Interpolación Polinómica

Transcripción

1 .- Dd l tbl de vlores: Interpolcón Polnómc - y 7 9 ) Encontrr el splne cúbco nturl que nterpol estos dtos, mponendo ls condcones requerds y resolvendo el sstem. b) Msm cuestón resolvendo prevmente el sstem trdgonl pr el cálculo de ls dervds segunds del splne en los nodos. c) Clculr el splne no nodo, hcer un gráfc de nodos y del splne. d) Dbujr el splne completo que nterpol los dtos, suponendo que ls dervds prmers del splne en los nodos ncl y fnl son -5 y 5, respectvmente..- e quere construr l líne fronterz entre dos poblcones prtr de los dtos que fgurn en l sguente tbl: y ) Clculr el polnomo de nterpolcón que ps por todos los puntos. Hllr l ordend del punto de bscs.5. Representr los dtos junto l polnomo que los nterpol, que defnrí l fronter entre ls poblcones. b) Utlzr un splne no nodo pr perflr l fronter. Hllr l ordend del punto de l msm de bscs.5. Representr los dtos junto l splne que los nterpol en l msm ventn de dbujo que el prtdo ). c) Utlzr un splne nturl pr perflr l curv de seprcón entre ls poblcones..- Un robot debe tomr un objeto studo en l poscón y dejrlo en l poscón 6 del recnto esquemtzdo en l fgur. Pr ello recorre un tryector defnd por los puntos de l tbl, que trtn de evtr los obstáculos del recnto. el nstnte t, y (p(t k ), q(t k )) = Pso y L tryector se obtene nterpolndo los puntos ddos k k mednte funcones p y q tles que (p(t), q(t)) es l poscón del brzo en,, sendo t k =. k, k =,,,5. Representr k y k gráfcmente l tryector obtend s p y q son: U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

2 Interpolcón Polnómc ) Los polnomos de nterpolcón de t, y t, k k k y k, respectvmente. b) plnes no nodo. c) plnes tles que l velocdd ncl y fnl del robot es. d) plnes tles que l celercón ncl y fnl del robot es. En qué csos l tryector no choc contr los obstáculos n ls predes del recnto? 4.- Dd l tbl de vlores: f () 5-7 f () 5-5 ) Hllr el polnomo de Lgrnge que nterpol estos dtos. b) Hllr el polnomo de Hermte que nterpol estos dtos. c) Representr los dos polnomos nterores y comentr el resultdo. 5.- e consdern los vlores de l funcón y = rc tg en los nodos = -, -,,,. ) Interpolr estos puntos mednte un splne cúbco cuy dervd prmer en los etremos concd con l dervd prmer de l funcón. b) Hllr el splne que ps por dchos puntos y tene dervd tercer en los nodos - y (es decr, ls dos prmers pezs del splne son el msmo polnomo, l gul que ls dos últms). c) Compr mbs promcones. 6.- L tbl sguente reflej l demnd de energí eléctrc en Espñ cd dos hors de un dí de nverno. Hor MW Hor MW ) Hllr el polnomo de grdo que nterpol los vlores ddos. Anlzr el comportmento del polnomo de nterpolcón. b) e propone mejorr l nterpolcón dvdendo el ntervlo en dos, de y de 4, y hllndo un polnomo pr cd ntervlo. Representr los polnomos obtendos y comprr el resultdo con el del prtdo nteror. c) Interpolr los dtos con un splne cúbco y comprr con los justes nterores. U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

3 Interpolcón Polnómc 7.- Dd l tbl de vlores (funcones de Bessel): f () ) Comprr ls promcones de f(.5) utlzndo polnomos de nterpolcón de grdo,, y 4. b) bendo que f(.5) =.5877, con qué polnomo se h obtendo l mejor promcón? 8.- Dd l tbl de vlores sguente, correspondente l funcón f() = tg (): 4 4 y - ) Clculr el correspondente polnomo de nterpolcón, plcndo l defncón. b) Clculr mno el polnomo de Newton con l fórmul de ls dferencs dvdds. c) Interpolr el vlor de f en Pr l funcón f() = tg (), se consder l tbl de vlores: y - ) Hllr el polnomo de nterpolcón correspondente estos dtos. b) Interpolr estos puntos mednte un splne cúbco cuy dervd prmer en los etremos concd con l dervd prmer de l funcón. c) Hllr el splne que ps por dchos puntos y tene dervd tercer en los nodos y (es decr, ls dos prmers pezs del splne son el msmo polnomo, l 4 4 gul que ls dos últms)..- Pr l tbl de vlores: y ) Hllr el polnomo de nterpolcón. b) Hllr un splne no nodo pr estos dtos. c) Dbujr los dos polnomos en l msm ventn de dbujo. Comentr el resultdo. U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

4 Interpolcón Polnómc U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 4.- Dd l tbl de vlores: ) Encontrr el splne cúbco nturl que nterpol estos dtos, mponendo ls condcones requerds y resolvendo el sstem. b) Msm cuestón resolvendo prevmente el sstem trdgonl pr el cálculo de ls dervds segunds del splne en los nodos. c) Clculr el splne no nodo, hcer un gráfc de nodos y del splne. d) Dbujr el splne completo que nterpol los dtos, suponendo que ls dervds prmers del splne en los nodos ncl y fnl son -5 y 5, respectvmente. olucón ), d c b, d c b (), d c b, d c b (), c b ', c b ' '(), b 6 '', b 6 '' '() ' Imponemos ls 4n - = 6 condcones pr que se un splne cúbco: b '' b 6 '' c ' c b ' 9 d c b 7 d 7 d c b d Además, por trtrse de un splne nturl, h de verfcrse: b 6 '' b '' - y 7 9

5 Interpolcón Polnómc Los coefcentes del splne son, por tnto, ls solucones del sstem lnel: b 7 c 7 d 9 c 6 b 6 d b c 8 d b 6 c d 7 () 8, 6 7, r '' b) Por ser un splne nturl, se verfc: r '' El sstem trdgonl tene n- = ecucón con un ncógnt, que es r '' : h h h r e e r, 6 y y 7 y y 9 7 sendo h, e 6, e. usttuyendo: r 6 8 r '' 6 El splne tene por ecucón: () b c d, b c d,, sendo: r r 6h, r y y r r b, c h h 6 d y., r r r y y r r, b, c h 8, d y ; 6 h 6 r r r y y r r, b 6, c h, d y 7. 6 h 6 6 7, 8, (). U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 5

6 Interpolcón Polnómc c) Utlzmos l funcón splne de Mtlb pr clculr el splne no nodo : >> =[- ]; >> y=[ 7 9]; >> splne(,y) ns = form: 'pp' breks: [- ] coefs: [4 - ] peces: order: dm: Como en el splne no nodo los polnomos de los dos prmeros ntervlos son el msmo, se trt smplemente del polnomo nterpoldor de grdo. Los coefcentes venen ddos por el cmpo coefs de l respuest: 4. Representmos el polnomo con Mtlb: >> =-:.:; >> yy=splne(,y,); >> plot(,y, *,,yy) d) Utlzmos de nuevo l msm funcón de Mtlb, splne, ñdendo ls dos condcones del splne completo: >> =[- ]; >> y=[ 7 9]; >> =-:.:; >> zz=splne(,[-5 y 5],); >> plot(,y, *,,zz) U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 6

7 Interpolcón Polnómc.- e quere construr l líne fronterz entre dos poblcones prtr de los dtos que fgurn en l sguente tbl: y ) Clculr el polnomo de nterpolcón que ps por todos los puntos. Hllr l ordend del punto de bscs.5. Representr los dtos junto l polnomo que los nterpol, que defnrí l fronter entre ls poblcones. b) Utlzr un splne no nodo pr perflr l fronter. Hllr l ordend del punto de l msm de bscs.5. Representr los dtos junto l splne que los nterpol en l msm ventn de dbujo que el prtdo ). c) Utlzr un splne nturl pr perflr l curv de seprcón entre ls olucón poblcones. ) >> =[:7]; >> y=[ ]; >> polyft(,y,7) ns = Columns through Columns 7 through >> polyvl(ns,.5) ns = >> % oben: >> p=polyft(,y,7); >> polyvl(p,.5) ns = >> % Dbujo: >> hold on >> =:.:7; >> yy=polyvl(p,); >> plot(,y,'*',,yy) U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 7

8 b) >> % plne no nodo Interpolcón Polnómc >> =[:7]; >> y=[ ]; >> ppvl(splne(,y),.5) ns = >> % o ben: >> splne(,y,.5) ns = >> % Dbujo: >> =:.:7; >> zz=splne(,y,); >> plot(,y,'*',,zz) >> hold off c) Utlzr un splne nturl pr perflr l curv de seprcón entre poblcones. n = 7, r = () =, r 7 = (7) =. stem trdgonl pr clculr r, = ( ), =,, 6: U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 8

9 Interpolcón Polnómc h h h 6 h h h h h r e e 6 6 r e e h h h4 h 4 r4 e4 e 6 6 r e e h5 h5 h 6 6 h e h h h h e e r r =, =,, 6. y y, =,, h4 h4 h5 h5 r6 h6 e6 e5 r y e r r r 5 r r5 r r 96 r r 74 r r r.84 4 r4 96 r r 5 r r 6 9 r U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 9

10 Interpolcón Polnómc A prtr de ls dervds segunds se clculn los coefcentes del splne: r r, 6h r y y r r b, c h h 6, d y, =,, 6 tles que b c d,, =,, 6., e obtene el splne: U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

11 Interpolcón Polnómc.- Un robot debe tomr un objeto studo en l poscón y dejrlo en l poscón 6 del recnto esquemtzdo en l fgur. Pr ello recorre un tryector defnd por los puntos de l tbl, que trtn de evtr los obstáculos del recnto Pso y L tryector se obtene nterpolndo los puntos ddos, y k k mednte funcones p y q, y (p(t k ), q(t k )) = tles que (p(t), q(t)) es l poscón del brzo en el nstnte t, y k k s p y q son:, sendo t k =. k, k =,,,5. Representr gráfcmente l tryector obtend ) Los polnomos de nterpolcón de t, y t, b) plnes no nodo. k k k y k c) plnes tles que l velocdd ncl y fnl del robot es. d) plnes tles que l celercón ncl y fnl del robot es., respectvmente. En qué csos l tryector no choc contr los obstáculos n ls predes del recnto? olucón ) >> %Interpolmos ls bscss: >> t=:.:; >> =[ ]; >> p=polyft(t,,5) p =.e+ * >> %Interpolmos ls ordends: >> y=[ 4 4 4]; >> q=polyft(t,y,5) q = >> %Representmos conjuntmente l tryector: >> tt=:.:; >> =polyvl(p,tt); >> yy=polyvl(q,tt); >> plot(,y,'*',,yy) U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

12 Interpolcón Polnómc b) >> % plnes no nodo >> tt=:.:; >> =splne(t,,tt); >> yy=splne(t,y,tt); >> plot(,y,'*',,yy) c) >> % El nterpolnte peddo es el splne completo o de fronter sujet >> %en el que l dervd prmer en los etremos es nul. >> %e obtene con l orden "splne", ñdendo los vlores de l >> %dervd l vector de mágenes". >> tt=:.:; >> =splne(t,[ ],tt); U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

13 >> yy=splne(t,[ y ],tt); >> plot(,y,'*',,yy) Interpolcón Polnómc d) El splne peddo es el splne nturl cuy dervd segund se nul en los etremos del ntervlo. Pr clculrlo hy que resolver un sstem trdgonl del tpo l utlzdo en el ejercco prtdo c). ldrí un gráfc muy smlr l del splne completo. En qué csos l tryector no choc contr los obstáculos n ls predes del recnto? En el cso ) l tryector se sle de los límtes del recnto. El splne no nodo roz lgermente ls predes del recnto. Los splnes con condcones sobre l prmer (splne completo) o segund dervd (splne nturl) en los etremos se comportn mucho mejor, quedndo lejdos en todo momento de los bordes y los obstáculos del recnto. U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

14 Interpolcón Polnómc 4.- Dd l tbl de vlores: f () 5-7 f () 5-5 ) Hllr el polnomo de Lgrnge que nterpol estos dtos. b) Hllr el polnomo de Hermte que nterpol estos dtos. c) Representr los dos polnomos nterores y comentr el resultdo. olucón ) El polnomo de Lgrnge que nterpol estos tres dtos puede hllrse: ) Con Mtlb: >> =[ ]; >> y=[ 5-7]; >> polyft(,y,) ns = ( coefcentes del polnomo) El polnomo peddo es: P() = ) A mno: P() = L () f( )+ L () f( )+ L () f( ) = ( )( ) y ( )( ) ( )( ) y ( )( ) ( ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 ( 7) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = )( ) y )( ) b) Polnomo de Hermte: u grdo es n + = 5 H() = + ( z ) + ( z )( z ) + ( z ) ( z ) ( z ) + 4 ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z )( z 4 ) U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 4

15 Interpolcón Polnómc z f(z) ª df. dvdds ª df. dvdds ª df. dvdds 4ª df. dvdds 5ª df. dvdds z = = f(z )=f( )= z = = f(z )=f( )= f[z, z ]=f '( )= z = = f(z )=f( )=5 f[z, z ]=4 f[z, z, z ]= z = = f(z )=f( )=5 f[z, z ]=f '( )=5 f[z, z, z ]= f[z, z, z, z ]= z 4 = = f(z 4 )=f( )=-7 f[z, z 4 ]=- f[z, z, z 4 ]=-8 f[z, z, z, z 4 ]=- f[z, z, z, z, z 4 ]= z 5 = = f(z 5 )=f( )=-7 f[z 4, z 5 ]=f '( )=-5 f[z, z 4, z 5 ]=- f[z, z, z 4, z 5 ]= f[z, z, z, z 4, z 5 ]= f[z,, z 5 ]= U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 5

16 Interpolcón Polnómc Obtenéndose los coefcentes: =, =, =, =, 4 =, 5 =, de donde: H() = (-) + (-) (-) = c) Gráfco de mbos polnomos: >> =[ ]; >> y=[ 5-7]; >> polyft(,y,) ns = >> =[:.:]; >> yy=polyvl(ns,); >> plot(,y,'*',,yy) >> hold on >> H=[ ]; >> polyvl(h,); >> zz=polyvl(h,); >> plot(,y,'*',,zz,'- -') L curv en trzo contnuo corresponde l gráfc del polnomo de Lgrnge. L de trzo dscontnuo l del polnomo de Hermte. Ambs curvs psn por los puntos (, f()) ddos; pero, el polnomo de Hermte cumple demás en cd uno de los tres nodos que H () = f (), con lo que tene en común con l funcón l pendente de l rect tngente en esos puntos y, por tnto, l form de l gráfc es más precd; H() es un mejor promcón de l funcón. U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 6

17 Interpolcón Polnómc 5.- e consdern los vlores de l funcón y = rc tg en los nodos = -, -,,,. ) Interpolr estos puntos mednte un splne cúbco cuy dervd prmer en los etremos concd con l dervd prmer de l funcón. b) Hllr el splne que ps por dchos puntos y tene dervd tercer en los nodos - y (es decr, ls dos prmers pezs del splne son el msmo polnomo, l gul que ls dos últms). c) Compr mbs promcones. olucón ) El nterpolnte peddo en este prtdo es el splne completo, que se obtene con l orden splne de Mtlb, ñdendo ls ordends los vlores de l dervd de l funcón en los nodos ncl y fnl. y'() y'( )., y'() >> =-:; >> y=tn(); >> ps=splne(,[. y.]); Los coefcentes de cd pez del splne están ddos en l sguente mtrz: >> ps.coefs ns = Dbujmos l funcón (trzo contnuo rojo) y el polnomo segmentro (trzo dscontnuo verde):.5 >> =-:.:; >> yy=ppvl(ps,); >> plot(,y,'*',,tn()) >> hold on >> plot(,y,'*',,yy,'--') U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 7

18 Interpolcón Polnómc b) e trt de clculr el splne no nodo, con l funcón splne de Mtlb: >> psnn=splne(,y); Los coefcentes de cd pez del splne están ddos en l sguente mtrz: >> psnn.coefs ns = Dbujmos l funcón (trzo contnuo rojo) y el splne no nodo (trzo dscontnuo verde): >> =-:.:;.5 >> plot(,y,'*',,tn()) >> hold on >> yynn=ppvl(psnn,);.5 >> plot(,y,'*',,yynn,'--') c) Dferenc entre l funcón y cd uno de los nterpoldores (trzo contnuo l dferenc con el splne no nodo y dscontnuo con el completo): >> =-:.:;. >> df=tn()-ppvl(ps,);. >> df=tn()-ppvl(psnn,);. >> plot(,df,':');hold on >> plot(,df) -. e observ en l fgur que l -. dferenc mám con mbos -. splnes es muy smlr. El splne completo se dpt mejor en el sentdo de que en ls pezs etrems tene l msm convedd que l funcón U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 8

19 Interpolcón Polnómc 6.- L tbl sguente reflej l demnd de energí eléctrc en Espñ cd dos hors de un dí de nverno. Hor MW Hor MW ) Hllr el polnomo de grdo que nterpol los vlores ddos. Anlzr el comportmento del polnomo de nterpolcón. b) e propone mejorr l nterpolcón dvdendo el ntervlo en dos, de y de 4, y hllndo un polnomo pr cd ntervlo. Representr los polnomos obtendos y comprr el resultdo con el del prtdo nteror. c) Interpolr los dtos con un splne cúbco y comprr con los justes nterores. olucón ) Utlzmos l funcón polyft de Mtlb: >> h=[::4]; >> MW=[ ]; >> p=polyft(h,mw,) Avs Mtlb: Wrnng: Polynoml s bdly condtoned. Add ponts wth dstnct X vlues, reduce the degree of the polynoml, or try centerng nd sclng s descrbed n HELP POLYFIT. In polyft t 8. Ocurre que los coefcentes del polnomo buscdo vrín mucho en mgntud unos de otros: >> formt long >> p=polyft(h,mw,) Wrnng: Polynoml s bdly condtoned. Add ponts wth dstnct X vlues, reduce the degree of the polynoml, or try centerng nd sclng s descrbed n HELP POLYFIT. In polyft t 8 p =.e+5 * Columns through Columns through Columns 5 through 6 U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 9

20 Columns 7 through Columns 9 through Columns through Column.5757 Interpolcón Polnómc Efectvmente se obtene un polnomo cuyos coefcentes vrín mucho de escl: p(t) = Lo dbujmos junto con los nodos: >> hh=:.:4; >> MMW=polyvl(p,hh); >> plot(h,mw,'*',hh,mmw) Present osclcones en los etremos del ntervlo, prtculrmente en el zquerdo, como se observ en l fgur. b) Interpolmos dos polnomos dvdendo el ntervlo por l mtd: >> p=polyft(h(:7),mw(:7),6) p =.e+4 * Columns through Columns 4 through Column 7.58 U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

21 Interpolcón Polnómc >> p=polyft(h(7:),mw(7:),6) Wrnng: Polynoml s bdly condtoned. Add ponts wth dstnct X vlues, reduce the degree of the polynoml, or try centerng nd sclng s descrbed n HELP POLYFIT. > In polyft t 8 p =.e+7 * Columns through Columns 4 through Column Hcemos l gráfc con Mtlb: 4 4 >> hh=:.:;.8 >> MMW=polyvl(p,hh);.6 >> hh=:.:4;.4 >> MMW=polyvl(p,hh);. >> plot(h,mw,'*',hh,mmw,':',hh, MMW,'-').8 Los sstems resolver en este cso.6 no son tn ml condcondos. Csulmente l unón de los dos subntervlos es suve. c) Ajustemos un polnomo segmentro cúbco: Al trtrse de dtos epermentles no tenemos nformcón cerc de ls dervds, por lo que utlzmos un splne no nodo. >> ps=splne(h,mw); >> s=ps.coefs s =.e+4 * Columns through U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

22 Interpolcón Polnómc Column >> MWs=ppvl(ps,hh); >> plot(h,mw,'*',hh,mws) >> Los coefcentes del splne están mejor escldos que los del polnomo y l gráfc sugere un evolucón más rzonble de l demnd eléctrc. U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

23 Interpolcón Polnómc 7.- Dd l tbl de vlores (funcones de Bessel): f () ) Comprr ls promcones de f(.5) utlzndo polnomos de nterpolcón de grdo,, y 4. b) bendo que f(.5) =.5877, con qué polnomo se h obtendo l mejor promcón? olucón ) Polnomo de nterpolcón de grdo: p Como.5 se encuentr entre los nodos y, utlzmos éstos pr l nterpolcón lnel: >> formt long >> =[..6]; >> y=[ ]; >> p=polyft(,y,) p = >> polyvl(p,.5) ns =.5968 Polnomo de nterpolcón de grdo. Con los nodos, y : p >> =[..6]; >> y=[ ]; >> p=polyft(,y,) p = >> polyvl(p,.5) ns = Con los nodos, y : pb >> =[..6.9]; >> y=[ ]; >> pb=polyft(,y,) Pb = >> polyvl(pb,.5) ns = Polnomo de nterpolcón de grdo. Con los nodos,, y : p >> =[..6.9]; >> y=[ ]; >> p=polyft(,y,) P = >> polyvl(p,.5) ns = Polnomo de nterpolcón de grdo. Con los nodos,, y 4: pb >> =[..6.9.]; >> y=[ ]; >> pb=polyft(,y,) Pb = U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

24 >> polyvl(pb,.5) ns = Interpolcón Polnómc Polnomo de nterpolcón de grdo 4: p4 >> =[..6.9.]; >> y=[ ]; >> p4=polyft(,y,4) = >> polyvl(p6,.5) ns = b) bendo que f(.5) =.5877, los errores reles cometdos hn sdo: Con p: >> bs( ) ns =.797 Con p: >> bs( ) ns = e-4 = Con pb: >> bs( ) ns = 5.45e-4 =.54 Con p: >> bs( ) ns = e-5 = Con pb: >> bs( ) ns = e-6 = Con p4: >> bs( ) ns = e-6 = Por tnto, l mejor promcón es pb(.5) con el polnomo de grdo. no se huber conocdo el vlor rel de f(.5), se huber ceptdo p4(.5) como mejor promcón. U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 4

25 Interpolcón Polnómc 8.- Dd l tbl de vlores sguente, correspondente l funcón f() = tg (): 4 4 y - d) Clculr el correspondente polnomo de nterpolcón, plcndo l defncón. e) Clculr mno el polnomo de Newton con l fórmul de ls dferencs dvdds. f) Interpolr el vlor de f en 8. olucón: ) Al tener nodos, el polnomo de nterpolcón será de grdo y h de psr por los tres puntos: P P P P Por tnto, pr hllr los coefcentes del polnomo, hy que resolver el sstem: P Comprobcón con Mtlb: >> =[-p/4 p/4]; >> y=[- ]; >>p= polyft(,y,) ns =.7 b) Fórmul de ls dferencs dvdds de Newton:,,, P f f f U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 5

26 Interpolcón Polnómc f( ) Df. Dv. de orden Df. Dv. de orden = f [ ] = - 4 f[, ] f[ ] f[ ] 4 π f[, ] f[, ] = f [ ] = f[,, ] f[, ] f[ ] f[ ] 4 = 4 f [ ] = P 4 4 π Luego, - 4 c) P 8 8 Con Mtlb: >> p=polyft(,y,); >> polyvl(p,p/8) ns =.5 U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 6

27 Interpolcón Polnómc 9.- Pr l funcón f() = tg (), se consder l tbl de vlores: y - d) Hllr el polnomo de nterpolcón correspondente estos dtos. e) Interpolr estos puntos mednte un splne cúbco cuy dervd prmer en los etremos concd con l dervd prmer de l funcón. f) Hllr el splne que ps por dchos puntos y tene dervd tercer en los nodos y (es decr, ls dos prmers pezs del splne son el msmo polnomo, l 4 4 gul que ls dos últms). olucón: ) Polnomo de nterpolcón de grdo 6 (puesto que hy 7 nodos): >> =[-p/ -p/4 -p/6 p/6 p/4 p/]; >> y=[-sqrt() - -(sqrt())/ (sqrt())/ (sqrt())]; >> p=polyft(,y,6) p = Luego, el polnomo de nterpolcón es: p ()= b) e trt de un splne completo: f '( ) tg ' f '( ) 4 cos ( ) cos f '( ) 4 cos ( ) >> sc=splne(,[4 y 4]) sc = form: 'pp' breks: [ ] coefs: [64 double] peces: 6 order: 4 dm: >> sc.coefs ns = U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 7

28 Luego, el splne completo es: Interpolcón Polnómc ,, ,, ,, ,, ,, ,, c) e pde el splne no nodo: >> sn=splne(,y) sn = form: 'pp' breks: [ ] coefs: [64 double] peces: 6 order: 4 dm: >> sn.coefs ns = U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 8

29 Luego, el splne no nodo es: Interpolcón Polnómc ,, ,, ,, ,, ,, ,, U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos 9

30 .- Pr l tbl de vlores: Interpolcón Polnómc y ) Hllr el polnomo de nterpolcón. b) Hllr un splne no nodo pr estos dtos. c) Dbujr los dos polnomos en l msm ventn de dbujo. Comentr el resultdo. olucón: ) Polnomo de nterpolcón de grdo 9 (puesto que hy nodos): >> =[:]; >> y=[ ]; >> p=polyft(,y,9) Wrnng: Polynoml s bdly condtoned. Add ponts wth dstnct X vlues, reduce the degree of the polynoml, or try centerng nd sclng s descrbed n HELP POLYFIT. > In polyft t 75 p =.e+4 * Luego, el polnomo de nterpolcón es: p ()= b) plne no nodo: >> sn=splne(,y) sn = form: 'pp' breks: [ ] coefs: [94 double] peces: 9 order: 4 dm: >> sn.coefs ns = U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

31 Interpolcón Polnómc Los coefcentes nterores de cd trmo del splne, son coefcentes de ls potencs de (- ), =,, 8. Escrbmos, por ejemplo, el prmero de ellos: ,, c) Gráfcs en l msm ventn: >> =[:.:]; >> yy=polyvl(p,); >> plot(,yy) >> hold on >> plot(,y,'*') >> zz=ppvl(sn,); >> plot(,zz,'--') Con el splne se hn evtdo ls fluctucones del polnomo de nterpolcón que se producín debdo l grdo elevdo del polnomo, sobre todo en los subntervlos de los etremos. U. D. de Mtemátcs de l ETITGC Asgntur: Métodos Mtemátcos

32 plne en t < t <... < t n, n+ puntos (denomndos nodos) y k un número nturl. Un funcón splne de grdo k con nodos t, t,..., t n es un funcón que stsfce ls sguentes condcones: ) en cd ntervlo [t -, t ], es un polnomo de grdo menor o gul k, b) tene un dervd de orden (k-) contnu en [t, t ] Por consguente es un polnomo contnuo trozos de grdo lo sumo k, que tene dervds contnus hst el orden k-. Nodo Cd vlor de l bscs de los puntos usdos en nterpolcón. Interpolcón Obtencón del vlor promdo de un mgntud o un funcón en un ntervlo cundo se conocen lgunos de los vlores que tom uno y otro ldo de dcho ntervlo. Polnomo nterpoldor de Lgrnge Ddos,,..., n números reles dstntos entre sí, y vlores rbtrros y, y,..., y n, este un únco polnomo P() de grdo menor o gul que n tl que P( ) = y ( =,..., n). Interpolcón de Newton Al Polnomo de Lgrnge obtendo por Dferencs dvdds se le conoce con el nombre de fórmul de dferencs dvdds nterpolnte de Newton. n P ( ) f( ) f[,,..., ]( )( )...( ) n k k k endo ls Dferencs dvdds f [, k] f[, k ] f[,,..., k ] Interpolcón de Hermte e un funcón, f, con dervd contnu en [, b] y s,,..., n son vlores dstntos del ntervlo [,b], este un únco polnomo de grdo lo sumo n+, y se denot H n+ (), tl que: H n+ ( ) = f( ), H n+ ( ) = f ( ), =,..., n. H n+ () es el polnomo de Hermte de grdo n+. k

33 Mtrces trdgonles En dverss plccones nos encontrmos con sstems A=z donde A es cudrd y sus elementos son todos nulos ecepto los de l dgonl prncpl y lguns de ls prlels dch dgonl. Ests mtrces se denomnn mtrces bnd. Un cso prtculr de mtrces bnd son ls mtrces trdgonles. e llm mtrz trdgonl ls mtrces de l form sguente: A n, n n, n n, n n, n Pr este tpo de mtrces hy lgortmos de fctorzcón que smplfcn el número de opercones relzr, provechndo l grn cntdd de ceros que precen sguendo ptrones regulres. Estos métodos son preferbles frente los que no tenen en cuent l trdgonldd de l mtrz.