y cuáles ls correntes trvés de R 0, R y s 2? ) Mucho tempo después de que se hy cerrdo s 2, cuáles serán los vlores del ncso nteror? c) Determnr ls expresones de ls correntes trvés de R 0, R y s 2 en funcón del tempo t, prtr del momento en que se cerró s 2. Sus resultdos deen concordr con el ncso ) cundo t = 0 y con el ncso ) cundo t. ) 0,18 nmedtmente después de cerrr S2, el nductor mntene l corrente prev) Aplcndo ls regls de Krchhoff l mll extern: 9 B '9(0,18150)(0,18150)( 50)0 36 ' 50 Ω 0,72 ; M +N 0,72 50 Ω36 V ; M N, 0 Ing. Sndr Slvester Págn 207

11 p q 0,72 0,18 0,54 ) c) M +N 36 ' ; M N, 0-36 ' 50 Ω 0,72 ; A 0 ; Y q 0,72 0,72 ; A() 1 (A (0,18 ) 1 C,X YZ[ Y q ()0,72 (0,18 ) 1 C,X YZ[ (0,18 )C41 C,X YZ[ D Energí Asocd un Inductnc: Cundo se cerr el nterruptor de l fgur 160, l corrente en el crcuto ument desde cero hst un vlor fnl ' +, -. En el nstnte en que l corrente es y crece en l proporcón, tenemos: ' +, ' +E 9' E, ( 9- Por consguente, l potenc sumnstrd l crcuto en este nstnte es: o ' +, 4 \16 o( 9- (189) El térmno - es l potenc sumnstrd l resstenc (o se l cntdd de clor desrrolld en l msm). El térmno ( ( ) es l potenc sumns- trd l nductnc. En consecuenc, se sumnstr energí l nductnc mentrs l corrente está umentndo. Cundo l corrente h lcnzdo su vlor fnl estconro, ( )0 y ces el sumnstro de potenc l nductnc. L energí que h sdo sumnstrd l nductnc se utlz pr estlecer el cmpo mgnétco que rode ést, quedndo lmcend en dcho cmpo como energí potencl. S se re el nterruptor, desprece el cmpo mgnétco y l energí ps nuevmente l crcuto. Est energí cedd es l que mntene el rco que se oserv veces cundo se re un nterruptor en un crcuto nductvo. Según l ecucón (189), l potenc nstntáne sumnstrd l nductnc es: L V x R S fgur 160 Ing. Sndr Slvester Págn 208

12 Por tnto: Fnlmente: o s ( t s( y s>s>( s 1 2 ( = (190) W es l energí sumnstrd mentrs l corrente ument desde cero hst I. Se cede l msm cntdd de energí cundo l corrente descende cero. En l fgur 160 se hn representdo l nductnc y l resstenc del crcuto como unddes ndependentes. El msmo estudo se plc un on de resstenc R e nductnc L. Ejercco Nº 110: Un nductor que tene un coefcente de utonduccón de 12 H y un resstenc de 180 Ω, conduce un corrente de 0,3 A cundo se lo conect un fuente de energí eléctrc de corrente contnu. ) Cuál es l energí lmcend en el cmpo mgnétco? ) Con qué velocdd se desprende energí térmc en el nductor? c) Sgnfc su respuest l ncso nteror que l energí de cmpo mgnétco dsmnuye con el tempo? ) ) s 1 2 ( = 1 2 (12 %)(0,3 ) 0,54 u o- = 180 Ω (0,3 ) 16,2 s (16,2 u/\) c) No. Energí mgnétc y energí térmc son ndependentes. Mentrs l corrente es contnu, l energí mgnétc es constnte. Crcuto con Cpcdd y Resstenc: fgur 161 S ε Cundo se cerr el nterruptor s de l fgur 161, l crg del cpctor no ument nstntánemente hst su vlor fnl, sno que tende hc ese vlor del msmo modo que lo hce l C x R Crcuto que contene en sere un cpcdd y un resstenc ntensdd de l corrente en un crcuto que contene nductnc y resstenc. Representemos por r l crg del cpctor un certo nstnte después de cerrr el nterruptor y por l ntensdd de l corrente en el crcuto en dcho momento. Ing. Sndr Slvester Págn 209

13 Se tenen ls sguentes ecucones: de donde: Est ecucón tene exctmente l msm form que l ecucón (185). Por consguente, tene l msm solucón: ' +E 9' E, r v 9- r v 9-r v - v r 9r r v ) (191) Puesto que v w es gul l crg fnl del cpctor: r w (1 ) (192) Q q Q/e RC Q-(Q/e) fgur 162 Crg de un cpctor trvés de un resstenc tom el proceso de crg. t L fgur 162 es l representcón gráfc de est ecucón. L crg se proxm sntótcmente su vlor fnl y se requere un tempo nfnto pr que el condensdor quede completmente crgdo. L constnte de tempo del crcuto es gul RC, sendo ést el tempo necesro pr que l crg del cpctor umente hst el 63 % de Q. Cundo RC es pequeñ, el cpctor se crg rápdmente; cunto más grnde es RC, tnto más tempo Ddo que r, l ecucón que d l corrente de crg puede otenerse prtr de l ecucón (192) por dferenccón. Se encuentr: = (193) L corrente de crg ncl (pr t = 0) es l msm que s el crcuto sólo tuvese l resstenc R y luego dsmnuye exponenclmente en l msm form que ument l crg, descendendo un vlor gul 1/e de su vlor ncl después de trnscurrdo un tempo gul l constnte de tempo. S se desconect l terí estndo el cpctor crgdo y se conectn entre sí los ornes y, es fácl demostrr que l crg dsmnuye con el tempo como se represent en l fgur 163, de cuerdo con l ecucón: Ing. Sndr Slvester Págn 210

14 q fgur 163 r w (194) Q Descrg de un cpctor trvés de un resstenc L corrente de descrg vene dd por: = (195) Q/e RC t Ls curvs de ls fgurs 162 y 163, representn tmén l vrcón de l dferenc de potencl entre ls rmdurs del cpctor, y que est dferenc de potencl es proporconl l crg. Ejercco Nº 111: Un cpctor de 4,6 µf que nclmente está sn crg, se conect en sere con un resstor de 7,5 kω y un fuente de fem con ε = 125 V y resstenc ntern nsgnfcnte. Inmedtmente después de cerrr el crcuto, cuál es: ) l cíd de tensón entre los extremos del cpctor, ) l cíd de tensón entre los extremos del resstor, c) l crg del cpctor, d) l corrente trvés del resstor? e) Mucho tempo después de her cerrdo el crcuto, cuáles son los cutro vlores nterores? ) Inmedtmente después de cerrr el crcuto no hy tensón sore el cpctor, y que todví no tene crg lgun. ) Tod l tensón de l fuente qued plcd sore el resstor, sí que: V R = ε = 125 V. c) No hy crg sore el cpctor. d) R = ε / R totl = 125 V / Ω = 0,0167 A e) V C = 125 V ; V R = 0 ; R = 0 q = C V C = (4,6 x 10 6 F) (125 V) = 5,75 x 10 4 C Ejercco Nº 112: Se conect un cpctor de 12 µf, trvés de un resstor de 1 MΩ, un dferenc de potencl constnte de 60 V. ) Clculr l crg del cpctor los 5 s después de estlecer l conexón. ) Clculr l corrente de crg en el msmo nstnte. ) -v (110 $ y)(1210 $ z)12 \ rv )(1210 $ z)(60 ')C11 (X Y/ Y) D2,4510 { v ) - 1@/Ax 60 ' 110 $ y 1(X Y/ Y) 3,9510 X Ing. Sndr Slvester Págn 211

15 Ejercco Nº 113: Se crg un cpctor un potencl de 12 V y luego se lo conect un voltímetro con un resstenc ntern de 3,4 MΩ. Al co de un tempo de 4 s, l lectur del voltímetro es de 3 V. Cuál es l cpcdd? rw M v'v M ' M' v - 5 (M M) 4 \ (3,410 $ 84,9 z y)}5 (12 3)~ Ing. Sndr Slvester Págn 212