Método de mínimos cuadrados para la aproximación de datos experimentales

Transcripción

1 Método de ínos cudrdos pr l procón de dtos eperentles Aprocón por rects que psn por el orgen A contnucón, efectureos el cálculo de l pendente de l rect que ps por el orgen que eor se pro un conunto de vlores (,, (,,, (, eperentles. ste procedento es de grn portnc dedo que en ls eperencs uchs veces ls gntudes físcs dependen lnelente, coo por eeplo, l ntensdd de corrente eléctrc es drectente proporconl l dferenc de potencl en los eleentos óhcos. n reterds ocsones, nos será útl encontrr l pendente de l rect que eor proe los dtos eperentles, dedo que tendrá un portnte sgnfcdo físco. n el eeplo nteror, l pendente del gráfco dferenc de potencl (V en funcón de l ntensdd (I es l resstenc eléctrc (R del eleento estudo. n los csos en los que l relcón entre ls vrles no es lnel, uchs veces se puede lnelzr ls relcones pr llevrls este cso. Podeos epresr l relcón lnel entre s gntudes de l sguente for: n donde es l pendente de l rect, o se, el vlor que deseos hllr. n el eeplo nteror, corresponde l dferenc de potencl (V, l ntensdd (I, es un constnte de proporconldd, l cul es gul l resstenc (R del eleento. Cundo trteos dtos provenentes de un eperenc, dedo los errores eperentles, generlente los dtos eperentles no stsfcerán ectente dch ecucón, sno que estrán próos l rect, pero no perfectente lnedos. s decr l dstnc de cd punto del gráfco l rect, clculdo coo no será ectente cero: Págn de

2 L su de ls dstnc de cd punto del gráfco l rect elevd l cudrdo, que nos d un de de cun cerc est l rect de los dtos eperentles, lld desvcón cudrátc de los puntos respecto l rect, estrá dd entonces por l sguente epresón: ( Oserveos que l desvcón cudrátc de los puntos respecto l rect es un funcón de l rect, cd rect (o se cd pendente gener dstncs de cd punto dch rect por ende un vlor de su su l cudrdo. Lo que deseos otener es l rect (clculr l pendente que nce dch funcón, o se, otener l rect que, en certo sentdo, esté ás cerc de los puntos eperentles. Recordeos que pr un práol del tpo f A B C l scs del su B vértce es. S el coefcente A es postvo, entonces dch práol tendrá A concvdd postv por ende l scs del vértce corresponde l vlor de en el que f to su vlor íno. l funcón L epresón de coo funcón de es un práol, con coefcentes A, B, C. Oserveos que corresponde un práol de concvdd postv, que el coefcente A, el que ultplc, es >. llo hce que dch funcón teng un íno pr un vlor de. Dcho vlor de corresponde l pendente de l rect que nz l su de ls dstncs l cudrdo de cd punto eperentl l s. Otr ner de otener el so resultdo es pensr que es un funcón, lo que deseos es otener el vlor de que nz dch funcón. Pr logrr dcho oetvo, deeos poner l sguente condcón de etreo: d d Al hcer l dervd de l funcón coo funcón de oteneos: d d ( Págn de

3 Cu solucón es l nterorente ctd. n conclusón, heos otendo l pendente de l rect de l for que eor pro los dtos eperentles. Llegos l conclusón, que l pendente de l rect que nz l su de ls dstncs l cudrdo de los vlores eperentles l rect (l rect que en certo odo ás se pro los vlores eperentles tene coo pendente: Aprocón por rects que no necesrente psn por el orgen Clculeos hor l eor procón de un conunto de vlores eperentles (,, (,,, (, por un rect generl, que no necesrente pse por el orgen. Podeos epresr l relcón entre s gntudes de l sguente for: en donde es l pendente de l rect es el punto de corte de l rect con el ee, o se, los vlores que deseos hllr. Procedos de l s ner que en el cso nteror. Págn 3 de

4 Págn 4 de Ahor, l dstnc de cd punto del gráfco l rect tendrá l epresón. uevente clculeos l su de ls dstnc de cd punto del gráfco l rect elevd l cudrdo, que nos d un de de cun cerc est l rect de los dtos eperentles. L s estrá dd por l sguente epresón: ( ( Oserveos que l desvcón cudrátc de los puntos respecto l rect es un funcón de l rect, cd rect (o se cd pendente punto de corte gener dstncs de cd punto dch rect por ende un vlor de su su l cudrdo. Lo que deseos otener es l rect (clculr l pendente punto de corte que nce dch funcón, o se, otener l rect que, en certo sentdo, esté ás cerc de los puntos eperentles. n l cso nteror, cundo ls rects psn por el orgen, l funcón dependí de un sol vrle,, encontrr el vlor que l nz fue un tre sencll. n este cso l funcón depende de dos vrles,, deeos encontrr l pre de vlores que l nzn. l tro es un poco ás coplcdo. Prerente hgos un deostrcón sn hcer uso de dervds. Pr un certo vlor ddo del práetro, podeos pensr l funcón coo funcón solo de : f Pr dcho vlor de l funcón (coo funcón solente de es un práol de concvdd postv, por lo que deeos elegr el vlor de pr nzrl coo: A B Por otro ldo, pr un certo vlor ddo del práetro, podeos pensr l funcón coo funcón solo de : f

5 Págn 5 de Pr dcho vlor de l funcón (coo funcón solente de es nuevente un práol de concvdd postv, por lo que deeos elegr el vlor de pr nzrl coo: A B n defntv, heos otendos dos relcones que se deen stsfcer sultáneente pr nzr l funcón,, ls que forn un sste de dos ecucones dos ncógnts: Resolvendo dcho sste de ecucones, oteneos los vlores de desedos: Otr ner ás generl de otener el so resultdo es pensr que es un funcón de dos vrles,, lo que deseos es otener los vlores de que nzn dch funcón. Pr logrr dcho oetvo, deeos poner l sguente condcón de etreo:,, Clculndo dchs dervds prcles de l epresón de coo funcón de, oteneos:

6 Págn 6 de,, Dcho sste de ecucones es el so sste de ecucones que híos encontrdo por ende tene ls ss solucones. Clculndo ls dervds segunds se coprue fáclente que el punto encontrdo es efectvente el únco íno de l funcón. ste segundo rzonento es ás drecto, unque el nteror no utlz dervcones, por ende puede resultr coprensle s no se conoce el cálculo dferencl. n conclusón heos encontrdo ls l pendente el punto de corte el ee,, de l rect de l for que eor pro los dtos eperentles. Llegos l conclusón que l pendente el punto de corte con el ee de l rect que nz l su de ls dstncs l cudrdo de los vlores eperentles l rect (l rect que en certo odo ás se pro los vlores eperentles tenen coo epresones:

7 Aprocón por polnoos de grdo Clculeos hor l eor procón de un conunto de vlores eperentles (,, (,,, (, por un polnoo de grdo. Podeos epresr l relcón entre s gntudes de l sguente for: en donde los,,, son los coefcentes del polnoo, o se, los vlores que deseos hllr. Procedos de l s ner que en los csos nterores. Ahor, l dstnc de cd punto del gráfco l polnoo tendrá l epresón. uevente clculeos l su de ls dstncs de cd punto del gráfco l polnoo elevd l cudrdo, que nos d un de de cun cerc est el polnoo de los dtos eperentles. L s estrá dd por l sguente epresón: ( Oserveos que l desvcón cudrátc de los puntos respecto l polnoo es un funcón del polnoo, cd polnoo (o se cd conunto de coefcentes,,, gener dstncs de cd punto dcho polnoo por ende un vlor de su su l cudrdo. Lo que deseos otener es del polnoo (o se el conunto de coefcentes,,, que nce dch funcón, o se, otener el polnoo de grdo que, en certo sentdo, esté ás cerc de los puntos eperentles. Págn 7 de

8 Págn 8 de n los csos nterores, cundo teníos rects psn por el orgen, l funcón dependí de un sol vrle,, encontrr el vlor que l nz fue un tre sencll; luego, pr rects generles l funcón dependí de dos vrles,, encontrr los vlores que l nz fue un poco ás coplcdo. n este cso generl, l funcón depende de vrles,,, deeos encontrr el conunto de vlores que l nzn. l tro ctul es un poco ás coplcdo, unque es un sple generlzcón del procedento nteror l cso de vrles. Pr logrr dcho oetvo, deeos poner l sguente condcón de etreo:,,,, :,,,,,,,, Clculndo dchs dervds prcles de l epresón de coo funcón ls vrles,,,, oteneos: n n ( : ( : ( Dchs ecucones pueden ser rescrts de l sguente ner:

9 Págn 9 de n n : : O, pr gnr clrdd pueden ser escrts en for trcl de l sguente ner. n Por lo tnto, l solucón del sste es n Inv n donde Inv [A] sgnfc l trz nvers de A. n conclusón heos encontrdo el conunto de coefcentes,,, del polnoo de grdo de l for que eor pro los dtos eperentles. Llegos l conclusón los coefcentes del polnoo de que nz l su de ls dstncs l cudrdo de los vlores eperentles l polnoo (el polnoo que en certo odo ás se pro los vlores eperentles tenen ls epresones nterorente clculds.

10 Aprocón por fls rtrrs de funcones n todos los eeplos nterores procuros pror un conunto de dtos eperentles (,, (,,, (, por un rect o polnoo. n defntv, teníos un conunto de posles rects o polnoos pretrzdos por un conunto de práetros. Por eeplo es el práetro que descre ls rects que psn por el orgen; es el conunto de práetros que descren ls rects generles, los coefcentes de los polnoos son los práetros que descren los polnoos. n cso generl, uno puede tener un fl de funcones f que dependen de vros práetros α, α,, α reles: f α, α,, α dese encontrr entre dch fl de funcones l que eor pro los dtos eperentles. l étodo de ínos cudrdos es plcle en dch stucón. Pr ello uno dee consderr ls dstncs f ( de los puntos eperentles l curv de uste. uevente consderos l su de tods ls dstncs elevds l cudrdo: ( f ( L que result un funcón de los práetros α, α,, α, que pr cd conunto de práetros oteneos un funcón f por ende un conunto de dstncs. ntonces result ser un funcón de los práetros α, α,, α o se ( α, α,, α. l étodo de ínos cudrdos consste en nzr, por lo que se dee hcer es poner l sguente condcón de etreo: : ( α, α,, α α ( α, α,, α α Oteneos l solucón del prole (los práetros α, α,, α l resolver dcho sste. Adeás h que segurrse de otener un solucón que correspond efectvente un íno de. Págn de

11 L dfcultd rdc en que generlente el sste nteror es un sste u coplcdo de resolver, por lo generl no lnel. Afortundente dsponeos de uchos étodos nuércos pr otener un solucón prod del so. Mínos cudrdos ponderdos n todos los eeplos nterores clculos ls dstncs de los dtos eperentles un fl de rects, polnoos o curvs que dependín de certos práetros. Segudente suos tods ls dstncs elevds l cudrdos, l resultdo lo llos. Luego encontros los práetros de ls rects o curvs que nzn dch epresón. H stucones en ls que no todos los dtos tenen l s portnc en el cálculo de. Un eeplo es cundo h ás ncertdure socd un edcón que ls deás. n ese cso uno puede deser que dch edcón teng enos portnc en el oento de pror los dtos por rects o curvs que ls restntes. Un posle procedento segur es el sguente. A cd edcón se le soc un peso w. Típcente, se le suele socr cd edcón un peso que se nversente proporconl l ncertdure socd dch edd elevd l cudrdo w, unque otrs eleccones son posles. n l defncón de, teneos en cuent dcho peso: w l resto del procedento es ectente gul l de los csos nterores, o se nzos l epresón otend pr, tenendo en cuent los fctores w. Oserveos que el desrrollo de es nálogo l cso nteror con l dferenc que cd sundo qued ultplcdo por el fctor de peso w. O se, cd vez que teneos un sutor del tpo. l s se trnsforrá un su del tpo. w. Coo eeplo, pr el cso de ls rects del tpo for w w oteneos Pr el cso de ls rects del tpo for oteneos: Págn de

12 Págn de (ce oservr que el fctor en ls fóruls nterores provení de hcer en los nuevos cálculos se trnsfor en w w w w w w w w w w w w w w w Los étodos resultdos en los deás csos son nálogos.