distributiva respecto a +: a(b + c) = ab + ac + distributiva respecto a : a + bc = (a + b)(a + c)

Transcripción

1 Tem 2 REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES 2.. ÁLGEBRA DE BOOLE En el dseño de los sstems dgtles se hce un uso extensvo de l teorí lógc. Es precso pues conocer detlldmente ls propeddes mtemátcs de ls funcones lógcs. Ests se ncluyen en l teorí mtemátc de ls Álgebrs de Boole. Defncón 2. Un ÁLGEBRA DE BOOLE es un conjunto A = {, b, c,...} que verfc los sguentes postuldos:. Exsten dos opercones bnrs nterns (+ y ) defnds sobre el conjunto, es decr, el resultdo de ests dos opercones se encontrrá sempre dentro del conjunto. 2. Ests opercones son conmuttvs: + b = b + y b = b 3. Ambs son dstrbutvs un con respecto l otr: dstrbutv respecto +: (b + c) = b + c + dstrbutv respecto : + bc = ( + b)( + c) (Est últm propedd no l verfcn los números reles) 4. Exsten elementos neutros pr mbs opercones, pr + y pr : + = y = 5. Todo elemento del álgebr tene su complementro. Se denot por y h de verfcr ls dos condcones sguentes: + = y =. 7

2 8TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES El Álgebr de Boole más sencll es quell formd por los elementos {,} con ls opercones AND y OR defnds en el prmer tem. Un propedd mportnte de un Álgebr de Boole es el prncpo de Duldd. Este prncpo estblece que ls expresones lgebrcs dedus prtr de un Álgebr de Boole permnecen válds s se ntercmbn los operdores (+ por ) y los elementos neutros ( por ). Otrs propeddes mportntes de un Álgebr de Boole son ls sguentes:. Asoctv: + b + c = ( + b) + c = + (b + c) y bc = (b)c = (bc) 2. Idempotenc: + = y = 3. Absorcón del neutro: + = y = 4. Involucón: () = 5. Absorcón: + b = 6. + b = + b 7. Leyes de De Morgn: + b = b + b + + n = b n b = + b b n = + b + + n Tods ests propeddes pueden demostrrse drectmente prtr de los postuldos del Álgreb de Boole. Como ejemplo vmos verfcr dos de ells, quedndo ls demás como ejerccos pr los lumnos: Propedd 2: + = + = ( + ) Elemento neutro = ( + )( + ) Complementro = + Dstrbutv = + Complementro = Elemento neutro Propedd 6: + b = + b + b = ( + )( + b) Dstrbutv = ( + b) Complementro = + b Elemento neutro

3 2.. ÁLGEBRA DE BOOLE 9 b b c c ( b + c ) = b + c b c b c + b c = ( + b ) ( + c ) b + b = + = = + = = + = = Fgur 2.: Interpretcón físc de lguns propeddes del Álgebr de Boole.

4 2TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES b c f Fgur 2.2: Implementcón de l funcón f del ejemplo 2.2. FUNCIONES DE BOOLE Un funcón f de n vrbles sobre un Álgebr de Boole A es un plccón f : n { }} { A A A A S A = {, } son 2 n ls posbles combncones de entrd (x n,, x, x ), donde x {, }. Un Funcón de Boole puede defnrse mednte expresones del ben dndo su Tbl de Verdd (tbl de vlores). Ejemplo: f(, b, c) = + bc Álgebr de Boole o b c f f(,, ) = + = f(,, ) = + = f(,, ) = + = f(,, ) = + = f(,, ) = + = f(,, ) = + = f(,, ) = + = f(,, ) = + = Dos funcones se dcen gules s sus Tbls de Verdd son gules. Por ejemplo, l funcón nteror f es gul l sguente funcón f (, b, c) =. A est conclusón se podrí hber llegdo smplfcndo f mednte ls propeddes del Álgebr de Boole: f(, b, c) = + bc = ( + bc) =

5 2.3. EXPRESIONES CANÓNICAS DE UNA FUNCIÓN DE BOOLE 2 Funcones de Boole son tmbén ls funcones AND y OR, que pr tres vrbles tenen l sguente Tbl de Verdd: b c bc + b + c En generl l funcón AND de n vrbles es cundo tods ls vrbles tomn el vlor. L funcón OR de n vrbles es cundo lgun de ls n vrbles es EXPRESIONES CANÓNICAS DE UNA FUN- CIÓN DE BOOLE En prmer lugr vmos defnr dos conceptos muy mportntes: Defncón 2.2 Pr funcones de n vrbles, llmmos mnterm un térmno producto que contene un de ls n vrbles, o ben negds o ben sn negr, sn repetrse nngun. Ejemplo: Pr funcones de tres vrbles serín mnterms: bc, bc, bc. Y no serín mnterms: b, bc. Los mnterms se denotn de form smplf tomndo un por vrble sn negr. Los posbles mnterms pr funcones de 3 vrbles son los sguentes: Mnterm Vrbles Notcón bc bc bc 2 bc 3 bc 4 bc 5 bc 6 bc 7

6 22TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES Defncón 2.3 Pr funcones de n vrbles, llmmos mxterm un térmno sum que contene un de ls n vrbles, o ben negds o ben sn negr, sn repetrse nngun. Ejemplo: Pr funcones de tres vrbles serín mxterms: +b+c, +b+c, +b+c. Y no serín mxterms: + b, + + b + c. Los mxterms se denotn de form smplf tomndo un por vrble sn negr. Los posbles mxterms pr funcones de 3 vrbles son los sguentes: Mxterm Vrbles Notcón + b + c 7 + b + c 6 + b + c 5 + b + c 4 + b + c 3 + b + c 2 + b + c + b + c Vmos enuncr un teorem muy mportnte relcondo con los mxterms y mnterms: Teorem 2. (Teorem de expnsón de Shnnon) Culquer funcón bnr puede expresrse en form de sum de mnterms o en form de producto de mxterms. Ests expresones, que son úncs, recben el nombre de representcones cnóncs de l funcón. Demostrcón: Queremos expresr un funcón culquer f(x n,, x ) en form de sum de mnterms. Podemos poner l funcón de l sguente form: f(x n,, x ) = x f(x n,, ) + x f(x n,, ) Est expresón se verfc pr los dos vlores posbles de x. S x = quedrá: f(x n,, x ) = f(x n,, ) + f(x n,, ), y s x = tendremos: f(x n,, x ) = f(x n,, ) + f(x n,, ). Reptendo el proceso pr x 2 : f(x n,, x 2, x ) = x 2 x f(x n,,, ) + x 2 x f(x n,,, ) + x 2 x f(x n,,, ) + x 2 x f(x n,,, )

7 2.3. EXPRESIONES CANÓNICAS DE UNA FUNCIÓN DE BOOLE 23 Y reptendo el proceso pr ls n vrbles: f(x n,, x 2, x ) = x n x 2 x f(,,, ) + x n x 2 x f(,,, ) + x n x 2 x f(,,, ) + x n x 2 x f(,,, ) + + x n x 2 x f(,,, ) + x n x 2 x f(,,, ) + x n x 2 x f(,,, ) + x n x 2 x f(,,, ) Por tnto, en l expresón de l funcón vn precer quellos mnterms que representn combncones de entrds pr ls cules l funcón vle, los demás desprecen. De form smlr se hrí l demostrcón pr expresr un funcón en form de producto de mxterms. En este cso vn precer quellos mxterms que representn combncones de entrd pr los cules l funcón vle, los demás mxterms desprecen. Conclusón: El Teorem de expnsón de Shnnon demuestr que exste un relcón sencll entre l Tbl de Verdd de un funcón de Boole y su representcón cnónc: l funcón presentrá un mnterm pr ls combncones de entrds en ls cules l funcón vle y presentrá un mxterm pr ls combncones de entrds en ls cules l funcón es. Ejemplo: vmos expresr en form de sum de mnterms y en form de producto de mxterms l sguente funcón f: b c f Mnterm Mxterm + b + c + b + c 2 bc 3 + b + c 4 + b + c 5 bc 6 + b + c 7 bc Donde hemos ñddo l Tbl de Verdd de l funcón los mnterms que corresponden ls combncones de entrds pr ls cules l funcón vle y los mxterms que corresponden ls combncones de entrds pr ls cules l funcón vle. Así tenemos ls sguentes representcones cnóncs (en l notcón smplf vmos ndcr los mnterms con un m y los mxterms con M ): f(, b, c) = m(2, 5, 7) = bc + bc + bc f(, b, c) = M(,, 3, 4, 6) = ( + b + c)( + b + c)( + b + c)( + b + c)( + b + c) Este desrrollo se generlz sn dfcultd pr funcones de culquer número de vrbles.

8 24TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES Defncón 2.4 Aquells combncones de entrds pr ls cules no nos nteres el vlor que pued tomr l sld se llmn ndferencs y se dce que ls funcones que ncluyen ndferencs están ncompletmente especfs. Esto ocurre en lguns ocsones cundo el crcuto que se dseñ form prte de un sstem myor en el que certs entrds se producen sólo en crcunstncs tles que l sld del crcuto no nflurá en el sstem generl. Sempre que l sld no teng nngún efecto, es evdente que no mport s l sld es un ó un. Otr posbldd es que certs combncones de entrd no ocurrn jmás debdo vrs resctrccones externs. El crcuto responderá de lgun form culquer entrd, pero como ess entrds no se producrán nunc no mport s el crcuto fnl responde con un sld de ó. Ls ndferencs se ndcn en l tbl de verdd notndo un como vlor funconl, en vez de un ó un. No es un símbolo estándr y tmbén son utlzdos otros como, d y X. Supongmos por ejemplo, que queremos construr un sstem que produzc como sld el cudrdo de los números del l 4. Necestremos tres bts como entrds pr represetr del l 4 y cnco bts de sld pr representr el myor vlor que es 4 2 = 6. L tbl de verdd de este sstem serí l sguente: b c f 4 f 3 f 2 f f Ls representcones cnóncs pr ests funcones serín, en notcón smplf (nótese que en este cso ls ndferencs son nds con un d o D como un térmno prte de los mnterms o mxterms): o ben, f 4 (, b, c) = m(4) + d(5, 6, 7) f 3 (, b, c) = m(3) + d(5, 6, 7) f 2 (, b, c) = m(2) + d(5, 6, 7) f (, b, c) = d(5, 6, 7) f (, b, c) = m(, 3) + d(5, 6, 7) f 4 (, b, c) = M(,, 2, 3) D(5, 6, 7)

9 2.4. MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES 25 f 3 (, b, c) = M(,, 2, 4) D(5, 6, 7) f 2 (, b, c) = M(,, 3, 4) D(5, 6, 7) f (, b, c) = M(,, 2, 3, 4) D(5, 6, 7) f (, b, c) = M(, 2, 4) D(5, 6, 7) Un ndferenc puede ser consderd como sld ó según conveng. Por ejemplo, en l funcón f, podemos consderr f (,, ) =, f (,, ) = y f (,, ) =, entonces desrrollndo l funcón en form de sum de mnterms: f (, b, c) = m(, 3, 5, 7) = bc + bc + bc + bc = c(b + b) + c(b + b) = c( + ) = c Con este ejemplo podemos ver que ls ndferencs vn ser muy útles l hor de smplfcr ls expresones lgebrcs de un funcón MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES Mnmzr un funcón es obtener l expresón más smplf posble pr dch funcón. En generl, l funcón mnmzd no es únc. Un expresón de un funcón en form de sum de productos será mínm s: No exste otr expresón de l funcón con menor número de térmnos producto. Culquer otr expresón con gul número de térmnos producto tendrá más vrbles dentro de los productos. S l expresón es un producto de térmnos sum será mínm s cumple ls condcones nterores cmbndo l plbr producto por sum. Vmos ver hor un sere de conceptos que nos yudrán obtener ls expresones mínms de ls funcones. Defncón 2.5 Dos mnterms (mxterms) consttuyen un mplcnte de prmer orden s l expresón de uno de ellos puede obtenerse prtr de l del otro negndo un sol vrble. L sum de los mnterms que componen un mplcnte es smplfcble (lo msmo que el producto de los mxterms). Ejemplo: Pr funcones de tres vrbles: bc y bc. Sum: bc + bc = c(b + b) = c (mplcnte c). Defncón 2.6 Dos mplcntes de prmer orden consttuyen un mplcnte de segundo orden s l expresón de uno de ellos puede obtenerse prtr del otro negndo un sol vrble.

10 26TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES Ejemplo: bc y bc (mplcnte c), b c y bc (mplcnte c). Sum: c + c = (c + c) = (mplcnte de segundo orden ). Defncón 2.7 Dos mplcntes de segundo orden consttuyen un mplcnte de tercer orden s l expresón de uno de ellos puede obtenerse prtr del otro negndo un vrble. Ejemplo: bc, bc, b c y bc (mplcnte ), b c, bc, bc y bc (mplcnte ). Sum: + =. Esto se generlz sn dfcultd pr funcones de culquer número de vrbles y pr mplcntes de culquer orden, es decr, dos mplcntes de orden n consttuyen uno de orden n+ s l expresón de uno de ellos se puede obtener prtr del otro negndo un vrble. Es convenente notr que un mplcnte de prmer orden smplfc un vrble, uno de segundo dos, uno de tercero tres, etc. Tmbén es mportnte reclcr que un mplcnte de orden n está compuesto por 2 n mnterms (mxterms), es decr, uno de prmer orden está formdo por dos mnterms (mxterms), uno de segundo por cutro, uno de tercero por ocho, etc Mps de Krnugh Un mp de Krnugh es un dgrm formdo por cudrdos, uno de los cules represent un de ls posbles combncones de ls vrbles de l funcón. En cudrdo representremos el vlor que tom l funcón pr l combncón de vrbles que le corresponde, y como hy un correspondenc drect uno uno entre los cudrdos y ls dstnts combncones de entrd, el mp de Krnugh v ser otr form de especfcr un funcón (es un dgrm vsul de l tbl de verdd). Los mps de Krnugh pr funcones de 2, 3, 4 y 5 vrbles son los lustrdos en l fgur 2.3. Hemos ndo el mnterm (mxterm) que corresponderí csll. Importnte: el orden pr los pres de vrbles es oblgtormente (,,, ) y pr un grupo de tres vrbles (,,,,,,, ). En el cso de querer obtener un expresón mínm como sum de térmnos producto, en el mp colocremos los unos de l funcón, demás de ls ndferencs, omtendo los ceros. S lo que nos proponemos es clculr l expresón mínm como producto de térmnos sum, entonces pondremos los ceros y ls ndferencs, excluyendo los unos. El segundo pso en l mnmzcón es loclzr los mplcntes de l funcón en el mp de Krnough. A contnucón mostrmos unos ejemplos de mplcntes obtendos prtr de mnterms, pr funcones de dstnto número de vrbles. Los mplcntes deben estr formdos por celds dycentes y pueden contener tnto unos como ndferencs (deben contener l menos un ). Los mplcntes de prmer orden ocupn dos cslls dycentes. L dycenc de dos cslls puede ser horzontl o vertcl, nunc dgonl.

11 2.4. MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES 27 b bc b vrbles 3 vrbles vrbles e b vrbles Fgur 2.3: Mps de Krnugh pr 2, 3, 4 y 5 vrbles. Ls cslls de l prmer y últm fl son dycentes y lo msmo ocurre con l prmer y últm column. Un mplcnte de segundo orden está formdo por dos mplcntes de prmer orden dycentes, uno de tercero por dos de segundo dycentes, etc. ) Dos vrbles: En l fgur 2.4 tenemos en el prmer mp dos mnterms que no son dycentes y, por tnto, no formn un mplcnte de prmer orden. En los otros mps sí tenemos mnterms dycentes, obtenéndose los sguentes mplcntes: (, b) = m(, ) = b + b = (b + b) = 2 (, b) = m(, 3) = b + b = b( + ) = b 3 (, b) = m(,, 2, 3) = b + b + b + b = (b + b) + (b + b) = + = b b b b 2 3 Fgur 2.4: Ejemplos de mplcntes de orden (2 celds dycentes) y orden 2 (2 mplcntes de orden dycentes) pr mps de dos vrbles.

12 28TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES Exste un form smplf de obtener l expresón de los mplcntes. Prmero se buscn ls vrbles que tomen el msmo vlor pr tods ls cslls del mplcnte. A contnucón, s l vrble es cero, en l expresón del mplcnte precerá l vrble complementd, y s es precerá l vrble sn complementr. : 2 : = en ls dos cslls. (, b) = b = en ls dos cslls. 2 (, b) = b 3 : No hy vrbles que tomen el msmo vlor en ls cutro cslls. 3 (, b) = b) Tres vrbles: bc bc bc bc bc bc bc bc 8 9 Fgur 2.5: Ejemplos de mplcntes de órdenes, 2 y 3 pr mps de tres vrbles. 3: En l fgur 2.5 se puede ver los sguentes ejemplos de mplcntes de órdenes, 2 y 4 : =, c =. 4 (, b, c) = c 5 : =, c =. 5 (, b, c) = c 6 : b =, c =. 6 (, b, c) = bc 7 : =, b =. 7 (, b, c) = b 8 : c =. 8 (, b, c) = c 9 : =. 9 (, b, c) = : c =. (, b, c) = c : (, b, c) = c) Cutro vrbles: En l fgur 2.6 se puede ver los sguentes ejemplos de mplcntes de órdenes, 2, 3 y 4: 2 : b =,c =,d =. 2 (, b, c, d) = b 3 : =,b =,d =. 3 (, b, c, d) = bd 4 : =,b =,d =. 4 (, b, c, d) = bd 5 : b =,c =,d =. 5 (, b, c, d) = b 6 : c =, d =. 6 (, b, c, d) = 7 : b =, d =. 7 (, b, c, d) = bd 8 : b =, d =. 8 (, b, c, d) = b d 9 : b =, d =. 9 (, b, c, d) = bd 2 : =, d =. 2 (, b, c, d) = d 2 : b =. 2 (, b, c, d) = b 22 : d =. 22 (, b, c, d) = d 23 : 23 (, b, c, d) =

13 2.4. MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES 29 b b b b b b b b b b b b Fgur 2.6: Ejemplos de mplcntes de orden, 2, 3 y 4 pr mps de cutro vrbles. e b Fgur 2.7: En un mp de 5 vrbles ls celds smétrcs respecto del eje centrl son dycentes.

14 3TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES d) Cnco vrbles: Los mps pr funcones de 5 vrbles se construyen prtr de mps de 4 vrbles. Ls celds smétrcs respecto l eje centrl representn tmbén dycencs, como se ndc en l fgur Mnmzcón en sum de productos mednte mps de Krnugh El objetvo segur es nclur todos los unos del mp con el menor número de mplcntes y del myor orden posble. Ls ndferencs yudn completr los mplcntes. No mport que los mplcntes se solpen unos otros, lo que s nteres es no nclur mplcntes que no son necesros. El procedmento segur puede resumrse en ls sguentes regls:. Extrer todos los mplcntes de culquer orden que no estén ncludos en otros y que contengn l menos un (se llmn mplcntes prmos de l funcón). Empezr por los de myor orden. 2. Escoger de los mplcntes prmos quellos que contengn unos en exclusv (son los mplcntes prmos esencles de l funcón). 3. En cso de que quede lgún por cubrr, escoger el menor número de mplcntes (y del myor orden posble) necesro pr cubrr todos los unos. b - b - b Implcntes prmos 3 4 Fgur 2.8: Ejemplo de mnmzcón como sum de productos en un mp de Krnugh de 4 vrbles. L expresón de l funcón se obtene prtr de l expresón de los mplcntes escogdos en los puntos 2 y 3. En l fgur 2.8 podemos ver un ejemplo de plccón de este procedmento l sguente funcón: f (, b, c, d) = m(2, 3, 4, 5, 9,,, 3) + d(6, 2, 4)

15 2.4. MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES 3 Ls expresones de los mplcntes prmos esencles son: : b =, c =. = bc 2 : b =, c =. 2 = bc Un vez seleccondos los mplcntes prmos esencles qued un únco por cubrr. Hy dos mplcntes prmos no esencles que lo cubren, cuys expresones son: 3 : =, c =, d =. 3 = 4 : =, b =, d =. 4 = bd Así tendremos dos expresones lterntvs pr l funcón, que son: Posbldd : mplcntes, 2 e 3. f (, b, c, d) = bc + bc + Posbldd 2: mplcntes, 2 e 4. f (, b, c, d) = bc + bc + bd Vmos ver un ejemplo de mnmzcón de un funcón de cnco vrbles: f 2 (, b, c, d, e) = m(2, 9,,, 5, 2, 25, 29, 3) + d(6, 3, 6, 7, 27) e b 3 2 Fgur 2.9: Ejemplo de mnmzcón como sum de productos en un mp de Krnugh de 5 vrbles. En l fgur 2.9 vemos que los mplcntes prmos esencles son = be e 2 = de. Pr cubrr el resto de unos l opcón con el menor número de térmnos producto es tomr el mplcnte prmo 3 = e. Por tnto l expresón mínm es: f 2 (, b, c, d, e) = be + de + e

16 32TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES Mnmzcón en producto de sums mednte mps de Krnugh El método pr mnmzr l funcón obtenendo un expresón producto de sums es totlmente equvlente l descrto nterormente. Ls modfccones que hn de relzrse son ls sguentes: Colocr en el mp de Krnugh los ceros y ls ndferencs de l funcón. Los mplcntes estrán formdos por celds dycentes que pueden contener tnto ceros como ndferencs (deben contener l menos un cero). L obtencón de l expresón de mplcnte es l sguente: por vrble que no cmbe en un mplcnte, s es tomr l vrble tl cul y s es tomr l vrble negd. Sumr ls vrbles obtends de est form. Vemos el sguente ejemplo de tres vrbles: g (, b, c) = m(, 2, 3, 4) + d(6) = M(, 5, 7) D(6) En l fgur 2. observmos que exsten tres mplcntes prmos ( es un mnterm, pero tmbén lo podemos consderr como un mplcnte de orden cero). De ellos son mplcntes prmos esencles e 2, que cubren todos los ceros. L expresón de los mplcntes es: : =, b =, c =. = + b + c 2 : =, c =. 2 = + c bc 3 2 Fgur 2.: Mnmzcón como producto de térmnos sum en un mp de Krnugh de 3 vrbles. Entonces l expresón mínm será: g (, b, c) = ( + b + c)( + c) Pr fnlzr, vemos un últmo ejemplo de mnmzcón en form de producto de sums de un funcón de cutro vrbles. Estudemos l sguente funcón: g 2 (, b, c, d) = m(2, 6, 7, 8, 9, 2, 3, 5) + d(5, 4) = M(,, 3, 4,, ) D(5, 4)

17 2.4. MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES 33 Se observ en el fgur 2. que sólo hy un mplcnte prmo esencl que es = +c ( =, c = ). Pr cubrr el resto de ceros tenemos los sguentes mplcntes prmos: 2 : =, b =, d =. 2 = + b + d 4 : =, b =, c =. 4 = + b + c 3 : b =, c =, d =. 3 = b + c + d 5 : =, c =, d =. 5 = + c + d b Fgur 2.: Mnmzcón como producto de térmnos sum en un mp de Krnugh de 4 vrbles. 4 S cogemos 2, con 4 cubrrímos el resto de ceros. Sn embrgo, el mxterm 3 tmbén puede ser cuberto por 3, quedándonos solmente por cubrr el mxterm, pr lo cul podrímos coger tnto el mplcnte 4 como el 5. De est form tenemos tres expresones mínms lterntvs: Posbldd : mplcntes, 2, 4. g 2 (, b, c, d) = ( + c)( + b + d)( + b + c) Posbldd 2: mplcntes, 3, 4. g 2 (, b, c, d) = ( + c)(b + c + d)( + b + c) Posbldd 3: mplcntes, 3, 5. g 2 (, b, c, d) = ( + c)(b + c + d)( + c + d)

18 34TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES EJERCICIOS 2.. Expresr ls sguentes funcones como sum de mnterms y como producto de mxterms: ) f (, b, c, d) = bc + b + b c ) f 2 (x, y, z) = xy + xz ) f 3 (, b, c, d) = d( + b) + bd v) f 4 (w, x, y, z) = yz + wxy + wxz + w xz 2.2. A prtr del sguente crcuto, x y z f ) Obtener l expresón lógc so l sld. ) Convertr dch expresón en sum de mnterms. ) Convertr l expresón en producto de mxterms Demostrr que los crcutos de l fgur 2.2 equvlen un puert EXOR y un NEXOR. x y f x y f ) b) Fgur 2.2: ) Equvlente EXOR; b) equvlente NEXOR De un conjunto de 5 elementos {A,B,C,D,E} h de selecconrse un subconjunto que verfque ls sguentes condcones:

19 2.4. MINIMIZACIÓN DE FUNCIONES 35 ) Debe nclurse A o B, pero no mbos. ) Debe nclurse C o E o mbos. ) Debe nclurse A y C juntos, o nnguno de los dos. v) S D es ncludo, debe nclurse tmbén B. Construr l funcón que detecte s un determndo subconjunto es váldo Mnmzr ls sguentes funcones como sums de térmnos producto: ) f (, b, c, d) = m(, 2, 6,, 3, 4) + d(, 3, 9) ) f 2 (, b, c, d) = m(, 2, 4, 5, 3) ) f 3 (, b, c, d) = m(3, 5, 6, 7,,, 3, 4, 5) + d(4, 9) v) f 4 (, b, c, d) = m(,, 2, 4, 8, 9, ) + d(3, 5) v) f 5 (, b, c, d) = m(,, 8) + d(2, 5, 7,,, 4, 5) v) f 6 (, b, c, d) = m(,, 2, 3, 8, 4) + d(4, 5, 6, 7, 9) v) f 7 (, b, c, d) = m(, 4, 5,,, 2, 3) + d(3, 6, 4) v) f 8 (, b, c, d) = m(, 2, 4, 8, ) + d(, 9) x) f 9 (, b, c, d, e) = m(, 4, 9, 6, 2, 25, 29) + d(2, 6, 8, 22) x) f (, b, c, d, e) = m(, 6, 7, 8, 9, 22, 23) + d(2, 3, 27, 3) 2.6. Mnmzr ls funcones nterores como productos de térmnos sum Dseñr un funcón que vlg cundo l entrd es sum de dos potencs de dos dstnts. Los posbles vlores de ls entrds están comprenddos entre y, mbos nclusve Dseñr un detector de números prmos pr números comprenddos entre el y el 24. Consderr el como número no prmo. Bsr el dseño en l obtencón de un expresón mínm pr l sld en form de sum de productos Relz l mnmzcón de l funcón f como sum de térmnos producto y l de ls funcones f 2 y f 3 como producto de térmnos sum, mednte mps de Krnugh. D tods ls posblddes mínms. L vrble es l de más peso. ) f (, b, c, d) = m(, 2, 7, 9, ) + d(, 3, 5, 6, 8, 4) ) f 2 (, b, c, d) = m(,, 3, 4) + d(2, 4, 9) ) f 3 (, b, c, d, e) = m(2, 6, 7, 9, 3, 5, 6, 8, 2, 2, 22, 23, 29, 3) + d(2, 7, 9, 28, 3) 2.. Relz l mnmzcón de l funcón f como sum de térmnos producto y l de ls funcones f 2 y f 3 como producto de térmnos sum, mednte mps de Krnugh. Escrbe tods ls posblddes mínms. L vrble es l de myor peso.

20 36TEMA 2. REPRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS SISTEMAS DIGITALES ) f (, b, c, d) = m(, 6, 2, 3, 4) + d(4, 7, 9, ) ) f 2 (, b, c, d) = m(,, 5, 7, 5) + d(2, 6, 4) ) f 3 (, b, c, d, e) = m(, 3, 4, 8,, 2, 4, 5, 7, 8, 2, 24, 3) + d(, 2, 5, 6, 9, 26, 28, 3) 2.. Relz l mnmzcón de l funcón f 2 como sum de térmnos producto y l de ls funcones f y f 3 como producto de térmnos sum, mednte mps de Krnugh. Escrbe tods ls posblddes mínms. L vrble es l de myor peso. ) f (, b, c, d) = m(2, 4, 6, 8,, 2, 3) + d(3, 5, 7, 9) ) f 2 (, b, c, d) = m(2, 7, 8,, ) + d(, 3, 5, 6, 9, 5) ) f 3 (, b, c, d, e) = M(, 2, 5, 9,, 25, 27) D(, 6, 8, 3, 4, 7, 24)