SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN INGENIERÍA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y LAS INGENIERÍAS CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA VII ENCUENTRO MULTIDISCIPLINARIO DE INVESTIGACIÓN AVANCES DE INVESTIGACIÓN: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN INGENIERÍA EJE TEMÁTICO: LA INVESTIGACIÓN EN LAS CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS AUTOR: ING LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA

2 VII ENCUENTRO MULTIDISCIPLINARIO DE INVESTIGACIÓN SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN INGENIERÍA Autor: Ing Lus Lorenzo Jménez Grcí Prof de l Fcultd de Estudos Superores Argón-UNAM Resumen Los sstems de ecucones lneles se utlzn pr resolver muchos problems de l cenc y l ngenerí L solucón numérc de dchos sstems l formn un grn vredd de lgortmos, como elmncón de Guss, Guss-Jordn, Guss-Sedel, Montnte, Jcob, Lu y Cholesky entre otros, que de un mner u otr resuelven el sstem de ecucones lneles (s tene solucón) Sn embrgo, cundo se trt de problems muy complejos en donde ntervenen muchs ecucones, se requere de muchs opercones rtmétcs que pueden provocr cer en el tedo y el burrmento por tnto cálculo, entonces, debe emplerse un lterntv pr el prendzje Actulmente, los Métodos Numércos tenen uge con l llegd de ls computdors y en especl pr resolver sstems de ecucones lneles que requeren cálculos mtemátcos etremdmente complejos Pr el desrrollo de los lgortmos se h empledo el pquete de cálculo numérco, smbólco y gráfco MtLb Este softwre consttuye un poderos herrment pr resolver problems de ngenerí, dónde están nvolucrds los sstems lneles por sus lgortmos mplementdos trvés de sus comndos y funcones MtLb se debe usr propdmente y no vene susttur el conocmento mprtdo en el ul, se debe empelr como un recurso ddáctco pr hcer más trctv l enseñnz prendzje de los Métodos Numércos Plbrs clves: ecucones lneles, sstems, métodos, comndos, funcones, gráfcs Summry The systems of lner equtons re used to solve mny problems of scence nd engneerng The numercl soluton of these systems forms gret vrety of lgorthms, lke elmnton of Gussn, Gussn-Jordn, Gussn-Sedel, Post, Jcob, Lu nd Cholesky mong others, who of wy or nother one solve the system of lner equtons (f he hs soluton) Nevertheless, when one s very comple problems where mny equtons tke prt, t s requred of mny rthmetcl opertons tht cn cuse to fll n the boredom nd the boredom therefore clculton, then, must be used n lterntve for the lernng At the moment, the Numercl Methods hve heght wth the rrvl of the computers nd to especlly solve systems of lner equtons tht requre etremely comple mthemtcl clcultons For the development of the lgorthms the pckge of numercl clculton, symbolc nd grphcl MtLb hs been used Ths softwre consttutes powerful tool to solve engneerng problems, where the lner systems by ther lgorthms mplemented through ther commndos nd functons re nvolved MtLb s due to use pproprtely nd t does not come to replce the knowledge dstrbuted n the clssroom, s due to empelr lke ddctc resource to mke educton more ttrctve lernng of the Numercl Methods Key words: lner equtons, systems, methods, commndos, functons, grphs SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN INGENIERÍA

3 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Aplccón de los comndos y funcones MtLb pr l solucón numérc de sstems de ecucones lneles en ngenerí y su mplementcón, sí como el empleo de ls funcones gráfcs de MtLb pr representr geométrcmente dchos sstems PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El uso de ls tecnologís se h utlzdo como recurso ddáctco en l búsqued de nuevos métodos de enseñnzprendzje Estos vnces tecnológcos hn generdo softwre de plccón (como MtLb) que hce que se especlmente nteresnte refleonr cerc de cómo ess tecnologís pueden modfcr los procesos de enseñnz y prendzje de los Métodos Numércos Ls eperencs de más de ños de ctvddes cdémc en el áre de físco mtemátcs y en especl de l mprtcón de l sgntur de Métodos Numércos los estudntes de ls dferentes crrers de ngenerí de FES Argón, h demostrdo que el uso de MtLb como un recurso ddáctco de poyo en l solucón de problems, propc y despert el nterés por l prte lgorítmc y nlítc que contene los Métodos Numércos No se debe olvdr que ests tecnologís en sí msms no promueven el prendzje y no consttuyen nngun pnce de crácter unversl n nngun grntí de efcc pedgógc, todo dependerá de l opcón y concepcón pedgógc por l cul se elj dseñr un determndo modelo eductvo Por últmo, bsdo en l eperenc, se h hecho un nvestgcón de corte cuntttvo, cuy fuente de nvestgcón por profunddd es descrptv L nformcón se obtuvo en form epermentl, sguendo un metodologí cuntttv y de nvestgcón comprd DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA El presente trbjo contempl cubrr los métodos de solucón numérc pr resolver sstems de ecucones lneles, mednte ls funcones y comndos MtLb \, nv, rref, rrefmove, solve, lnsolve, lu, chol y eg, que yuden l proceso enseñnz prendzje de los Métods Numércos los lumnos de ngenerí mecánc eléctrc, ngenerí ndustrl, ngenerí mecánc e ngenerí eléctrc electrónc OBJETIVOS: Enseñr l lumno dverss técncs numércs pr encontrr (s este) l solucón de sstems de ecucones lneles Aplcr los métodos de elmncón de Guss, mtrz nvers, Guss- Jordn, y Fctorzcón de LU y Cholesky, pr obtener l solucón numérc de sstems de ecucones lneles Aplcr ls cpcddes de vsulzcón gráfc de MtLb, pr l solucón de sstems de ecucones lneles en ngenerí INTRODUCCIÓN

4 Por sstem de ecucones lneles se entende un conjunto de ecucones que deben resolverse smultánemente y que presentn l sguente estructur: M N M N M M M N N N N N N b b b b () Este sstem de M ecucones lgebrcs lneles con N ncógnts puede escrbrse en form mtrcl como: B X A N M donde: M N M M M N N M N A 4 N X b M b b B () L mtrz de coefcentes A se llm mtrz del sstem L mtrz formd por A, l que se le h gregdo el vector de térmnos ndependentes B como últm column, se le llm l mtrz mpld o mtrz umentd del sstem de ecucones, que se represent por [A B] y X es el vector de ncógnts Antes de proceder resolver un sstem de ecucones es necesro determnr s dcho sstem tene o no solucón y, en cso de tenerl, cuánts posbles solucones tene A contnucón se presentn ls dverss lterntvs: lneles ecucones de Sstem Indetermn do Determnd o(solucón trvl) Comptble Homogéneo Incomptb le Indetermn do Determnd o Comptble homogéneo No

5 S el vector de térmnos ndependentes B del sstem ddo en () es dferente de cero se dce que el sstem de ecucones es no homogéneo y en cso contrro el sstem es homogéneo Sstem comptble o consstente Es quél que tene solucón y en este cso se cumple que (Teorem de Rouché-Frobenus): rngo[a] = rngo [ A B ] El rngo de un mtrz es el número de columns lnelmente ndependentes Tmbén es el orden de determnnte no nulo de myor orden que puede obtenerse de es mtrz Sstem ncomptble o nconsstente Es quél que no tene solucón y cumple l relcón: rngo[a] < rngo [ A B ] Sstem determndo Es un sstem comptble que present solucón únc y en este cso se verfc que: rngo[a] = número de ncógnts Un sstem homogéneo que es determndo tene úncmente l solucón trvl X= Un sstem comptble que present nfndd de solucones se conoce como sstem ndetermndo y se crcterz por: rngo[a] < número de ncógnts COMANDOS Y FUNCIONES MATLAB PARA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES L sguente tbl muestr ls funcones y comndos empledos en MtLb pr l solucón numérc de sstems de ecucones lneles, vlores crcterístcos (egenvlores) y vectores crcterístcos (egenvectores) de un mtrz no sngulr Funcón syms y z t solve( ec,ec, ecn,,, n`) X = lnsolve(a,b) Descrpcón Converte ls vrbles y z t en smbólcs Resuelve n ecucones lneles smultánes ec, ec, ecn (Sstem de ls vrbles,, n) Resuelve un sstem de ecucones lneles del tpo A*X=B pr un mtrz cudrd A, sendo B l mtrz del térmno

6 ndependente del sstem de ecucones X = A\B X = nv(a)*b X = rref([a, B]) rrefmove( [A, B] ) [L, U] = lu(a) U = chol(a) Resuelve el sstem trngulr A*X=B Emple elmncón de Guss Resuelve el sstem A*X=B Emple l mtrz nvers Obtene l mtrz reducd esclond por renglones de A, utlzndo el método de Guss-Jordn, en l cul, l dgonl prncpl tene y los demás elementos El número de renglones no nulos de rref(a) es el rngo de A Además, muestr cundo un sstem es ncomptble o ndetermndo mednte el vector de térmnos ndependentes B Muestr el procedmento pso pso de l solucón del sstem de ecucones lneles hcendo, ncluso, cmbo de renglones pr fcltr los cálculos, mostrndo el resultdo fnl Descomposcón (Fctorzcón) LU Devuelve un mtrz trngulr superor U y un mtrz trngulr nferor L (trngulrzble mednte permutcón) Se cumple que A=L*U Resuelve el sstem de ecucones lneles mednte l opercón: X = U \ ( L\ B) Descomposcón (Fctorzcón) de Cholesky de un mtrz smétrc y defnd postv Devuelve l mtrz trngulr superor U de A Sólo se utlz l dgonl y l prte trngulr superor de A S A no es defnd postv devuelve un error Se cumple que A = U' * U Resuelve el sstem de ecucones lneles mednte l opercón X = U \ ( U \ B) A Mtrz trnspuest de A nv(a) Clcul, s este, l mtrz nvers de l mtrz cudrd A (A - ) det(a) Determnnte de l mtrz cudrd A rnk(a) Rngo de l mtrz A e = eg(a) [ V, D] = eg(a,b) P = poly(a) Hll los vlores crcterístcos (egenvlores) de l mtrz cudrd A Es decr, clcul drectmente ls ríces que defnen l polnomo crcterístco de l mtrz A Hll l mtrz dgonl D de vlores crcterístcos generlzdos de l mtrces cudrds A y B y un mtrz V, cuys columns son los vectores crcterístcos correspondentes, cumpléndose que A*V=B*V*D Clcul los coefcentes del polnomo crcterístco de l mtrz cudrd A

7 Método de Elmncón de Guss El softwre MtLb encuentr l solucón de ecucones lgebrcs lneles smultánes, dds en (), mednte el método de elmncón de Guss usndo l form dd en el sstem () mednte l opercón: X = A \ B Es decr, us el operdor rtmétco \ (Dvsón zquerd de l mtrz) Ejemplo Resuelve el sguente sstem de ecucones lneles por el método de elmncón de Guss: 4 4 y 8y y z z z 7 A B () Solucón: Escrbendo el sstem de mtrces ddo en () en form de vectorl, tenemos: >> A = [4 - ; 4-8 ; - ]; B = [ 7; -; ] B = 7 - >> X= A\ B X = 4 Not: L solucón es X =, Y = 4, Z = Con yud de MtLb podemos vsulzr el comportmento gráfco del sstem de ecucones lneles ddo en () Usndo el comndo surf pr grfcr, tenemos ls fgurs, y : >>[ y] = meshgrd(-::); >> z = 7-4* + y; Relz l gráfc de l prmer ecucón

8 >>surf(,y,z) >> lbel('eje X') >> ylbel('eje Y') >> zlbel('eje Z') >> hold on % Permte grfcr el sstem sobre l msm fgur >>z = - - 4* + 8*y; Relz l gráfc de l segund ecucón >>surf(,y,z) >> z = + * - y; Relz l gráfc de l tercer ecucón >>surf(,y,z) Fgur Representcón gráfc de l ecucón del sstem ()

9 Fgur Representcón gráfc de l ecucón y del sstem () Fgur Representcón gráfc de l ecucón, y del sstem ()

10 Se obtenen los tres plnos de l fgur nterceptdos en el punto (, 4, ) Recuerde que se puede observr mejor el punto de ntercepcón en l ventn gráfc de MtLb, rotndo l fgur (rotte D), en l brr de herrment de Fgure Como se puede observr en l fgur es muy dfícl determnr vsulmente el punto de ntercepcón del sstem de ls tres ecucones lneles, por lo que son necesros los métodos numércos pr resolver dchos sstems Ejemplo Resuelve el sguente sstem de ecucones lneles por el método de elmncón de Guss: X X X X X X X X 9X 4 A 9 B (4) 4 Solucón: Escrbendo el sstem (4) en form vectorl y usndo el operdor \ tenemos: >> A = [- ; ; - -9]; >> B = [; ; 4]; >> X = A\ B Wrnng: Mtr s sngulr to workng precson X = Nn -Inf Inf Se observ que el método de elmncón de Guss no puede encontrr l solucón del sstem ddo en (4), debdo que es un mtrz sngulr Usndo el comndo surf, obtenemos el comportmento gráfco del sstem ddo en (4) como se observ en l fgur 4

11 Ls dos vrbles tenen el msmo ntervlo >> [ ] = meshgrd( - : : ); >> = ( + * - )/; >> surf(,, ) >> hold on >> lbel('eje X_') >> ylbel('eje X_') >> zlbel('eje X_') >> = ( --*)/; >> surf(,,) >> = (4 - * + *)/( -9 ); >> surf(,,) Fgur 4 Gráfc de un sstem nconsstente Se puede observr en l fgur 4 que los tres plnos de ls rects nunc se cruzn y por lo tnto no este un punto en común, es decr, el sstem es ncomptble o nconsstente (no tene solucón)

12 Ejemplo Resuelve el sguente sstem de ecucones lneles por el método de elmncón de Guss: 7 8 X X X X X X X X X A 7 8 B () Solucón: Escrbendo los dtos del sstem ddo en (), tenemos: >> A = [ -; - -; - ]; B = [; -8; -7]; >> X = A\B Wrnng: Mtr s sngulr to workng precson X = Nn -Inf -Inf Usndo el comndo sur f(como en los csos nterores), obtenemos el comportmento gráfco del sstem ddo en () como se observ en l fgur Fgur Gráfc de un sstem ndetermndo

13 Se puede observr en l fgur que los tres plnos son nterceptdos por un líne rect Esto sgnfc que el sstem tene muchs solucones, es decr, es comptble ndetermndo y tods ls solucones se encuentrn sobre l líne rect En este cso MtLb no puede determnr cundo un sstem no tene solucón o tene nfndd de solucones, pues mnd el msmo mensje de sld pr mbos sstems Método de l Mtrz Invers Es plcble s el sstem tene gul número de ecucones que de ncógnts (mtrz cudrd) y el determnnte de l mtrz de coefcentes A es dstnto de cero Es decr, resuelve sstems comptbles determndos (no-homogéneos) Por medo de MtLb, l solucón del sstem se hce mednte l opercón X = nv(a)*b Se fundment en: A* X B A * A* X A * B I * X A * B X A * B Ejemplo 4 Resuelve los sstems ddos en (), (4) y () por el método de l mtrz nvers Solucón: Escrbendo ls nstruccones de MtLb tenemos: >> A = [4 - ; 4-8 ; - ]; B = [ 7; -; ]; >> d = det() % Determnnte de A d = -4 >> X = nv(a)*b X = 4 >> A = [- ; ; - -9]; B = [; ; 4]; >> determnnte = det(a) determnnte = Vemos que sucede s no se cumple d >> X = nv(a)*b Wrnng: Mtr s sngulr to workng precson X =

14 Inf Inf Inf >> A = [ -; - -; - ]; B = [; -8; -7]; >> determnnte = det(a) determnnte = No se cumple que det() >> X = nv(a)*b Wrnng: Mtr s sngulr to workng precson X = NN NN NN El operdor mtrcl de MtLb "\" dvsón zquerd equvle l solucón de sstems lneles mednte X = nv(a)*b este operdor es más poderoso de lo que prece, puesto que sumnstr l solucón unque l mtrz A no teng nvers y demás proporcon solucón drect sobre sstems ndetermndos Método de Guss-Jordn Es un vrnte del método de Guss y result ser más smple l fnl del proceso, y que no es necesro despejr ls vrbles, pues l solucón se obtene drectmente Se bs en dgonlzr l mtrz de coefcentes, esto es, obtener l mtrz dentdd, que consste en hcer l dgonl prncpl y los demás elementos de l mtrz (Mtrz esclond) MtLb clcul l solucón del sstem mednte el comndo X=rref([A,B]) Ejemplo Resuelve los sstems ddos en (), (4) y () por el método de Guss-Jordn Solucón: MtLb encuentr l solucón convrtendo l mtrz A en mtrz dentdd I y l últm column es el vector solucón del sstem Utlzndo el comndo rref pr resolver los sstems mencondos, tenemos:

15 >> A = [4 - ; 4-8 ; - ]; B = [7; -; ]; >> X = rref([a B]) X = 4 Not: L solucón es =, y = 4, z = >> A = [- ; ; - -9]; B = [; ; 4]; >> X = rref([a B]) X = - Not: Se observ en el tercer renglón que =, por lo que el sstem es ncomptble, es decr, no tene solucón >> A = [ -; - -; - ]; B = [; -8; -7]; >> X = rref([a B]) X = - X - X = - - X - X = - Not: Se observ en el tercer renglón que =, por lo que el sstem es ndetermndo, es decr, tene muchs solucones y se resuelve dndo un vlor rbtrro culquer de ls ncógnts Por ejemplo, s X =, X = y X =- S desemos ver el procedmento pso pso del método de Guss-Jordn, usmos el comndo rrefmove([a B]) Utlzndo el comndo rrefmove pr nlzr el sstem ddo en () tenemos (MtLb despleg el proceso de solucón pso por pso): >> A = [4 - ; 4-8 ; - ]; >> B = [ 7; -; ]; >> rrefmove([a B])

16 4 Uso de los Comndos solve y lnsolve Se usn pr resolver sstems con n ecucones smultánes Los comndos solve y lnsolve ceptn el sstem como entrd en su snts y resuelve ecucones del tpo A*X = B Ejemplo Resuelve los sstems ddos en (), (4) y () usndo los comndos solve y lnsolve Solucón: Utlzndo los comndos solve y lnsolve pr resolver los sstems mencondos, tenemos: Los resultdos en reldd se proporconn en form vertcl >> [,y,z] = solve('4*-y+z=7','4*-8*y+z=-','- = y = 4 z = *+y+*z=','', 'y','z') L snts tmbén se puede escrbr de l sguente form: >>[,y,z] = solve('4*-y+z=7,4*-8*y+z=-, -*+y+*z=',', y,z') = y = 4 z = Tmbén puede utlzrse l snts sguente: >> A = [4 - ; 4-8 ; - ]; B = [ 7; -; ]; >> X = lnsolve(a,b) X = 4 >> A = [- ; ; - -9]; B = [; ; 4]; >> X = lnsolve(a,b) Wrnng: Mtr s sngulr to workng precson X = NN -Inf Inf Not: lnsolve, n solve encuentrn l solucón, por ser un sstem ncomptble >> A = [,, -; -,, -; -,, ]; >> B = [; -8; -7];

17 >> = lnsolve(a,b) Wrnng: Mtr s sngulr to workng precson X = NN -Inf Inf Not: lnsolve, n solve encuentrn l solucón, por ser un sstem ndetermndo Es más fácl usr lnsolve que solve porque trbj con vectores mtrcles l gul que los métodos nterores, unque ddáctcmente solve present mejor los resultdos y se mnpul drectmente el sstem de ecucones lneles Los comndos \, rref, lnsolve tmbén resuelven sstems de ecucones lneles con más ecucones que ncógnts y vcevers Métodos de Descomposcón (Fctorzcón) Descomposcón LU Cundo tenemos un sstem de n ecucones con n ncógnts A b, donde A es l mtrz de coefcentes (cudrd de orden NN), sbemos que el sstem tene solucón únc s y sólo s el determnnte de l mtrz es no nulo, esto es, l mtrz es nvertble Entonces, pr resolver el sstem hy que multplcr mbos ldos de l ecucón, por l nvers de l mtrz A Sn embrgo, clculr l nvers de l mtrz es un proceso tedoso mnulmente, en lugr de eso, ntroducremos el concepto de fctorzcón trngulr Lo que se hce es descomponer l mtrz A como el producto de dos mtrces que llmmos L (Lower-nferor) y U (Upper-superor), esto es, A L* U L mtrz L es un mtrz trngulr nferor, cuyos elementos en l dgonl prncpl son todos gules uno (ceros sobre l dgonl prncpl), y l mtrz U es un mtrz trngulr superor con elementos en l dgonl dstntos de cero (ceros bjo l dgonl prncpl) Un vez que tenemos l descomposcón, s A b y A L* U, entonces L* U b Ahor, multplcndo por l nvers de L mbos ldos de l ecucón, se tene que U L b y multplcndo mbos ldos por l nvers de U tenemos fnlmente: U * L b L ventj de esto es que clculr l nvers de un mtrz trngulr (nferor o superor) es más sencllo que clculr l nvers de l mtrz A Este proceso se relz suponendo que no hy ntercmbo de renglones

18 Sn embrgo, puede ocurrr que un mtrz nvertble A no dmt fctorzcón A L* U, entonces, es necesro usr un mtrz de permutcón P (mtrz NN tl que en cd renglón y en cd column sólo tenen un elemento gul, sendo todos los demás vlores gules cero) que permt l fctorzcón Entonces, pr encontrr l solucón del sstem de ecucones lneles, l descomposcón LU se reescrbe como: P* A L* U L* U P* b U L * P* b U * L * P* b En l descomposcón LU, l mtrz nferor L tene números en l dgonl Formlmente, este proceso se le llm descomposcón o fctorzcón de Doolttle y l método lterntvo que us un mtrz superor U con números sobre l dgonl se le conoce como descomposcón de Crout Pr llevr cbo l descomposcón (fctorzcón) LU de un mtrz no sngulr A, MtLb us el comndo lu(a) y obtene l solucón del sstem de ecucones lneles mednte l opercón: X = U \ ( L\ B) Ejemplo 7 Resuelve los sstems ddos en (), (4) y () usndo l descomposcón LU Solucón: Escrbendo ls nstruccones en l ventn de comndos de MtLb tenemos: >> A = [4 - ; 4-8 ; - ]; B = [ 7; -; ]; >> [L U] = lu(a) L = U = Obtencón de l solucón del sstem >> sol_sstem = U\(L\B) sol_sstem = 4

19 L solucón de los sstems (4) y () es l msm que l dd por los métodos nterores Descomposcón de Cholesky Pr llevr cbo l descomposcón (fctorzcón) de Cholesky de un mtrz A defnd postv, MtLb us el comndo chol(a) y resuelve el sstem de ecucones lneles mednte l opercón: X = U \ ( U \ B) Ejemplo 8 Resuelv los sstems ddos en (), (4) y (), usndo l descomposcón de Cholesky Solucón: Usndo el comndo chol pr resolver los sstems mencondos, tenemos: >> A = [4 - ; 4-8 ; - ]; B = [ 7; -; ]; >> U = chol(a)??? Error usng ==> chol Mtr must be postve defnte (L mtrz debe ser defnd postv) >> A = [- ; ; - -9]; B = [; ; 4]; >> U = chol(a)??? Error usng ==> chol Mtr must be postve defnte L mtrz debe ser defnd postv) >> A = [,, -; -,, -; -,, ]; B = [; -8; -7]; >> u = chol()??? Error usng ==> chol Mtr must be postve defnte (L mtrz debe ser defnd postv) Como se puede observr el método de descomposcón de Cholesky tene más lmtcones pr su uso Hgmos un ejemplo pr un mtrz defnd postv >> A = [4 4; 7 ; 7 9 ; 4 ]; >> B = [-; ; ; ];

20 >> [A B] ns = >> U = chol(a) U = - 4 >> [U L] = chol(a) U = L = - 4 >> sol = U\(U'\B) sol = Not: Como se puede observr, Cholesky solmente emple l mtrz superor U 7 Vlores y Vectores Crcterístcos o Propos de Un Mtrz Se A un mtrz cudrd de orden n y consdérese l ecucón vectorl A = λ, donde λ es un vlor esclr El vector nulo = es un solucón (trvl) de l ecucón vectorl Un vlor del esclr λ que stsfce l ecucón mencond con se llm vlor crcterístco, propo o egenvlor de l mtrz A El vector es el vector crcterístco propo o egenvector de A, correspondente l vlor crcterístco λ

21 Pr cd vlor crcterístco λ este un vector crcterístco Un mtrz cudrd de orden n tene cundo más n vlores crcterístcos El plntemento de l ecucón vectorl dd se emple frecuentemente en problems de resstenc de mterles, donde los vlores crcterístcos corresponden los esfuerzos prncples y, los vectores crcterístcos ls dreccones socds dchos esfuerzos Pr sstems dnámcos lneles e nvrbles con el tempo, los vlores crcterístcos de l mtrz A son ls frecuencs nturles de osclcón del sstem y, los vectores crcterístcos son los modos de vbrcón MtLb tene los comndos eg y poly pr l obtencón de los vlores crcterístcos (ríces gules o dferentes, reles o complejs) y vectores crcterístcos, sí como pr el polnomo crcterístco PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN INGENIERÍA Pr resolver problems en ngenerí que nvolucr sstems de ecucones lneles se recomend tener en cuent lo sguente: Entender el problem Determnr los dtos conocdos Nombrr decudmente ls ncógnts de cuerdo lo que se pd 4 Estblecer ls relcones estentes entre los dtos conocdos y ls ncógnts Determnr el sstem de ecucones lneles socdo ls relcones en 4 Resolver el sstem de ecucones lneles resultnte en 7 Verfcr que ls respuests obtends estén de cuerdo l problem 8 Interpretr el resultdo s es posble Problem Un empresro tene tres máquns que son empleds en l fbrccón de cutro rtículos dferentes Pr utlzr plenmente ls máquns ests estrán en opercón un turno de 8 hors drs El número de hors que cd máqun es usd en l produccón de cd uno de los cutro rtículos está ddo por Máqun Artículo Artículo Artículo Artículo 4 Por ejemplo, en l produccón de un undd del rtículo l máqun se us hor, l máqun se us hors y l máqun se us hor Encuentre el

22 número de unddes que se deben producr de cd uno de los 4 rtículos un dí de 8 hors complets Solucón: Se X el número de unddes que se deben producr del rtículo que se fbrcn durnte ls 8 hors con =,,, 4 : Es l cntdd de hors drs que es usd l máqun en l fbrccón del producto : Es l cntdd de hors drs que es usd l máqun en l fbrccón del producto : Es l cntdd de hors drs que es usd l máqun en l fbrccón del producto 4 : Es l cntdd de hors drs que es usd l máqun en l fbrccón del producto 4 Como l máqun debe ser usd 8 hors drs, entonces tenemos que: X + X + X + X 4 = 8 Procedendo de form smlr pr ls máquns y obtenemos el sstems de ecucones lneles sguente: X + X + X + X 4 = 8 X + X + X + X 4 = 8 X + X + X + X 4 = 8 Aplcndo el método de Guss-Jordn y escrbendo ls nstruccones en l ventn de comndos de MtLb tenemos: >> A=[,,,;,,,;,,,]; B=[8;8;8]; X=rref([A B]) X = 4 - Se tene un solucón ndetermnd, esto es: X + X 4 = 4 X + X 4 = X X 4 = de donde, X = 4 X 4 ; X = X 4 ; X = X 4

23 El modelo mtemátco tene nfndd de solucones, sn embrgo, el problem rel de produccón tene solucones fnts Cd X I es no negtv por representr l cntdd de unddes fbrcds del rtículo cd dí, por lo tnto X I < no tene sentdo S summos que se produce un número completo de unddes, entonces X I debe ser demás un número entero pr que todos los X I, sen no negtvos, X 4 debe ser un entero menor o gul que, y por lo tnto ls posbles solucones son Solucón 4 4 Por ejemplo l solucón sgnfc que en un dí pr ls máquns estr completmente utlzds se deben producr 4 unddes del rtículo, del rtículo y nngun de los rtículos y 4 Problem El crcuto eléctrco, mostrdo en l fgur, consste en resstencs y fuentes de voltje Determn l corrente de cd resstenc usndo ls Leyes de Krchhoff, s V = ; V = ; V =4; R = 8; R =; R = ; R 4 =; R = ; R = 8; R 7 = ; R 8 = 4 (Glt, ): Fgur Crcuto con cutro mlls

24 Solucón: Ls Leyes de Krchhoff (Ley de Nodos y Ley de Mlls) estblecen que l sum de voltjes lrededor de un crcuto cerrdo es cero Un corrente se sgn pr cd mll (,,, 4 en l fgur) Entonces, l Ley de Mlls de Krchhoff se plc en cd mll, obtenendo un sstem de ecucones lneles pr ls correntes (en este cso cutro ecucones) L solucón de este sstem nos d los vlores de ls correntes en ls mlls L corrente en un resstenc que fluye en dos mlls es l sum de ls correntes en ls correspondentes mlls Es convenente sumr que tods ls correntes vn en l msm dreccón (sentdo de ls mneclls del reloj en nuestro cso) En l ecucón pr cd mll, l fuente de un voltje es postv s l corrente fluye hc el polo negtvo (-) y el voltje de l resstenc es negtvo pr correntes en l dreccón l corrente en l mll Ls ecucones pr ls cutro mlls son: Susttuyendo los dtos, tenemos: V - R - R ( - ) R ( - ) = - R - R ( - ) R 4 ( - ) - R 7 ( - 4 ) = - V - R ( - 4 ) R 4 ( - ) R ( - ) = V - R R 7 ( 4 - ) R ( 4 - ) = 44I I I I 4I I I 4 I I I 8I 4 I 8I 4I 4 4 Ls cutro ecucones pueden ser reescrts en form mtrcl: A B () 4 Usndo el comndo rref (Método de Guss-Jordn) pr el sstem () tenemos:

25 >> A = [-44 ; -4 ; - 8; 8-4]; >> B = [-; ; ; -4]; >> X = rref([a B]) X = Los vlores de ls correntes en cd mll son: = 84 A; = 7 A; = 7 A; 4 = 7 A L corrente en l resstenc R es = 84 A L corrente en l resstenc R es = 7 A L corrente en l resstenc R 8 es 4 = 7 A Pr ls sguentes resstencs, pertenecen dos mlls l vez, por tnto, sus correntes son l sum de ls correntes en ls mlls respectvs L corrente en l resstenc R es = A L corrente en l resstenc R es = 84 A L corrente en l resstenc R 4 es = 79 A L corrente en l resstenc R es 4 = 9 A L corrente en l resstenc R 7 es 4 = 844 A Problem L fgur 7 muestr un crcuto resstvo puro (Torres, 99) Emplendo ls leyes de Krchhoff, obteng el sstem de ecucones lneles en ls correntes de ls mlls I S ls resstencs son Ω y ls fuentes de voltje vlen V = V = V y V = V 4 = V Determnr ls 4 correntes de mll I Solucón: Emplendo ls Leyes de Krchhoff tenemos: V - V = (I - I ) R + ( I - I ) R 4 + I ( R + R ) V - V = ( I - I ) R + ( I - I ) R 8 + ( I - I 4 ) R + I R 4 V 4 = ( I - I ) R 4 + ( I - I ) R 8 + ( I - I 4 ) R 7 + I ( R + R ) V = ( I 4 - I ) R + (I 4 - I ) R 7 + I 4 R

26 Fgur 7 Crcuto resstvo puro Susttuyendo los dtos, tenemos el sguente sstem de ecucones lneles: 8 I I I I 8 I I I I I I I I I I (7) Usndo el comndo rref (Método de Guss-Jordn) en el sstem (7) tenemos: A = [8 - - ; ; - - -; - - ]; B = [ ; -; ; ]; sol = rref([a B]) %Método de Guss-Jordn sol = Ls correntes son I = 84 A I = 99 A I = 7 A I 4 = 788 A

27 Problem 4 Tres máquns lmpdors A, B y C trbjndo junts relzn l lmpez de unos grndes lmcenes en 4 hors S se descompone l máqun B, entonces A y C relzn el trbjo en hors, pero s se descompone l máqun C, entonces A y B lo relzn en 8 hors Cuánto trdrá cd máqun ndvdulmente en relzr el trbjo de lmpez? Solucón: Reordenndo los dtos pr tener un mejor perspectv del problem, se tene l sguente tbl: Máquns trbjndo Tempo lmpez (hrs) Lmpez en hor A,B y C junts 4 /4 A y C / A y B 8 /8 Llmmos, y, z l número de hors que trd cd máqun ndvdulmente en hcer todo el trbjo Entonces, en hor A lmprá / del totl; hor B lmpr /y del totl; hor C lmprá /z del totl Por convenenc hcemos un cmbo de vrbles, X = /, Y = /y, Z =/z Entonces: y z / 4 y z / /8 (8) Escrbendo ls nstruccones en l ventn de comndos y usndo el operdor \ (Método de elmncón de Guss) del sstem (8) tenemos: >> A = [ ; ; ] ; >> B = [/4; /; /8] ; >> sol = A\B sol = 47 8 Hcendo cmbo de vrble, l solucón es: >> = /sol

28 = 4 8 Mmáqun A=4 hors; B = hors; C =8 hors Problem Emplendo ls leyes de Krchhoff, se obtuveron ls sguentes ecucones lneles pr el crcuto mostrdo en l fgur 8 (Torres, 99): Fgur 8 Crcuto eléctrco de rms (9) R R R R R R R R R R R R I I I I I C B B A A

29 Donde: son ls correntes de rm, I ls correntes de ls fuentes y R los vlores de ls resstencs S el vlor de ls fuentes es A I A I A I C B A 4,, y el de ls resstencs R R ; ; 8 4 R R ; R R ; R R R Obtener ls nueve correntes de rm por el método de elmncón de Guss Solucón: Susttuyendo los dtos en el sstem (8) tenemos: (9) Escrbendo el sstem (9) en form mtrcl tenemos: 4 4 A 4 B () Escrbendo los dtos del sstem () y usndo el comndo \ (Método de elmncón de Guss) tenemos: >> A = [ - ; - - ; - ; - ;

30 ; - ; - ; - ; 4-4]; >> B = [; -; ; -; -4; ; ; ; ]; >> correntes_ = A\B correntes_ = Ls correntes de rm son: 7A; 4 A; 7 9 A; 4 A; 9847 A; 44 A; A; A 7 A; Problem S l frecuenc de osclcón de un máqun concde con l frecuenc nturl de osclcón de l estructur sobre l que está montd, l estructur entr en resonnc y puede colpsr Esto es nálogo un columpo: el columpo se blnce cert frecuenc (nturl) y cd vez que lleg un etremo le dmos un empujón (frecuenc ectdor que concde con l frecuenc nturl), cd vez dqurrá myor mpltud Un estructur movéndose cd vez con myor mpltud puede dñrse Ls frecuencs nturles de osclcón w de cert estructur son ls ríces de los vlores crcterístcos λ de l sguente mtrz: 4 ()

31 Determnr s ls frecuencs nturles de osclcón de l estructur son menores que l frecuenc de osclcón de cclos/s de un máqun montd sobre ell Solucón: Escrbendo ls nstruccones del sstem mtrcl () tenemos: >> A = [- ; - ; -4 ; -]; >> frecuencs = eg(a) frecuencs = Ls frecuencs nturles de osclcón son menores de cclos/s Problem 7 Consdere el sstem de tres péndulos de ms m sujetos dos resortes de constnte k, med ltur de los péndulos de longtud como se muestr en l fgur Los resortes no tenen esfuerzo cundo los péndulos están en poscón vertcl Fgur Sstem de péndulos copldos Ls frecuencs nturles de osclcón w del sstem están relcondos por λ = 4m w los vlores crcterístcos λ de l mtrz: mg k k k mg k k k mg k

32 Los modos de vbrcón nturl del sstem son los vectores crcterístcos correspondentes Determn los vlores y vectores crcterístcos de l mtrz smétrc, s mg = y k = Solucón: Susttuyendo los dtos se obtene l sguente mtrz: A () Escrbendo los dtos del sstem mtrcl () tenemos: >> A= [ - ; - -; - ]; Y = poly(a) Y = >> vl = eg(a) vl = 4 Vlores crcterístcos 7 >> [V,D] = eg(a) V = Vectores crcterístcos D = 4 Vlores crcterístcos 7 Pr un frecuenc mínm λ = 4, el sstem de los tres péndulos tene un movmento de vvén unforme semejnte l péndulo de un reloj Pr l frecuenc λ =, el péndulo de en medo está en reposo y los otros dos se mueven los ldos Pr l frecuenc mám λ = 7, los péndulos tenen

33 movmentos totlmente rregulres y sgnfc que el sstem está punto de colpsr Problem 8 Consdérese un vlle sldo con N (t) lnces que se lmentn eclusvmente de lebres, de los cuáles hy un número N (t) como se muestr en l fgur (Torres, 99) Fgur Sstem ecológco pres-depreddor L ts de cmbo en el número de preddores (lnces) es proporconl su cmbo nturl (debdo ntldd y mortldd), sí como l cntdd de comd dsponble (número de lebres) Est relcón se puede epresr mtemátcmente como: dn dt N b N Donde: y b son constntes Asmsmo, l ts de cmbo de ls lebres se puede escrbr como: dn dt c N d N Donde: c y d son constntes Este sstem de ecucones se puede escrbr en form mtrcl como: d dt N N c b d N N L solucón de este sstem de ecucones dferencles es de l form: N N ( t) t t c e c e ( t)

34 Donde: λ y λ son los vlores crcterístcos correspondentes los vectores crcterístcos X y X de l mtrz y C y C son constntes que dependen de ls condcones ncles Obtener los vlores crcterístcos pr ls sguentes mtrces de coefcentes: Solucón: A B C () Escrbendo los dtos en l ventn de comndos de MtLb del sstem de mtrces (), tenemos: >> A = [ ; - -]; >> vlores_crcterstcos = eg(a) vlores_crcterstcos = 4 >> B = [- ; - ]; >> vlores_crcterstcos = eg(b) vlores_crcterstcos = -4 - >> C = [- ; - ]; >> vlores_crcterstcos = eg(c) vlores_crcterstcos = De l solucón se observ que s mbos vlores crcterístcos λ y λ son postvos, el sstem ecológco eplot pues ls eponencles tenden nfnto S mbos vlores crcterístcos son negtvos, ls poblcones se etermnn (decrecen cero) S los vlores crcterístcos son complejos conjugdos, ls ( b) t t poblcones oscln pues e e (cos bt sen bt ) Problem 9 Consdere un sstem de cnco dscos, cd uno de momento de nerc j, undos un flech de constnte elástc torsonl k, como se muestr en l fgur

35 Fgur Dscos undos por un flech Determnr ls frecuencs nturles de osclcón torsonl ω, relconds por λ = ω j/k con los vlores crcterístcos λ de l mtrz smétrc: () Así como clculr los modos de vbrcón torsonl (vectores crcterístcos de l mtrz) Consderr j=kg-m y k= rd/n-m Solucón: Escrbendo los dtos del sstem mtrcl (), tenemos: >> A = [ - ; - - ; - - ; - -; - -]; >> [V,D] = eg(a) V = Vectores crcterístcos D = Vlores crcterístcos

36 Not: Los vlores y vectores crcterístcos, nos ndcn que l osclcón de los dscos no es unforme y tenden l cbeceo Problem 9 En un rmdur estátcmente determnd con nudos rtculdos (Fg), l tensón F en cd membro, puede obtenerse prtr de l ecucón mtrcl que se present ensegud (l ecucón result de poner tods ls sums de fuerzs, ctundo horzontl o vertclmente en cd nudo gul cero) Obteng los vlores de ls tensones de l rmdur (Curts, 987) Fgur Armdur con nudos rtculdos F= (4) Solucón: Escrbendo ls nstruccones en l Ventn de comndos de MtLb del sstem mtrcl (4) tenemos:

37 >> A = [ ]; > B = [ ; -; ; ; ; ; ; -]; >> X = A\B X = E+ * Ls tensones son: F 47 F 74 F F4 F 4 F F F F Not: Los vlores negtvos son comprensón y los postvos son estrmento CONCLUSIÓN L plccón de los métodos de solucón numérc pr sstems de ecucones lneles mednte el softwre de plccón MATLAB, les fcltrá los lumnos de ngenerí l mejor comprensón de estos sstems y de los procesos mtemátcos Tmbén permte un prtcpcón constructvst por prte del lumno, y que puede conjeturr, epermentr y etrer conclusones MtLb es un potente recurso mtemátco que compñrá sempre l lumno en su proceso de prendzje, y que con mínmos conocmentos nformátcos ofrece tod un

38 gm de posblddes pr resolver los problems de Métodos Numércos, dndo como resultdo un mejor prendzje BIBLIOGRAFÍA Etter, D (997) Solucón de Problems de Ingenerí con MtLb (ª ed), Méco, Ed Prentce Hll Hspnomercn Gerld, C y Whetley, P () Análss Numérco con Aplccones (ª ed), Méco, Ed Prentce Hll/Person Educcón Glt, A () MtLb n ntroducton wth pplctons (ª ed),usa, Ed John Wley & Sons, Inc The MthWorks, Inc (9) MATLAB Functon Reference R9 USA Mthews, J H y FINK, KD() Métodos numércos con MtLb (ª ed), Espñ, Ed Prentce-Hll Hspnomercn Neves, A y Domnguez, S () Métodos Numércos Aplcdos l ngenerí (ª ed) Méco, CECSA Pérez, L C () Mtlb y sus plccones en ls Cencs y l Ingenerí Espñ, Ed Prentce-Hll Torres, J y Cztrom, V (98) Métodos pr l solucón de problems con computdor dgtl Méco, Representcones y Servcos de Ingenerí Yng, W, Co W, Chung T nd Morrs, J() Appled Numercl Methods Usng MATLAB USA; Ed Wley-Interscence

39 SÍNTESIS CURRICULAR Nombre: Ing Lus Lorenzo Jménez Grcí e-ml: Tel () 8 Et 9 Grdo cdémco: Ingenero Cvl Estudos relzdos: Posgrdo en Mestrí en Pedgogí (% de crédtos probdos) Dplomdo en docenc unverstr FES Argón UNAM Reconocmentos otorgdos: Reconocmento m lbor cdémc con el cmbo de ctegorí de Profesor de Crrer Asocdo B Tempo Completo Interno Profesor de Crrer Asocdo C Tempo Completo Defntvo FES Argón 8 de Mrzo de Reconocmento por ños de Servcos Acdémcos FES Argón UNAM Reconocmento m lbor cdémc con ngreso l Progrm de Apoyo l Incorporcón del Personl Acdémco de Tempo Completo (PAIPA) Reconocmento l Mérto Unverstro Dplom y medll por los ños de Servcos Acdémcos FES Argón UNAM Dstncón l Profesor de Asgntur Nvel ENEP Argón UNAM Profesor Funddor de l crrer de Ingenerí en Computcón ENEP ArgónUNAM Reconocmento por destcd voccón l servco Secretrí de Desrrollo Urbno y Ecologí Méco, DF Cursos mprtdos: El softwre de plccón MtLb en l solucón de problems de Ingenerí Curso Intersemestrl de l Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón ( hors) l de Agosto de El MtLb plcdo l Ingenerí Curso Intersemestrl de l Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón ( hors) l 9 de Enero de Resolucón de Problems con MtLb º Dplomdo de Actulzcón en Mtemátcs DGAPA-Dvsón de l Cencs Físco Mtemátcs y ls Ingenerís FES Argón ( hors) Septembre 9 MtLb y sus Aplccones en l Ingenerí Curso Intersemestrl de l Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón (Febrero 9) Ddáctc de ls Mtemátcs Dplomdo de Actulzcón en Mtemátcs FES Argón Dreccón Generl de Asuntos del Personl Acdémco (Septembre 8) Aplccón de MtLb en ls Cencs Físcomtemátcs Undd de Sstems y Servcos de Cómputo FES Argón (Agosto 8) MtLb y su plccón en Ingenerí Undd de Sstems y Servcos de Cómputo FES Argón (Agosto 8) Métodos Numércos plcdos con MtLb Undd de Sstems y Servcos de Cómputo FES Argón (Agosto 8) MtLb Undd de Sstems y Servcos de Cómputo FES Argón (Agosto 8) El MtLb y ls plccones en Mtemátcs Curso Intersemestrl de l Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón (8) MtLb y su plccón en Ingenerí Undd de Sstems y Servcos de Cómputo FES Argón (Agosto 8)

40 MtLb Undd de Sstems y Servcos de Cómputo FES Argón (Agosto 7) Aplccón de MtLb ls Cencs Físcomtemátcs y l Ingenerí Curso Intersemestrl de l Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón (7) MtLb plcdo l Cálculo Integrl Curso Intersemestrl de l Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón (7) MtLb Undd de Sstems y Servcos de Cómputo FES Argón (7) Aplccones de MtLb l Ingenerí Curso Intersemestrl de l Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón () Publccones electróncs: L enseñnz-prendzje de los Métodos Numércos con Mtlb Publccón Electrónc º Encuentro Internconl sobre l enseñnz de ls Mtemátcs FES Cuuttlán Myo de Aplccón de l Integrcón Numérc en Ingenerí mednte MtLb Publccón Electrónc Número de ISBN: VI Encuentro Multdscplnro de Investgcón FES Argón UNAM (9) El Softwre ddáctco MtLb plcdo los Métodos Numércos Cso: Solucón Numérc de Ecucones en Dervds Prcles V Encuentro Multdscplnro de Investgcón FES Argón (8) El softwre ddáctco MtLb plcdo los Métodos Numércos en Ingenerí IV Encuentro Multdscplnro de Investgcón FES Argón (7) Cursos tomdos: Autocd en D y D pr Ingenerí Curso Intersemestrl de l Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón ( hors) 4 l de Juno de Formcón docente y cldd del proceso formtvo Dvsón de Estudos de Posgrdo e Investgcón FES Argón 7 l de Juno de Cretvdd plcd l enseñnz unverstr Dvsón de Estudos de Posgrdo e Investgcón FES Argón l 4 de Myo de Ddáctc de ls mtemátcs (Aprendzje convenconl vs Competenc mtemátc) Dreccón Generl de Asuntos del Personl Acdémco l de Enero de Usos y propcones de l Investgcón Comprd Dreccón Generl de Asuntos del Personl Acdémco l de Enero de er Dplomdo en Cómputo pr Profesores de Lcenctur UNAM Introduccón l Tecnologí Informátc Centro de Cómputo FES Argón ( hors) (9) Métodos Numércos con Mthemtc Módulo 4 del º Dplomdo en Mtemátcs Dvsón de ls Cencs Físco Mtemátcs y ls Ingenerís FES Argón (Juno 9) L Geometrí Anlítc en D y D en l Ingenerí Módulo del º Dplomdo en Mtemátcs Dvsón de ls Cencs Físco Mtemátcs y ls Ingenerís FES Argón (Juno 9) Álgebr, Conjuntos y Álgebr lnel Módulo del º Dplomdo en Mtemátcs Dvsón de ls Cencs Físco Mtemátcs y ls Ingenerís FES Argón (Myo 9) Hstor de ls Mtemátcs y su Desrrollo Módulo del º Dplomdo en Mtemátcs Dvsón de ls Cencs Físco Mtemátcs y ls Ingenerís FES Argón (Mrzo 9) Herrments de cómputo Módulo del Dplomdo en Mtemátcs Dvsón de ls Cencs Físco Mtemátcs y ls Ingenerís FES Argón (8)

41 Pensmento mtemátco vnzdo Módulo 4 del Dplomdo en Mtemátcs Dvsón de ls Cencs Físco Mtemátcs y ls Ingenerís FES Argón (8) Sstem de cmbo vrconl Módulo del Dplomdo en Mtemátcs Dvsón de ls Cencs Físco Mtemátcs y ls Ingenerís FES Argón (8) Pensmento funconl, vsulzcón y percepcón espcl Módulo del Dplomdo en Mtemátcs Dvsón de ls Cencs Físco Mtemátcs y ls Ingenerís FES Argón (8) er Tller, estrtegs de l nvestgcón de cmpo Curso Intersemestrl de l Secretrí Acdémc del Progrm de Investgcón FES Argón (8) Análss de proyectos eductvos Curso Intersemestrl de l Dvsón de Estudos de Posgrdo FES Argón (8) Formcón de tutores pr el fortlecmento de los estudos de lcenctur en l FES Argón Curso de l Dvsón de Humnddes y Artes FES Argón (8) Aplccones de l energí renovble en el sector gropecuro Curso de l UACh (7) Formulcón, elborcón y presentcón de Tess de Grdo Dvsón de Estudos de Posgrdo e Investgcón FES Argón (7) Curso Básco de Ssmologí Curso de l Secretrí Acdémc del Progrm de Investgcón FES Argón (7) Metodologí de l Investgcón I Curso Intersemestrl de l Secretrí Acdémc del Progrm de Investgcón FES Argón (7) El dbujo sstdo por computdor plcdo l Ingenerí Mecánc Eléctrc Curso Intersemestrl de l Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón (7) Conferencs Imprtds L enseñnz-prendzje de los Métodos Numércos con Mtlb º Encuentro Internconl sobre l enseñnz de ls Mtemátcs FES Cuuttlán Myo de Aplccón de l Integrcón Numérc en Ingenerí mednte MtLb VI Encuentro Multdscplnro de Investgcón FES Argón Octubre 9 Técncs de Aprendzje Conferenc mprtd en l Escuel Preprtor Ofcl No Actvddes referentes l ª Semn Nconl de Cenc y Tecnologí Prque Resdencl Coclco Coclco, Edo deméco(9) Nuevs Tecnologís pr l Enseñnz de ls Mtemátcs Conferenc mprtd en l Escuel Preprtor Ofcl No Actvddes referentes l ª Semn Nconl de Cenc y Tecnologí Nezhulcóyotl, Edo de Méco (9) Métodos Actvos de Aprendzje Conferenc mprtd en el CECYTEM Ectepec Actvddes referentes l ª Semn Nl de Cenc y Tecnologí (Octubre 8) Nuevs Tecnologís pr l Enseñnz de ls Mtemátcs Conferenc mprtd en el CECYTEM Ectepec Actvddes referentes l ª Semn Nconl de Cenc y Tecnologí (Octubre 8) El Softwre ddáctco MtLb plcdo los Métodos Numércos Cso: Solucón Numérc de Ecucones en Dervds Prcles V Encuentro Multdscplnro de Investgcón FES Argón (8) Métodos Actvos de Aprendzje (Turno mtutno y Turno Vespertno) Escuel Preprtor Ofcl No 4ª Semn Nconl de Cenc y Tecnologí Nezhulcóyotl, Edo de Méco (7) Ls nuevs tecnologís en l enseñnz de ls mtemátcs (Turno mtutno y Turno Vespertno) Escuel Preprtor Ofcl No 4ª Semn Nconl de Cenc y Tecnologí Nezhulcóyotl, Edo de Méco (7)

42 El softwre ddáctco MtLb plcdo los Métodos Numércos en Ingenerí IV Encuentro Multdscplnro de Investgcón FES Argón (7) Métodos Actvos de Aprendzje Escuel Preprtor Alfredo Herrer Nv ª Semn Nconl de Cenc y Tecnologí Nezhulcóyotl, Edo de Méco () Contmncón Dvulgcón de Tems y Tópcos Unverstros Televs Cnles y 8 Méco, DF (984) Contmncón Dvulgcón de Tems y Tópcos Unverstros Televs Cnles y 8 Méco, DF (984) El Rudo en l Cudd Dvulgcón de Tems y Tópcos Unverstros Televs Cnles y 8 Méco, DF (984) El Rudo en Centro de Trbjo Dvulgcón de Tems y Tópcos Unverstros Televs Cnles y 8 Méco, DF (984) Los Efectos Ocsondos por el Rudo Dvulgcón de Tems y Tópcos Unverstros Televs Cnles y 8 Méco, DF (984) Control de Rudo Industrl Dvulgcón de Tems y Tópcos Unverstros Televs Cnles y 8 Méco, DF (98) Rudo Urbno Dvulgcón de Tems y Tópcos Unverstros Televs Cnles y 8 (98) El Rudo produce Neuross? Dvulgcón de Tems y Tópcos Unverstros Televs Cnles y 8 (98) Méco, DF (98) Contmncón Ambentl por Rudo Dvulgcón de Tems y Tópcos Unverstros Televs Cnles y 8 Méco, DF (98) Actvdd docente e nsttuconl Funconro de csll Eleccones de consejeros lumnos l H-Consejo Técnco (8) Prtcpcón en el proceso de Acredtcón de ls Lcencturs de Ingenerí Cvl e Ingenerí Mecánc Eléctrc nte el CACEI FES Argón UNAM () Se hn drgdo y revsdo dverss tess y se h prtcpdo en eámenes profesonles Membro del Comté de Crrer de Crrer de Ingenerí Mecánc Eléctrc en el Áre de Físco Mtemátcs (- ) Tutor de dversos lumnos del Progrm de Becs Pronbes Crrer: Ingenerí Mecánc Eléctrc FES Argón UNAM (- ) Jurdo de eámenes de oposcón en ls sgnturs Métodos Numércos, Métodos Numércos I y Métodos Numércos II, de ls crrers de Ingenerí Cvl, Acturí y Mtemátcs Aplcds y Computcón FES Actlán UNAM () Presdente de l Comsón Dctmndor Intern FES Argón UNAM (998-) Membro de l Comsón Dctmndor de Dseño y Cencs Báscs ENEP Argón UNAM (994-99) Representnte del C Drector de l ENEP Argón nte el Consejo Acdémco de Áre de ls Cencs Físco-Mtemátcs y de ls Ingenerís (99-997) Membro de l Comsón de Honor y Justc ENEP Argón UNAM(99-997) Membro de l Comsón de Segurdd ENEP Argón UNAM (99-99) Decno del Comté de Crrer de Ingenerí en Computcón ENEP Argón (99-) Consejero Técnco Propetro de l Crrer de Ingenerí en Computcón (987-99)

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