Sistemas de ecuaciones lineales
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- Julio Salazar Navarro
- hace 5 años
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1 Tem : Sstems de ecucones lneles A Condconmento del prolem. Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles B Métodos terdos: Jco, Guss-Sedel Reljcón C Métodos drectos: Fctorzcón LU Fctorzcón QR D Sstems superdetermndos. Prolem Encontrr un solucón del sstem, de mner promd:
2 Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Resolucón de sstems de ecucones lneles A. Un sstem de m ecucones lneles con n ncógnts consste en un coleccón de ecucones del tpo A, pr un mtrz rectngulr A de m fls n columns un ectorde térmnos ndependentes de m componentes. n M M M M M M M n m L mn L Teorem de Rouché-Froenus: un sstem de ec. lneles A es comptle.e. tene solucón s sólo s rgarga, en cuo cso es determndo.e. tene solucón únc s sólo s rgarga n. m A contnucón estudremos cómo resoler numércmente sstems comptles de rngo mámo.e. rgarga n.
3 Resolucón de sstems de ecucones lneles A. ESQUEMA: A Condconmento del prolem: Estldd de l solucón por errores Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles B Métodos terdos: Norms mtrcles:,, Número de condcón: κa A A - Jco Guss-Sedel Reljcón o SOR C Métodos drectos: Fctorzcón LU: Doolttle, Crout, Choles Fctorzcón QR D Sstems superdetermndos: seudosolucón
4 Resolucón de sstems de ecucones lneles A. A Condconmento del prolem: Estldd de l solucón por errores Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Serí desele que ls solucones de los sstems sguentes fuern precds El prolem está ml condcondo, que pequeños errores en los dtos de entrd tenen un reflejo notoro en ls solucones que se ofrecen como sld.
5 Resolucón de sstems de ecucones lneles A A Condconmento del prolem: Estldd de l solucón por errores Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Asmsmo, serí desele que fuern dferentes los ectores c de los sstems A Ac de solucones,..5.5 A A A El prolem está ml condcondo, en tnto en cunto pequeños errores en los dtos de entrd tenen un reflejo notoro en ls solucones que se ofrecen como sld.
6 Resolucón de sstems de ecucones lneles A A Condconmento del prolem: orms mtrcles número de condcón Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles El número de condcón del sstem es κa A A -, pr lgun norm mtrcl. Sempre es mor o gul que. El sstem estrá tnto mejor condcondo cunto más prómo se su número de condcón. Ls norms mtrcles que nosotros utlzremos serán ests tres: orm ó column: orm, euclíde ó espectrl: orm ó fl: A A n m j j n m n T A m λ ρ A A n j j { λ : λi A T A }
7 Resolucón de sstems de ecucones lneles A A Condconmento del prolem: Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles orm ó column: orm, euclíde ó espectrl: orm ó fl: orms mtrcles número de condcón A A m n n m j j n T A m λ ρ A A n j { λ : λi A..99 κa A A T A } A A j A A A A A A 5 κ
8 Resolucón de sstems de ecucones lneles A A Condconmento del prolem: Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles orm ó column: orm, euclíde ó espectrl: orm ó fl:. A..8 orms mtrcles número de condcón A A m n n m j j n T A m λ ρ A A n j j { λ : λi A T A } κa A A - A 8.8, A , A.7 A 9.98 A 8.58 A κ A 77.77, κ A 9.5, κ A
9 Resolucón de sstems de ecucones lneles A A Condconmento del prolem: Resoler el sguente sstem utlzndo rtmétc ect Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles. 5.9 κ A Resoler el msmo sstem utlzndo rtmétc de cfrs decmles ects mednte el método de reduccón por fls κ B
10 Resolucón de sstems de ecucones lneles A B Métodos terdos: Suponemos que A es regulr A. Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Un método terdo consste en estlecer un sucesón de ectores en l form K c El método conerge pr culquer eleccón ncl s sólo s I K nertle ρ K m{ λ : λ es utolor de K}< { } Además, conerge l únc solucón de A s: De ser éste el cso, cots pr medr el error enen dds por: c I K A K K K
11 Resolucón de sstems de ecucones lneles A B Métodos terdos: Buscmos K tl que K c, I K nertle c I K A Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Por descomposcón, AM- LDU Jco: Guss-Sedel: Reljcón: M M M D, L U M M D L, D L, ω U ω D ω U
12 Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Resolucón de sstems de ecucones lneles A B Métodos terdos: Jco: M D, L U D L U D Consste en utlzr l -ésm ecucón de A pr otener el lor de en funcón de L L n n
13 álculo umérco de sstems lneles B Métodos terdos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Jco: n n L L Cá Tem : Resolucón d n n
14 Resolucón de sstems de ecucones lneles A B Métodos terdos: Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Guss-Sedel: M D L, U D L U D L Consste en utlzr l -ésm ecucón de A pr otener el lor de en funcón de de ls componentes clculds L L n n
15 álculo umérco de sstems lneles B Métodos terdos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Guss-Sedel: L L Cá Tem : Resolucón d 7 n n L L
16 álculo umérco de sstems lneles B Métodos terdos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Consste en utlzr l -ésm ecucón de A pr otener el Reljcón: U D L D M ω ω ω, L D U D L D ω ω ω ω Cá Tem : Resolucón d lor de en funcón de de ls componentes clculds modfcds por un peso ω. n n L L ω ω
17 álculo umérco de sstems lneles B Métodos terdos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Reljcón, ω.75 ω Cá Tem : Resolucón d n n L L ω ω
18 álculo umérco de sstems lneles B Métodos terdos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Jco Cá Tem : Resolucón d Guss-Sedel Reljcón, ω
19 Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Resolucón de sstems de ecucones lneles A B Métodos terdos: conergenc de los métodos. En generl, pr que un método terdo conerj, dee cumplrse que ρk <. CASOS PARTICULARES: Métodos de Jco Guss-Sedel: K c o Conergen pr mtrces A dgonl domnntes.e. el lor soluto de los elementos de l dgonl morn l sum de los lores solutos de los restntes elementos de su fl. Método de Reljcón: o Derge pr ω fuer del nterlo,. o o Pr A smétrc defnd post es decr, A T A los determnntes de ls mtrces prncples son todos postos, el método de reljcón conerge s sólo s ω pertenece l nterlo,. Pr A dgonl domnnte, el método de reljcón conerge s ω pertenece,], tenendo ncertdumre en otro cso.
20 álculo umérco de sstems lneles B Métodos terdos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Jco: > J ρ El método de Jco no conerge. Cá Tem : Resolucón d G.-S.: Relj., ω.75: 7 > GS ρ > R ρ El método de Relj. no conerge. El método de G.-S. no conerge.
21 álculo umérco de sstems lneles B Métodos terdos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Jco S A es dgonl domnnte.889 < J ρ Cá Tem : Resolucón d Guss-Sedel Reljcón, ω.75.5 R ρ <. < GS ρ 7,]
22 Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: Fctorzcón LU: Doolttle, Crout, Choles Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Se trt de descomponer l mtrz de coefcentes A en l formalu pr certs mtrces trngulres nferor superor. Ls mtrces L U son úncs, prefjds un de sus dgonles. Esto será posle s sólo s los determnntes de ls mtrces prncples son todos no nulos. S l mtrz A es regulr, entonces sempre este un reordencón de fls columns que fcltn est condcón. S l mtrz A es dgonl domnnte, entonces los determnntes de ls mtrces prncples son todos no nulos En ests condcones, resoler el sstem A se reduce resoler dos sstems trngulres: prmero, L, de solucón c; después, Uc, cu solucón es l solucón del sstem orgnl. Grn nconenente: puede empeorr el condconmento del sstem orgnl.
23 Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: Fctorzcón LU: Doolttle, Crout, Choles S los determnntes de ls mtrces prncples son todos no nulos. Dependendo de cómo se tomen L U podemos dstngur: Fctorzcón de Doolttle: L con dgonl de unos. Fctorzcón de Crout: U con dgonl de unos. Fctorzcón de Choles: UL T Aquí, dconlmente A h de ser smétrc defnd post. Es decr, AA T los determnntes de ls mtrces prncples son todos postos.
24 Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: Fctorzcón LU: Doolttle, Crout, Choles Fctorzcón de Doolttle: L con dgonl de unos. Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles A 5 5 L l l l U u,, 5 5 u u u LU lu lu u lu u 5 l u l u l u l u l u u 5 u, u, u u 5, u 5 u l, l l u u u u u A
25 álculo umérco de sstems lneles C Métodos drectos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Fctorzcón LU: Doolttle, Crout, Choles Fctorzcón de Doolttle: L con dgonl de unos. 5 5 A 5 5 L U Cá Tem : Resolucón d z L T,, c 5 5 z U c T,,
26 Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: Fctorzcón LU: Doolttle, Crout, Choles Fctorzcón de Crout: U con dgonl de unos. Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles A 5 5 l u u L l l U u l l l,, 5 5 l lu lu LU l lu l lu lu 5 l l u l l u l u l 5 u, u l, l, l l 5, l 5 u l A
27 álculo umérco de sstems lneles Fctorzcón de Crout: U con dgonl de unos. C Métodos drectos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Fctorzcón LU: Doolttle, Crout, Choles 5 5 A 5 5 L U Cá Tem : Resolucón d 5 5 z L T,, c z U c T,,
28 Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: Fctorzcón de Choles: L T U. Fctorzcón LU: Doolttle, Crout, Choles Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles A A T A 5 5 l L l l >, >, 5 > 5, l l l U l l l l l l LU ll l l ll ll 5 l l l l l l l l l 5 l, l 5, l l 5, 5 l l l l A l l l
29 álculo umérco de sstems lneles C Métodos drectos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Fctorzcón LU: Doolttle, Crout, Choles 5 5 A Fctorzcón de Choles: L T U T U L Cá Tem : Resolucón d z L T 5,, c z U c T,,
30 Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Se trt de descomponer l mtrz de coefcentes A en l form AQR pr R trngulr superor Q untr Q T QI. En ests condcones, resoler el sstem A se reduce resoler el sstem trngulrrq T. Aunque est fctorzcón es más costos que l LU, present l entj de que preser el condconmento del sstem orgnl. Grm Schmdt: Consste en encontrr un se ortonorml de ls columns de A. L column de Q se gener como un comncón lnel de l column de A ls prmers columns construds de Q, tl que los coefcentes de l comncón lnel forezcn que dcho ector se ortogonl los nterormente construdos.
31 álculo umérco de sstems lneles C Métodos drectos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder 7 7 z A - Q - - q Cá Tem : Resolucón d Grm Schmdt: - - Consste en encontrr un se ortonorml de ls columns de A. L column de Q se gener como un comncón lnel de l column de A ls prmers columns construds de Q, tl que los coefcentes de l comncón lnel forezcn que dcho ector se ortogonl los nterormente construdos.
32 Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles q Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: A 7 - λ, 7 - Grm Schmdt: Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder z 7 q 5 Q λ 5, q 5 Consste en encontrr un se ortonorml de ls columns de A. L column de Q se gener como un comncón lnel de l column de A ls prmers columns construds de Q, tl que los coefcentes de l comncón lnel forezcn que dcho ector se ortogonl los nterormente construdos.
33 Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles q Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: A 7 - λ λ, 5 - Grm Schmdt: Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder z 7 q, q 55 QQ λ -,q 5 9 λ 5-5 Consste en encontrr un se ortonorml de ls columns de A. L column de Q se gener como un comncón lnel de l column de A ls prmers columns construds de Q, tl que los coefcentes de l comncón lnel forezcn que dcho ector se ortogonl los nterormente construdos.
34 Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: A A Q A Grm Schmdt: T 7 Q T Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder z Q z 5-5 7,, 5 Consste en encontrr un se ortonorml de ls columns de A. L column de Q se gener como un comncón lnel de l column de A ls prmers columns construds de Q, tl que los coefcentes de l comncón lnel forezcn que dcho ector se ortogonl los nterormente construdos. T
35 Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder Householder: Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Consste en relzr un sucesón de smetrís pr ller ls columns de A un form trngulr superor. H <, > <, > Pr ller en st relzr H -, sempre que.
36 álculo umérco de sstems lneles C Métodos drectos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder Householder: Consste en relzr un sucesón de smetrís pr ller ls columns de A un form trngulr superor. 7 7 z A Cá Tem : Resolucón d Pr ller en st relzr H -, sempre que. > < > <,, H - -,, -
37 álculo umérco de sstems lneles C Métodos drectos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder Householder: Consste en relzr un sucesón de smetrís pr ller ls columns de A un form trngulr superor. 7 7 z A - - Cá Tem : Resolucón d Pr ller en st relzr H -, sempre que. > < > <,, H - H H 5/ / -/ - H / -/ / - 7 H
38 Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: Householder: Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Consste en relzr un sucesón de smetrís pr ller ls columns de A un form trngulr superor. H A H H z 5, <, > <, > Pr ller en st relzr H -, sempre que. - 9
39 álculo umérco de sstems lneles C Métodos drectos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder Householder: Consste en relzr un sucesón de smetrís pr ller ls columns de A un form trngulr superor z H A H 9 - Cá Tem : Resolucón d Pr ller en st relzr H -, sempre que. > < > <,, H 5 9 H -7/5 9/5 5 H - /5-7/5 - H
40 Resolucón de sstems de ecucones lneles A C Métodos drectos: Householder: Fctorzcón QR: Grm Schmdt, Householder Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles H Consste en relzr un sucesón de smetrís pr ller ls columns de A un form trngulr superor. H H A H z Q T H H
41 Resolucón de sstems de ecucones lneles A D Sstems superdetermndos: Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles Conssten en sstems ncomptles, con más ecucones que ncógnts. Se trt de encontrr quellos ectores que promen mejor l solucón, en tnto en cunto hcen que el módulo del ector dferenc A- se mínmo. Se hl de solucones en mínmos cudrdos. De entre ells, l que menor módulo tene rece el nomre de seudosolucón. Un mner de determnr ls solucones en mínmos cudrdos es mednte el uso de ls ecucones normles, A T AA T. Otr form es utlzr un fctorzcón QR de A, de mner que ls solucones en mínmos cudrdos proenen de l solucón del sstem trngulr superor que determnn ls ecucones no nuls de RQ T. L norm del error ene dd por l norm del ector de térmnos ndependentes que corresponde ls ecucones nuls desechds.
42 álculo umérco de sstems lneles D Sstems superdetermndos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Ecucones normles: Cá Tem : Resolucón d Solucones en mínmos cudrdos: t t Seudosolucón: ' t t f t t t t t f A ε
43 álculo umérco de sstems lneles D Sstems superdetermndos: Resolucón de sstems de ecucones lneles A Householder: ε Cá Tem : Resolucón d Solucones en mínmos cudrdos: t t Seudosolucón: ' t t f t t t t t f A ε - - -,
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