Métodos computacionales Solución de sistemas de ecuaciones

Transcripción

1 Métodos computconles Solucón de sstems de ecucones Método de Guss Sedel Introduccón Breve repso de métodos drectos Método de Guss Sedel Comprcón de Guss Sedel con Jcob Convergenc del método Conclusones Solucón de sstems de ecucones Método de Guss Sedel Objetvos. Resolver sstems de ecucones lgebrcs lneles y vlorr su plccón en dversos cmpos de l cenc y l técnc. Conocer vrs técncs y su confbldd, sí como sus ventjs y desventjs. Entender l mportnc del método de Guss Sedel pr grndes sstems de ecucones dspersos. Comprender el vlor de l dgonl domnnte de un sstem. Entender el fundmento de l reljcón y cundo es propd su plccón. Desrrollr un softwre pr mplementr el método de Guss Sedel.

2 Solucón de sstems de ecucones Trtmos en este tem ecucones lgebrcs lneles que tenen l form generl : x+ 2x nxn b 2x+ 22x nxn b2... nx+ n2x nnxn bn Donde ls son los coefcentes constntes, ls b los térmnos ndependentes constntes y n es el número de ecucones. Solucón de sstems de ecucones Introduccón. Es necesro consderr el nro. de ecucones resolver: S n 3 ls técncs son smples Pueden plcrse entonces el método gráfco y l regl de Crmer. b b 2 b 2 22 D x De mner que ument el nro de ecucones los determnntes consumen tempo l tener que evlurlos. Se utlzn entonces otrs técncs ms efcentes pr l resolucón de dchos sstems.

3 Solucón de sstems de ecucones Se ntroduce el uso de l computdor Est permte l resolucón de grndes conjuntos de ecucones lgebrcs lneles smultánes. Los sstems de ecucones lneles smultánes surgen de sstems físcos o en dferentes contextos de problems mtemátcos. Estos resultn cundo se requere de funcones mtemátcs que stsfgn vrs condcones en form smultáne. Cd condcón result en un ecucón que contene coefcentes conocdos y vrbles desconocds Es posble consderr dos tpos de sstems que se modeln mednte ecucones lgebrcs lneles: Sstems que se modeln A) Sstems de vrbles grupds que nvolucrn componentes fntos relcondos B) Sstems de vrbles dstrbuds que nvolucrn un contnuo Modelo de un sere de rectores x 3 químcos A Almentcón x x 5 B x2 x4 Almentcón x... x x x +... xn

4 Solucón de sstems de ecucones Pr resolver numércmente, este tpo de sstems se utlzn: MÉTODOS DIRECTOS: Son provstos por l mtemátc pur, y llevn un solucón exct del problem, luego de un número fnto de psos. Este número depende exclusvmente de l cntdd de ecucones que componen el sstem. El error de los resultdos se debe, s no hubese errores nherentes en los prámetros, úncmente los redondeos relzdos durnte los cálculos. Métodos drectos Hemos vsto y l técnc fundmentl pr resolver sstems lgebrcos lneles-> Método de Elmncón de GAUSS Const de dos procesos centrles: elmncón hc delnte ( se obtene un mtrz trngulr ) y substtucón nvers Versón smple pr entender l técnc y lguns modfccones pr mnmzr problems. Evtr o mnmzr errores, se pueden utlzr 3 técncs: ) Uso de ms cfrs sgnfctvs 2) Pvoteo 3) Esclmento

5 Métodos drectos: Elmncón ) Uso de ms cfrs sgnfctvs: Es l mner ms smple pr el ml condconmento de los sstems. S se utlz precsón extendd se reduce el problem. Se pg un preco en clculo y memor. 2) Pvoteo: Antes de normlzr es convenente determnr el coefcente ms grnde dsponble en l column debjo del pvote. S los renglones se ntercmbn se relz pvoteo prcl. 3) Esclmento: Mnmz los errores de redondeo, en quellos csos que certos coefcentes de l ecucón son mucho ms grndes que otros. Por ej. Esclr ls ecucones de form tl que el elemento máxmo en culquer renglón se gul. Métodos drectos: Elmncón ) Sstems sngulres: Un sstem de ec. puede estr ml condcondo cundo dos o ms de ls ec. son cs déntcs. En tles csos se perde un grdo de lbertd y se drí un cso mposble de n- ecucones con n ncógnts. 2) S los sstems son grndes esto podrí no ser tn obvo. Entonces serí útl tener un form de detectr l sngulrdd de mner utomátc. 3) L respuest est dd: el determnnte de un sstem sngulr es cero. 4) Un lgortmo puede efectur un prueb pr dscernr s se cre un cero en l dgonl durnte l etp de elmncón. S descubre uno, el cálculo se puede prr nmedtmente y en l pntll precerá un mensje de lert

6 Métodos drectos: Guss Jordn Un modfctor del msmo es el Método de Gusss-Jordn Dferenc: en que cundo un ncógnt se elmn, est es elmnd de tods ls otrs ecucones, no sólo de ls subsecuentes. Todos los renglones se normlzn l dvdrlos por su elemento pvote Se obtene un mtrz dentdd en vez de un trngulr. No es necesr l substtucón hc trs pr obtener l solucón. Pr dsmnur los errores por redondeo: técncs de pvoteo prcl y el uso de myor nro. de cfrs sgnfctvs en los cálculos. Comprcón de los métodos Método Elmncón de Guss: Ventjs: Algortmo de solucón ms básco Desventj: Solucón de un únco conjunto de ecucones lneles l vez. Método de Guss-Jordán: Ventjs: L bse pr clculr l nvers; puede resolver conjuntos múltples de ecucones. Desventj: Menos efcente pr un únco conjunto de ecucones.

7 ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS MÉTODOS ITERATIVOS. Los métodos tertvos, son estrctmente numércos y dn un solucón proxmd del sstem de ecucones lneles, obtend como límte de un sucesón de vectores construd mednte un proceso de proxmcones sucesvs. ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS Método de Guss Sedel Se present un lterntv los métodos de elmncón, es decr métodos tertvos Prtculrmente decudo cundo se tenen grn número de ecucones. En estos csos los métodos de elmncón pueden estr sujetos errores. Error en Guss Sedel determndo por el nro. de tercones.

8 Método de Guss Sedel Los métodos tertvos consttuyen un lterntv muy usd: Supong un sstem de n ecucones: [ A ]{ X} { B} S los elementos de l dgonl no son todos cero-> L prmer ecucón se puede utlzr pr despejr x L segund pr x 2 y l tercer pr obtener x 3 () Método de Guss Sedel Proceso de solucón: b 2x2 x x 3 3 ) Escoger los vlores ncles pr los x. 2) Suponer los x 0 y substtur en () (2) (3) b2 2x 23x3 x2 22 b3 3x 32x x ) Obtener x b / 4) Luego x y x 3 se reemplzn en l (2) 5) Este proceso se repte en (3) pr obtener un nuevo vlor de x 3 6) Después se regres l prmer ecucón y se repte todo el procedmento hst que l solucón converj sufcentemente cercn los vlores verdderos.

9 Método de Guss Sedel L convergenc se verfc usndo el crtero: (4) j x x ε, 00% <ε s x j j Error reltvo porcentul Pr tods ls, j y j- son ls tercones ctules y prevs, respectvmente. (5) ε (0.5x0 s 2 n )% Crtero de Scrborough Ls ec. 4 y 5 son conservdors. Es decr segurn que el resultdo es, por lo menos tn bueno como lo especfcn Resolucón de un ejercco 3x 0. x2 0.2 x x + 7x x x 0.2 x2 + 0x x 3; x 2.5; 2 x 3 7;

10 Resolucón de un ejercco Solucón: Prmer tercón x x2+ 0.2x x x + 0.3x3 x x+ 0.2x2 x ( ) + 0 x ( ) + 0.2( ) x Resolucón de un ejercco Segund Itercón ( ) + 0.2( ) x ε t 0.3% ( ) + 0.3( ) x ε t 0.05% ( ) + 0.2( ) x ε t %

11 Resolucón de un ejercco Observmos entonces que el método es convergente hc l verdder solucón Es posble terr En un problem pror podrí no sberse el resultdo correcto. Entonces se utlz l ecucón: j x x ε, 00% <ε s x j j E(, ) error proxmdo/vlor proxmdo * 00% Pr estmr el error. Resolucón de un ejercco Errores % ε, ε, 2 ε, 3.8% 0.076% 2.5% Ests proveen un vlorcón conservtv de l convergenc. Así cundo se stsfcen, segurn que el resultdo se conozc con l menos, l tolernc especfcd por E s

12 Un método lterntvo. Jcob Guss Sedel: Cd vlor de x clculdo se ntroduce nmedtmente en l sguente ecucón -> se utlz l mejor proxmcón dsponble Jcob: Emple un táctc levemente dferente Se usn ls ecucones (),(2), y (3) pr clculr un conjunto de nuevs x con bse en un conjunto de x nterores. Así los nuevos vlores no se usn nmedtmente, sno se gurdn hst l próxm tercón. Es útl en lgunos csos, pero Guss Sedel es el método preferdo. Comprtvo de Guss Sedel y Jcob Guss Jcob

13 Crtero de Convergenc pr el método de Guss Sedel Retomndo l de desrrolld nterormente donde se especfcó que ls condcones sufcentes pr resolver dos ecucones no lneles: u(x,y) y v(x,y) son: (c.) (c.2) δu δx δu δy δv + δ x δv + δ y < < Este crtero se plc tmbén l método de Guss Sedel y; Crtero de Convergenc pr el método de Guss Sedel Ddo el cso de 2 ecucones smultánes, ls ecucones () y (2) del lgortmo quedrán sí: c (c.3) u (c.4) δu δx v 0 2 ( x, x2) x2 c 2 2 ( x, x2) x Se evlún ls dervds prcles con respecto cd un de ls ncógnts: δv δx 2 22

14 Crtero de Convergenc pr el método de Guss Sedel δu δx 2 2 δv δx 2 0 (c.5) Que se susttuyen en ls ecucones (c.) y (c.2) 2 < 22 y (c.6) 2 < O se el vlor bsoluto de ls pendentes de ls ec. (c.3) y (c.4) son menores que, pr segurr l convergenc. Crtero de Convergenc pr el método de Guss Sedel De gul mner ls ecucones nterores se reformuln: 22 > 2 n > j j, j > 2 L generlzcón de lo nteror pr n ecucones es drect: Crtero sufcente pero no necesro pr segurr l convergenc. Los sstems que cumplen est condcón son dgonlmente domnntes.

15 Representcones gráfcs de l convergenc X 2 v X 2 v ) u X b) u X Ls dos msms funcones son grfcds. Dependendo del orden en que se mplementn ls ecucones, determn s el cálculo converge. METODO DE GAUSS-SEIDEL (4) Psos, pr l plccón del método de Guss-Sedel:.- Asgnr un vlor ncl cd ncógnt. S es posble hcer un hpótess rzonble, se mejorrá substnclmente l rpdez de convergenc, s no, fjr rbtrrmente estos vlores. 2.- Prtr de l prmer ecucón, determnr un nuevo vlor pr l ncógnt domnnte, utlzndo pr ls otrs ncógnts los vlores supuestos según lo descrpto en.

16 METODO DE GAUSS-SEIDEL (5) 3.- Psr l segund ecucón y clculr el vlor de l ncógnt domnnte, utlzndo pr ello, el y clculdo en el pso nteror y los vlores supuestos en ls otrs ncógnts. 4.- Reterr el procedmento descrpto, con tods ls demás ecucones, sempre pr l ncógnt domnnte, utlzndo los últmos vlores clculdos. Completdo este pso se dce que se h concludo un ITERACIÓN. 5.- Iterr los psos 2; 3 y 4 hst que el vlor de cd ncógnt dfer del vlor respectvo obtendo en l tercón prev, en un cntdd menor que un E postvo y rbtrro prevmente fjdo. Algortmo DE GAUSS-SEIDEL (I) (0) Pr resolver A x b dd un proxmcón ncl INPUT número de ecucones e ncógnts n; los elementos j, <, j<n de l mtrz A; los elementos b,<<n de b; (0) los elementos XO,<<n de XO x ; tolernc TOL; máxmo número de tercones N. OUTPUT l solucón proxmd x, x 2,..., x n o un mensje de que el número de tercones fue exceddo. Pso Se k. Pso 2 Mentrs se (k<n) relzr Psos 3-6. Pso 3 Pr,.,n x Se x x j j j j + n j XO j + b

17 Algortmo DE GAUSS-SEIDEL (II) Pso 4 S x-xo < TOL entonces OUTPUT Pso 5 Se k k +. Pso 6 Pr,..,n se (Procedmento termndo con éxto.) STOP XO x ( 2 n x, x,..., x ) Pso 7 OUTPUT ( Número máxmo de tercones exceddo ); (Procedmento termndo sn éxto.) STOP. Método Itertvo de Jcob Pr resolver Axb dd un proxmcón ncl x (0) : ENTRADA el numero de ecucones e ncógnts n; los elementos j, <, j<n de l mtrz A; los elementos,<<n de b; los elementos XO, <<n de XO tolernc TOL; máxmo número de tercones N. SALIDA: l solucón proxmd x x n o el mensje de que rebsó el numero de tercones. Pso Tome k. x b (0)

18 Método Itertvo de Jcob Pso 2 Mentrs (K<N) hg psos 3-6. Pso 3 pr,..n, tome x n ( jxoj) j j j + b Pso 4 s x-xo < TOL entonces SALIDA (x x n ); (procedmento termndo extosmente). PARAR Método Itertvo de Jcob Pso 5 tome kk+ Pso 6 pr,..n tome XO x Pso 7 SALIDA ( Numero máxmo de tercones exceddo ); (Procedmento termndo sn éxto) PARAR

19 Mejormento de l convergenc L reljcón permte mejorr l convergenc. Después que se clcul cd nuevo vlor de x por medo de ls ecucones de Guss Sedel Este se modfc mednte un promedo ponderdo de los resultdos de ls tercones nteror y ctul: x nuevo λ x + nuevo ( λ ) x nteror es un fctor ponderdo que vle entre 0 y 2 Mejormento de l convergenc S λ, ( - λ ) 0 el resultdo no cmb S 0 < λ < el resultdo es un promedo ponderdo de los resultdos nterores. Esto se conoce como subreljcón. Objetvo: pr que el sstem no convergente converj o presure l convergenc. S < λ < 2 -> se supone que el nuevo vlor se mueve en l dreccón correct pero lentmente. Esto se conoce como sobrerreljcón. Este método se conoce como sobrerreljcón smultáne o SOR. El λ se determn de form empírc. Cundo se justfc l ntroduccón de λ?.

20 Técncs de Guss Sedel Adecud cundo ls mtrces son grndes y esprcds, y que los métodos de elmncón desperdcn grn espco de memor pr gurdr 0. Esto mpone un lmtcón l tmño de los sstems que mnejn L estructur de ls ecucones permte que se desrrollen progrms concsos pr sstems específcos. Sólo se necestn nclur coefcentes que no sen 0-> se logrn horros de memor. Pr sstems grndes son efcentes en lmcenmento y en tempo de computo. El error de redondeo no es un tem que preocupe en este método. Softwre EXCEL posee funcones pr mnpulcón de mtrces ) Herrment SOLVER o 2) usndo l nversón de mtrces y ls funcones de multplccón. mnverse(b..d3); mmult(b5..d7;f..f3) Emple números de doble precsón S se sospech que el sstem est ml condcondo el nro. de condcón de l mtrz es útl

21 Softwre MATLAB: Explorr como se utlz pr resolver y nlzr ecucones lgebrcs. IMSL: Progrm prncpl en FORTRAN 90, llmndo dstnts rutns, según ctegorís pr solucón de sstems lneles, nversón de mtrces y clculo determnnte: LSARG: Solucón de sstems lneles con lt excttud LINRG: Inverte LFDRG: Clculo del determnnte Conclusones Por su sencllez, l cntdd de opercones relzr y su mnejo decudo de l memor es muy útl pr grndes sstems de ecucones. L condcón de sstem dgonlmente domnnte segur l convergenc l solucón del sstem Sno hbrá que relzr comprobcones del condconmento de l mtrz. L reljcón es un técnc pr celerr l convergenc en certos csos. A prtr de los lgortmos presentdos el lumno desrrollrá un softwre pr mplementr el método de Guss Sedel.

22 Bblogrfí Métodos Numércos pr ngeneros.- Chpr y Cnle. Edtorl McGrw Hll.- 5t. Edcón. Métodos Numércos Pce G.- Edtorl EUDENE 997 Análss Numérco-Burden & Fres- Edtorl Iberomercn. 996 Algortmo mplementdo de Guss Sedel Guss-Sedel