Universidad Técnica Federico Santa María

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Francisco Javier Carrasco Suárez
hace 6 años
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1 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Deprtmento de Informátc ILI-8 Cpítulo 5: Vrles Aletors Dstrucones Estdístc Computconl I Semestre 6 Profesor : Héctor Allende Profesor : Crlos Vlle Ω Espco Muestrl ({no fll}) Vrles Aletors : Ω no fll fll ({fll}) R IR - (]-, ]) I A cd s Ω le corresponde ectmente un vlor (s) IR + Fml de eventos elementles Conjunto Números Reles 3 Vrles Aletors Vrles Aletors Funcón que sgn cd punto del espco muestrl un número rel : Ω R Ω s k A s (s) (s) ; s Ω Ejemplo N : R Ω {fll, no fll} ({ no fll }) ({ fll }) El espco R es el conjunto de TODOS los posle vlores de (s). En certo sentdo podemos consderr R como otro espco muestrl. El espco muestrl orgnl nduce Ω un espco muestr R socdo l Vrle Aletor. Luego un evento A en S nduce un evento en el espco muestrl R. 4

2 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Vrles Aletors Vrle Aletor s k A s (s) (s) ; s Ω R : Ω R (], ]) I Vrle Aletor Dscret Nótese que pr cd pr de números reles y esten los sguentes conjuntos - - ( < < ) ( < ] [ < ) [ ] < ) ] ( > ( Se C I (con C Ω) Soporte contle f:c R ) f ( c ) ) I f ( c ) Usndo l trnsformcon C { c : I N} 7 El concepto de Proldd de ocurrenc de eventos en el espco muestrl Ω se puede plcr eventos en R. Ω Funcón de Proldd f() f : R [, ] (s) ) f() Vrle Aletor Dscret Se un vrle letor S el número de vlores de (esto es su Recorrdo). Es fnto (contle) o. Es contlemente nfnto (denumerle). Entonces llmmos un vrle letor dscret. Esto es, los vlores de (w) pueden ser enumerdos.,, 3,, n, s (s) R En el cso contle l lst es fnt. En el cso denumerle l lst es nfnt contle : Ω R 6 8

3 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Vrle Aletor Dscret C I Se, conjunto de eventos elementles de un fml de eventos del espco muestr; C Ω :C R es un funcón defnd sore el Espco Muestrl, que mpe en el conjunto de los Números Reles los eventos elementles defndos en C { c : I N }, tl que: pc ( ) c ) Se A el evento tl los eventos elementles c C pertnezcn tmén A, esto es c C A. Usndo l trnsformcón : ( c ) A) j { : c C A} f ( c ) j ) 9 Funcón de Cuntí de un v.. dscret ( c ) A) j { : c C A} f ( c Propeddes funcón de cuntí: ) Funcón de Dstrucón ) j ) F ( ) ) f ( ) ) Funcón de Proldd v. dscret Espernz y Vrnz de un v.. dscret A cd resultdo posle se soc un número f ( ) ( s) llmdo l proldd de Los f( ) deen stsfcer: f ( ) f ( ) ) f( ) de un v..d. [ ] E ) Vrnz de un v..d V [ ] ( E[ ]) ) El conjunto de pres (, f( )) se le denomn Funcón de Proldd o Cuntí n P (5) f(5) Funcón de Proldd de ms Funcón de Frecuenc 3

4 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí f() Consderemos un solo epermento ε p,7 Dstrucón Bernoull se A un evento socdo con tl epermento. supongmos que A) p; luego A c ) - p Se l v.. (A ) (A c ) ) p ) p Entonces su funcón de cuntí es f() ) p ( p) -, < p < 3 Dstrucón Bnoml Supongmos que de un líne de produccón se etren n pezs con reemplzo, ls cules pueden ser defectuoss o no con un proldd p. : N de pezs defectuoss en ls n etrccones Entonces n k n k k) p ( p) k,,..., n k 5 Dstrucón Bernoull Dstrucón Bnoml Vrle letor dscret Bernoull: : Ω R Sen n repetcones ndependentes del epermento. Ω consste de todos los posles secuencs {,, 3,.., n }, donde cd puede ser un evento A o un evento A c. Esten n de tles secuencs. donde se tenen sólo eventos posles: ( w) ) p ( w) ) p f(),3 Se l vrle letor : número de veces que ocurre el evento A sus posles vlores son:,,, 3,..., n : Vrnz: E [] ( - p ) + * p p V [] ( - p ) ( - p ) + ( - p ) p p ( - p ),,, n 6 p, f() ) n,,,...,n < p < p ( p) n

5 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí : Vrnz : Notcón: Dstrucón Bnoml E [] np V [] np (-p) ~ B( n, p) Crcterístcs: Se utlz en el muestreo de un polcón fnt con reemplzo. Tmén cundo l polcón es muy grnde, con o sn reemplzo, y que p se hce reltvmente constnte. Dstrucón Hpergeométrc Surge en polcones que contenen elementos clsfcles en estrtos (con defectos: D ; sn defectos: N - D). Consderemos un lote de tmño N. Se etre un muestr de tmño n sn reemplzo. : N de rtículos defectuosos en l muestr 7 9 Dstrucón Bnoml Dstrucón Bnoml D N D k n k P ( k) N n D N k,,,...,mn{ n, D } E [ ] n V [ ] D( N D)( N n) n N ( N ) Es plcle l muestrer lotes de tmño pequeño en relcón l tmño de l muestr (N n). 8 5

6 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Dstrucón de Posson Supongmos que tenemos un muestr de tmño grnde, pr lo cul l proldd de encontrr un rtículo defectuoso es pequeño p, y por lo tnto np el número totl de rtículos defectuosos en l muestr. Se λ np. Entonces k λ λe k) k,,,... k! : Vrnz: E [] λ V [] λ Cso límte: B( n, p ) con Dstrucón de Posson k n λ λ k) k n n n y p P n k k λ λ ( k) e IN ( k ) k! I ( k ) {,,,..., n} 3 Dstrucón de Posson Construccón de un Modelo Prolístco Ejemplo: Ls pezs l sld de un líne de produccón se clsfcn en defectuoss (D) o no defectuoss (N). Se tom tres pezs letormente y se clsfcn de cuerdo este esquem. El Ω pr este epermento es: Ω {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} L proldd que un pez se defectuos es p y no cm. Eso mplc que s l polcón es fnt, ls oservcones se hcen con reemplzo Interes el número de pezs D y no el orden en que slen. Se defne un v.. gul l número de pezs defectuoss; luego, {,,, 3). Encontrr (, f( )) 4 6

7 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí,5,4,3,, f() Crendo un modelo prolístco (-p) 3 3(-p) p Ω {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} (NND) (NDN) (DNN) 3(-p) p 3 N) N) D) p 3 3 Vrles Aletors Contnus Cundo el epermento ε se relz sore un espco muestrl Ω que está relcondo con escls ntevlres. tles como medcones de dstncs, volúmenes, pesos, tempos, velocdd, voltjes, ntensdd, cudl, tempertur, etc. Y que los posles vlores de en un ntervlo, < <, son nfntos - no enumerles - no podemos hlr del -ésmo vlor de ; En tles csos se hl de Vrles Aletors Contnus, donde R es un ntervlo o un conjunto de ntervlos; entonces este un funcón contnu especl: f : R R < < + h) f ( ) lm > h h 5 7 F() Funcón de dstrucón v.. dscret F() < Σ f( ) < Σ f( ) < 3 3 Σ f( ) 3 < 4 4 Vrles Aletors Contnus Se un vrle letor contnu. L funcón densdd de proldd (pdf) es un funcón que stsfce: f() A: un evento n Σ f( ) 4 < 5 5 ) f( 5 ) Funcón de Proldd de ms Funcón de Frecuenc 6 f() > ; R, + R f() d A: { < ) A) < < ) f( ) d 8 7

8 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Dstrucones de Proldd Contnus Están defnds por un densdd de v.. f : R R se dce densdd de proldd Funcón de dstrucón cumuld S es un vrle letor, l Funcón de Dstrucón Acumuld mde l proldd de un suceso en un ntervlo de vlores: F( ) ) Propeddes: f() - f()d 9 S es un v.. Dscret F ( ) f ( ) Donde l sum es tomd sore todos los índces que stsfcen S es un v.. Contnu F ( ) f ( t) dt Donde l sumtor es reemplzd por un ntegrcón pr todos los vlores de t 3.. F ( ) ) f ( t) dt 3. F (- ) ; F ( ) 4. F es no decrecente 5. E Propeddes y Defncones P ( ) f ( ) d [ ] R 6. V ( E ) f ( ) d f ( ) d [ ] [ ] R f() A f ( ) d 3 Construccón de Modelos de Proldd F : R R Se es un funcón de dstrucón, entonces: F es no decrecente F es contnu por l derech lm f ( ) y lmf ( ) Luego ] -, ]) F() defne un Proldd Además: ],] ) F() - F() [,] ) F() - F(-) ],[ ) F(-) - F() [,[ ) F(-) - F(-) 3 8

9 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Vrles Aletors Contnus Dstrucón Unforme f(), Se un vrle letor contnu que puede tomr culquer vlor entre ; cuy pdf es: f ( ) Se 3; A: el evento { 4 < < 7 },, mn má Entonces: 7 A) 4 < < 7) 4 9 d A) Funcón de densdd Funcón de Dstrucón es Notcón: Dstrucón Unforme F ( ) f ( ) < < < < + ( ) E[ ] Vrnz V [ ] ~ U (, ) Funcón de densdd L funcón de Dstrucón no tene epresón nlítc. (Usr tls o clculdors) Vrnz Notcón: Dstrucón Norml o Gussn f ( ) µ σ πσ [ ] µ [ ] σ E V ~ N( µ, σ ) e, R

10 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Dstrucón Norml Dstrucón Eponencl Funcón de densdd Funcón de Dstrucón es Vrnz Notcón: λ f ( ) e s, λ > λ V [ ] λ ~ ep( λ) λ F ( ) e E [ ] λ Dstrucón Norml o Gussn Dstrucón Eponencl Estndrzcón Hcendo µ Z N(, ) σ se tene que: z fz( z) e π y F Z (z) se otene de tls!, z R 38 4

11 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Funcón de densdd Funcón de Dstrucón es Vrnz Notcón: Dstrucón de Rylegh f ( ) e α α s F ( ) e α π E[ ] π V [ ] ( ) α ~ R( α) α Funcón de densdd Funcón de Dstrucón es F ( ) e Vrnz Notcón: Dstrucón de Weull f ( ) e s [ ] / Γ +, >, > E / Γ + Γ V + ~ Weull(, ) [ ] 4 43 Dstrucón de Rylegh Dstrucón de Weull 4 44

12 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Funcón de densdd Vrnz Notcón: Dstrucón t-studentt f ( ) ν + ν νπ V ν + Γ E Γ [ ] ν > ν [ ] ν > ν ~t ν + ν Funcón de densdd Funcón de Dstrucón es Vrnz Notcón: Dstrucón Gmm α β e f (, α, β ) I α R α) β + f ( ) F ( ) ) ( t, α, β ) dt E[ ] αβ V [ ] αβ ~ Gmm( α, β ) α, β ) n) y n e y dy n > Dstrucón t-studentt Dstrucón Gmm ~ α, β ) 46 48

13 Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Funcón de densdd Funcón de Dstrucón es Vrnz Notcón: Dstrucón Ch-Cudrdo Cudrdo f F ( ) ) ( t, n) dt E [ ] n V [ ] n ~ χ ( n) n /,) f n e n Γ (,n) I () n R+ Funcón de densdd r + s) r f (, r, s) s ( ) I[ ]( ), r) s) Funcón de Dstrucón es Vrnz Notcón: Dstrucón Bet f F ( ) ) ( u, r, s) du E V [ ] [ ] β( r, s) µ [ ] r E r + s rs ( r + s) ( r + s + ) ~ Bet( r, s) β ( r, s) r s ( ) d r + s) r + u) r) r + s + u) 49 5 Dstrucón Ch-Cudrdo Cudrdo Dstrucón Bet 5 5 3

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