APÉNDICE: VECTORES, CINEMÁTICA Y DINÁMICA

Transcripción

1 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc APÉNDICE: VECTORES, CINEMÁTICA DINÁMICA 1) Álger vectorl. En Físc esten mgntudes de crácter vectorl, velocdd, fuer, celercón, etc.), es decr, que h que especfcr pr que queden perfectmente determnds tnto su vlor, como hc dónde, por tnto, deemos ser operr correctmente con ells. Gráfcmente se representn por segmentos orentdos flechs). Sum de vectores. Se defne l sum de dos vectores, como el vector que se otene l relr l sguente composcón gráfc: Sen los vectores : L sum es: Se puede ver fáclmente que l sum gráfc de vectores se puede relr tmén, ponendo un vector contnucón del otro: S tenemos que sumr más de dos vectores de mner gráfc, es más cómodo de est segund form. Así, s tenemos por eemplo cutro vectores, l sum gráfc se rel de l sguente form: c d c d c Es fácl compror que l sum es conmuttv: Qué sgnfcdo tene l sum de dos mgntudes vectorles? Sólo tene sentdo l sum de mgntudes del msmo tpo. Es decr, no se puede sumr velocddes con fuers, por eemplo. Sólo se pueden sumr velocddes con velocddes, fuers con fuers, etc. El resultdo es otro vector de l msm mgntud que nos dce el vector de est mgntud cundo ctún sore un msmo cuerpo vrs mgntudes vectorles de este tpo l ve. 1

2 Producto de un esclr por un vector. Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc El resultdo es otro vector en l msm dreccón, pero que su módulo se ve multplcdo por el esclr. S el esclr es postvo, entonces el resultdo tene el msmo sentdo que el vector, pero s es negtvo, el sentdo es el opuesto. Se el vector : los esclres: 0 q 0 Entonces: q S el esclr es cero, entones el vector otendo será el nulo; 0. El sgnfcdo de est opercón es ovmente l sum de un determndo número de veces de un mgntud vectorl. Rest o dferenccón de vectores. L opercón es totlmente equvlente ), por tnto, pr restr dos vectores, deeremos multplcr por -1 el sustrendo, sumárselo l mnuendo. sendo el vector:. Por tnto: Tmén se puede relr l rest de vectores gráfcmente de l sguente form: Est opercón h que entenderl como un sum. Descomposcón rectngulr de un vector. S fmos un sstem de referenc con sus ees perpendculres entre sí, defnmos unos vectores untros en l dreccón de cd uno de los ees, podemos epresr los vectores como sum de vectores en cd un de ls dreccones de los ees. Se llmn versores los vectores untros en cd ee. S trmos en dos dmensones tendremos:

3 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc Por tnto: respectvmente. A sstem de referenc que hemos tomdo. î. Donde son los módulos de los vectores se les llmn coordends del vector respecto del Aplcndo el Teorem de Ptágors se tene que el módulo del vector cumple:. ĵ A cos cos, se les llm cosenos drectores del vector respecto del sstem de referenc que hemos tomdo. Se puede oservr que cos, que cos. S trmos en tres dmensones, el desrrollo es totlmente nálogo: Z î ĵ El ángulo que form el ee con el vector se llm, el que form el vector con el ee se llm, el que form con el ee Z se llm. Se cumple tmén que: donde,, son ls coordends del vector con respecto l sstem de referenc fdo. S el sstem de referenc fuese otro, ls coordends del msmo vector tomrín otros vlores. es: Tmén se cumple plcndo el T. de Ptágors en tres dmensones que el módulo. Los cosenos drectores son: cos, cos, cos Al poder descomponer culquer vector en sus componentes rectngulres, que son esclres, poslt el operr de un mner más cómod, puesto que no es gráfc, sno nlítc. Es fácl compror que hor podremos operr de l sguente form s conocemos ls coordends de los vectores: Sen los vectores: ; ; el esclr, podremos operr de l sguente mner: 3

4 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc 4 Sum: ) ) ) Rest: ) ) ) Producto de un esclr por un vector: Producto esclr. Se defne el producto esclr de dos vectores como:, cos, donde, represent el ángulo que formn los vectores. El resultdo de est opercón es un esclr. Pr ver un nterpretcón del sgnfcdo de est opercón, relcemos el producto esclr de un vector culquer por un vector untro û en un dreccón culquer. ),, cos u pro u u. Por tnto, este producto esclr nos d l proeccón del vector sore l rect que defne el vector untro û. Cundo el producto esclr se relce entre dos vectores culesquer, otendremos l proeccón de un vector sore l rect que defne el otro vector, multplcdo por el módulo de este últmo vector. Puesto que est opercón es conmuttv,, est vsón del producto esclr es ndependente de qué vector consderemos prmero cuál el segundo. Así: )),. )),. rect pro rect pro El producto esclr de dos vectores perpendculres entre sí, es cero, puesto que 0 cos90 0. Es decr, l proeccón de un vector sore un rect perpendculr él, es evdentemente cero. Puesto que pr el producto esclr hemos dcho que se cumple l propedd conmuttv,, tmén l dstrutv, c c ), se puede demostrr que s conocemos ls coordends de los dos vectores, el producto esclr de ellos dos se puede relr:. En efecto, s,, entonces: ) ) Al relr todos los productos crudos sólo nos quedrá:, puesto que se nuln el resto de térmnos l trtrse del producto esclr de vectores perpendculres entre sí. Por últmo los productos 1 puesto que se trt del producto esclr de dos vectores untros prlelos 1 0 cos 0 ). û ), u pro

5 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc Producto vectorl de dos vectores. El resultdo de est opercón se defne como un vector perpendculr l plno que defnen los dos vectores, en el sentdo de l regl del sccorchos l llevr el vector hc, cuo módulo es: sen,. Regl del sccorchos: Es fácl ronr que:,,, 0. Est opercón cumple l propedd ntconmuttv, ) l dstrutv, c) c. Conocendo ls coordends de, plcndo ls propeddes nterores, se puede demostrr que: El producto vectorl de dos vectores prlelos o ntprlelos es cero, puesto que 0 0 sen 0 sen El vlor del módulo del producto vectorl de los vectores, es gul tmén l áre del prlelogrmo que defnen estos dos vectores. ) Cnemátc.. sen sen sen AREA Es l prte de l Físc que estud el movmento sn preocuprse por ls cuss que lo orgn. Este estudo sólo tendrá en cuent l cnemátc del punto mterl. Consdermos que tenemos un punto mterl cundo ls dmensones de éste son nsgnfcntes en comprcón con ls dstncs que recorre. Está clro que esto es un promcón de l reldd, pero que se lleg de est form resultdos práctcmente correctos cundo podmos hcer est promcón. En los csos en los que no se puede hcer est promcón, estremos en el cso de cuerpos etensos que prte de trsldrse, pueden grr, o de cuerpos que están formdos por vros puntos mterles 5

6 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc seprdos unos de otros. En estos csos, los cálculos se complcn consderlemente, no se trtn este nvel. Movmento. El concepto de movmento es reltvo, es decr, lgo está en movmento respecto de otr cos, s su poscón reltv del prmero con respecto l segundo v cmndo. Entonces, pr poder descrr el movmento de un punto mterl es necesro fr un sstem de referenc desde el cul se puedn estudr ls poscones reltvs del punto mterl con respecto este sstem de referenc. El sstem de referenc es totlmente rtrro, unque l descrpcón del movmento depende del sstem de referenc que hmos tomdo. El sstem de referenc, puede estr locldo encm de otro cuerpo, o donde no h nd. Puesto que el espco físco que nosotros percmos por donde un cuerpo puede moverse es trdmensonl, utlremos pr el estudo del movmento un sstem de referenc trdmensonl cuos ees sen perpendculres entre sí. Z O S el movmento de un punto mterl tuver lugr en un plno, podrímos utlr un sstem de referenc de dos dmensones studo en el plno, pudendo omtr uno de los ees. Análogmente s el movmento tene lugr en un sol dmensón. Vmos defnr un sstem de referenc nercl como quel sstem de referenc que está en reposo o tene un movmento rectlíneo unforme. En cso contrro, el sstem de referenc se llm no nercl. Vector de poscón. Pr determnr l poscón de un punto mterl P, con respecto un sstem de referenc se utl un vector de orgen en O fnl en el punto. A este vector, se le llm vector de poscón. Es evdente que el vector de poscón será dstnto s tommos otro sstem de referenc dstnto. Z r P / r O Z O S el punto mterl está en movmento con respecto l sstem de referenc, el vector de poscón será un vector que rá cmndo de mner contnu lo lrgo del 6

7 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc tempo. Se llm ecucón vectorl del movmento de un punto mterl con respecto un sstem de referenc, l vector de poscón escrto en funcón del tempo. Serí de l form: r, donde,, son funcones contnus del tempo. Puede ocurrr perfectmente que un punto mterl esté en movmento con respecto un sstem de referenc, que sn emrgo esté en reposo con respecto otro. Pr que ocurr esto, está clro que un sstem de referenc deerá estr en movmento con respecto l otro. Se llm trector l lugr geométrco del espco que v recorrendo el etremo fnl del vector de poscón lo lrgo del tempo. Trector Z O r r r t / ) En el esquem, r t / ) represent el vector de poscón en un certo nstnte posteror l vector deposcón r /, es decr, t t. r es el vector desplmento entre esos dos nstntes. Se llm desplmento entre dos nstntes de tempo, l módulo del vector desplmento; l r. Está clro que no tene por qué concdr el desplmento con el espco rel que recorre el móvl. S se conoce l trector de un móvl, el movmento puede quedr perfectmente especfcdo s fmos en culquer punto de l trector un punto de referenc e ndcmos l poscón que ocup el cuerpo lo lrgo del tempo mednte un funcón del tempo, s se hce de est mner l funcón l se le llm ecucón ntrínsec del espco. Velocdd med. r r t / ) r Se defne l velocdd med entre dos nstntes de tempo como: r V m t Se trt de un vector con l msm dreccón sentdo que r, es decr, nos nform hc dónde se h producdo el cmo del vector de poscón. el módulo nos nform de lo rápdo o lento que el móvl h cmdo de poscón entre dos nstntes de tempo. S m trmos en el S.I., l undd de l velocdd es el metro por segundo). s 7

8 Velocdd nstntáne. Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc Se puede defnr l velocdd nstntáne de un móvl en un certo nstnte, clculndo l velocdd med desde este nstnte hst otro nfntmente prómo: r dr V lm t 0 t L guldd nteror es precsmente l defncón de dervd. Se trt de un vector tngente l trector con el sentdo de movmento del cuerpo, cuo módulo nform de lo rápdo o lento que el móvl tene tendenc cmr su poscón en un determndo nstnte. Celerdd. Se defne l celerdd med como: Donde C m l t l represent el desplmento lo lrgo de l trector. L celerdd es un esclr postvo, que nos nform de lo rápdo o lento que el móvl se h despldo entre dos nstntes de tempo. Análogmente, se defne l celerdd nstntáne como: l C lm t 0 t Es un celerdd med pr un ncremento de tempo nfntesml, en el que el móvl se h despldo un desplmento nfntesml dl. Nos nform de lo rápdo o lento que el móvl se despl en un certo nstnte. Aplcndo l regl de l cden podemos demostrr lo sguente: dr dl dr V Cv dl dr Puesto que v, se entendo que v se un vector untro módulo uno), que dl dl dr, que punt hc donde lo hce dr, es decr, hc l dreccón l que se mueve el cuerpo. Z O r r t / ) v dl dr r t / ) r, v es prlelo dr dr v 8

9 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc Hemos otendo que el vector velocdd nstntáne tene como módulo l celerdd nstntáne, V C, l dreccón sentdo de v, es decr, tngente l trector sentdo el del movmento del cuerpo. S conocemos r, podemos clculr V, que será otr funcón del tempo que nos permtrá clculr l velocdd nstntáne en culquer nstnte de tempo. dr d d d V Se otene un epresón del tpo: V V V V cuo módulo o celerdd es Acelercón. V Z V V V VZ t Estudemos hor un nuev mgntud, l celercón. Pr ello consderremos un móvl que en un determndo nstnte de tempo t se encuentr en un punto de l trector, que en un nstnte posteror t / está en otro punto de l trector. ) Z O V r r r t / ) V t / ) S representmos en un sstem de referenc prte los vectores velocdd hodógrf), podemos ver más clrmente el cmo sufrdo por el vector velocdd entre estos dos nstntes. V es el cmo que eperment l velocdd entre estos dos nstntes de tempo. Se defne l celercón med como: Z V t / ) V V m V t V V t / ) V 9

10 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc Por tnto, es un vector con l dreccón sentdo de V, cuo módulo nform de lo rápdo o lento que cm l velocdd ente estos dos nstntes de tempo. Su undd en el S.I. es el m / s. Análogmente que como hcímos con l velocdd, se puede defnr l celercón nstntáne como: V dv d r lm t0 t Sendo éste un vector de gul dreccón sentdo que dv, cuo módulo nos dce lo rápdo o lento que tene tendenc cmr l velocdd. En consecuenc, l celercón es tmén un funcón del tempo que se clculrá dervndo l velocdd o dervndo dos veces el vector de poscón con respecto l tempo. dv dv dv t ) dv d d d Se otene un epresón del tpo: S un móvl llev celercón cero, sgnfc que su velocdd no cm, en cso contrro, es decr, que l celercón se dstnt de cero, entonces l velocdd cm. Puesto que l velocdd es un vector, puede cmr porque celere o frene, o porque curve, o por ms coss. Este es el motvo por el cul l celercón se suele descomponer en sum de dos vectores perpendculres entre sí, es lo que se llm descomposcón ntrínsec de l celercón. A uno de los sumndos se le llm celercón tngencl, es l responsle de que el cuerpo celere o frene. l otr se le llm celercón norml o centrípet, que es l responsle de que el cuerpo curve. Vmos demostrrlo, pr ello, clculremos l celercón de un cuerpo utlndo que V Vv. Operemos de l sguente mner: dv d Vv) dv Z dv v V Por tnto, el vector celercón se puede descomponer en sum de dos vectores, uno de ellos es llmdo celercón tngencl: dv t v Que es un vector en l dreccón de v, es decr, prlelo l vector velocdd. cuo módulo es gul l vrcón por undd de tempo que eperment el módulo de l velocdd. En consecuenc, s l celerdd del movmento no cm, entonces 0. dv El otro sumndo, es l celercón norml o centrípet, que tene l dreccón de. Vmos ver que este vector es perpendculr v, por tnto, demostrremos que l celercón centrípet l tngencl son perpendculres entre sí. Semos que: v v v 1, dervndo otenemos: t 10

11 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc dv v 0 dv Esto quere decr que el vector untro v, el vector son perpendculres entre sí, es decr, l celercón tngencl centrípet son perpendculres entre sí. Pr determnr cuánto vle el módulo de l celercón centrípet, h que determnr el dv módulo del vector. Pr ello, duemos el vector v en dos nstntes de tempo nfntmente prómos. S dumos estos dos vectores lo lrgo de su trector, trmos uns rects perpendculres ellos, ls dos se cortn en el centro de curvtur, cuo rdo es R. Del duo se otene que l longtud del rco es: dl R d. v dl R v R d v t / ) d v d v t / ) Puesto que los vectores son perpendculres l rdo del rco, vemos en el segundo duo, que el ángulo que este entre ellos es tmén d. s prommos d v con l longtud del rco, que pr el cso de un ángulo nfntesml es certo), podemos escrr: dv v d 1 d d Por tnto: dl R dv, o lo que es lo msmo: dv dl V 1 R R. Entonces podemos escrr que: n V n R Donde n es un vector untro perpendculr l trector en todo momento, cuo sentdo es puntndo hc l prte nteror de l curv, puesto que vemos que dv punt hc el nteror de l curv. Por tnto, tenemos descompuest l celercón en lo que se llm sus componentes ntrínsecs: t n dv V v n R 11

12 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc t V n Se cumple el Teorem de Ptágors. t n Aplccones práctcs. MRU El cso más smple de movmento, es el movmento rectlíneo unforme. En este cso, l trector es un líne rect, el móvl sempre se mueve con l msm velocdd, V cte ). Por tnto, no h celercón, 0 ). S colocmos el sstem de referenc con orgen en un punto de l trector, uno de sus ees concdendo con l trector, podemos estudr este movmento olvdándonos del crácter vectorl de ls dl mgntudes que ntervenen. Así de V, otenemos l únc ecucón que necestremos: l l 0 Vt Nos d l poscón del móvl en funcón del tempo. MRUA En el movmento rectlíneo unformemente celerdo, el cuerpo se mueve tmén en un líne rect, pero l velocdd no es constnte, sno que está fectd por un celercón tngencl constnte que hce que el módulo de l velocdd v vrndo de form lnel. Puesto que el móvl no curv, l celercón norml es cero. S colocmos el sstem de referenc como en el cso nteror, nos podemos olvdr del crácter dv dl vectorl de ls mgntudes que ntervenen, utlndo: t, V, otenemos ls ecucones necesrs: Donde en ve de poner 0 ). n l 1 t l 0 V 0 t ; V V0 t t se h puesto dedo que concden en este cso Tro prólco En el movmento de tpo tro prólco, el móvl está fectdo por un celercón constnte perpendculr l suelo puntndo hc o. Est celercón es l de l grvedd, que en el cso de estr en l Terr cerc del suelo, su módulo es 1

13 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc m promdmente g 9.8 s. En el tro prólco, el cuerpo tene un velocdd ncl que no es prlel est celercón. En ests condcones, el cuerpo no se mueve por un líne rect, sno que lo hce en un práol contend en un plno perpendculr l suelo. Luego es mprescndle trr con vectores, o con sus coordends. S colocmos un sstem de referenc como el del duo sguente, podremos descomponer el movmento prólco en dos movmentos: uno horontl que es un movmento unforme, puesto que no está fectdo de nngun celercón otro vertcl, que es unformemente celerdo, puesto que está sometdo un celercón constnte. Por tnto, tendremos que trr con: con: 1 t 0 V t pr el movmento horontl 0 V 0 t, su dervd, V V t 0 pr el movmento vertcl Según hemos estlecdo nuestro sstem de referenc, deeremos tomr m decr, 9.8 Así ls ecucones nos quedn: s g, es 1 gt 0 V 0 t ; V V 0 gt V V 1 V 0 g g V 3 ĵ V 0 g î V 0 V L velocdd en el ee no cm, es gul l ncl, mentrs que l velocdd en el ee sí cm puesto que h un celercón en es dreccón. Trgonométrcmente se ve que V cos, que V sen 0 V 0 V 0 0 Este cso es un eemplo típco de que un cuerpo no tene por qué moverse en l dreccón de l celercón. L celercón v curvndo poco poco l vector velocdd hc donde ell punt. S el movmento durr lo sufcente, l fnl l velocdd puntrí hc l msm dreccón sentdo que l celercón. 3) Dnámc. 13

14 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc Es l prte de l Físc que estud ls cuss que orgnn movmentos. L Dnámc está sd en tres lees que enuncó Newton. Ests tres lees de Newton sólo son certs pr un sstem de referenc nercl, es decr, en reposo, o con MRU. 1ª. Le de nerc. S sore un cuerpo no ctú nngun fuer, o sí ctún pero l resultnte de tods ells es cero, entonces este cuerpo está en reposo o con MRU. Esto vene decr, que el estdo nturl de los cuerpos usenc de fuers) es estr en reposo o en MRU. Es decr, s en el espco, mu leos de culquer stro, soltmos un cuerpo un determnd velocdd, éste tene tendenc contnur con l msm velocdd en líne rect, s lo soltmos en reposo, tende quedrse en reposo. A veces nos cuest mucho entender est le porque estmos costumrdos oservr sore l superfce terrestre. En este cso, s soltmos un cuerpo en el re no contnú con l msm velocdd puesto que sí este un fuer, que es l de trccón de l Terr. Tmén vemos que s lnmos un cuerpo deslndo por el suelo, éste se pr, pero quí tmén esten fuers dedo l romento. ª. Le fundmentl de l Dnámc. S sore un cuerpo ctún fuers, l resultnte de tods ells produce un cmo en el momento lnel o cntdd de movmento) que vene ddo por l epresón: dp F H que recordr que un dervd de un funcón respecto de un vrle, ndc l velocdd con l que cm est funcón l r vrndo l vrle. Por tnto, l fuer se puede nterpretr como un medd de l velocdd de cmo del momento lnel. Pero tenendo en cuent que es precsmente l fuer l responsle del cmo del momento lnel. L nterpretcón que h que scr de l segund le de l Dnámc, es que s sore un cuerpo ctú un fuer, ést lo que hce es cmr su momento lnel. Cunto más grnde se l fuer, más rápdmente producrá el cmo. S no huer fuers o l resultnte fuese nul F dp 0), entonces 0, esto sólo ocurre cundo P cte. Es decr, no hrí cmo de P. S recordmos que P mv, s consdermos que el cuerpo no cm su ms, entonces en este cso V cte. Lo que quere decr que el cuerpo se mueve con MRU o que está prdo. Hemos otendo lo que nos decí l prmer le. Se conoce como el prncpo de conservcón de l cntdd de movmento est conclusón: s sore un cuerpo o un sstem de vros cuerpos, F 0, entonces P cte. S susttumos P mv en l epresón de l segund le, s consdermos que el dp d mv ) dv cuerpo no cm su ms, entonces F m m, que es l ecucón que se hí estuddo en ños nterores. Pero hor podemos ver que F m sólo es 14

15 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc cert cundo m cte. En este cso prtculr, scmos l conclusón de que un fuer que ctú sore un cuerpo cu ms no cme, lo que produce es un celercón en l dreccón sentdo de l fuer, cuo módulo será proporconl l fuer, e F nversmente proporconl l ms ). m Vemos que cuánto mor es l ms de un cuerpo l plcrle un determnd fuer, menor será l celercón que dquere. Esto nos d entender el sgnfcdo de ms. L ms es un medd de l nerc de un cuerpo, es decr, cunto mor se l ms de un cuerpo más dfcultd tendremos pr cmrlo de su estdo de movmento celerrlo). 3ª. Le de ccón reccón. S dos cuerpos nterctún entre sí, entonces ls fuers que se plcn el uno sore el otro son gules en módulo, en dreccón, pero de sentdo contrro. Esto quere decr que s un cuerpo 1 plc un fuer un cuerpo, entonces, el cuerpo plc otr fuer sore el 1, que es gul en módulo, dreccón, pero hc el otro sentdo. Es decr: F 1 F 1 F F Ests dos fuers no se nuln entre sí puesto que no ctún sore el msmo cuerpo. Se dce que dos cuerpos nterctún cundo se eercen fuers mutus. No tene por qué estr contcto físco, puede que nterctúen con fuers lrg dstnc, como ocurre con ls fuers grvttors. Por eemplo, s un cñón plc un fuer un l pr que slg dsprd, l l eerce tmén l msm fuer sore el cñón. Esto es el retroceso del cñón en el dspro. El motvo por el cul el cñón no sle lndo rápdmente como l l, es que éste tene much más ms, por tnto, much más tendenc quedrse como est. S l Terr nos tre con un determnd fuer, entonces nosotros estmos trendo l Terr con l msm fuer. Aquí tmén está clro, que l celercón que nosotros producmos l Terr es nsgnfcnte en comprcón con l que ell nos produce. Est le nos d entender, que ls fuers en l nturle precen por pres. Mgntudes relconds. Recordemos lguns mgntudes que se utln en Físc. Momento lnel. hemos utldo el momento lnel o cntdd de movmento, defnd por P mv. Es un vector con l dreccón de l velocdd, que nos nform de l tendenc que tene un cuerpo pr segur movéndose con es velocdd. S un cuerpo tene un cntdd de movmento grnde, sgnfc que se mueve con muchs "gns", que s qusérmos frenrlo nos costrí mucho esfuero. Un cuerpo puede tener un cntdd 15

16 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc de movmento grnde porque v mu rápdo un l), porque teng much ms m un cmón) o por ms coss. L undd de est mgntud en el SI es Kg. s Momento de un fuer. Ddo un sstem de referenc un fuer plcd sore un cuerpo studo en un punto P culquer, se defne el momento de est fuer en el punto P respecto del orgen del sstem de referenc como: M r F. Por tnto, es un vector perpendculr l plno que defnen r F, con el sentdo según el ndcdo por l regl del sccorchos, cuo módulo es M rfsen r, F d. F, donde d se le llm el ro. Está clro que el vlor del momento depende de dónde coloquemos el sstem de referenc. m m L undd de est mgntud es m N m Kg Kg. s s O d r P F M Es un mgntud que nos nform s un fuer tene ntencón de hcer grr un cuerpo que está en P, entorno l punto O. Démonos cuent que M 0 cundo o en F 0, es decr que no h fuer, o en r 0, es decr que el cuerpo está en O, por tnto no puede grr lrededor de él, o en r F son vectores con l msm dreccón, por tnto, el cuerpo tene tendenc cercrse o lerse del punto O sn que gre el vector r. S el momento de un fuer es dstnto de cero, entonces, dch fuer "quere" hcer grr dcho cuerpo lrededor del punto O. Otr cos es que lo consg o no, esto dependerá de l estenc de otrs que ctúen tmén sore el cuerpo. Cuánto mor se el módulo del vector momento, mor será l tendenc que tene l fuer de hcer grr l cuerpo que está en P. Momento cnétco o ngulr. Ddo un sstem de referenc centrdo en O, un cuerpo studo en P que se mueve con un cntdd de movmento P, se defne el momento cnétco como L r P. Es un vector perpendculr l plno defndo por r P, con el sentdo ndcdo por l regl del sccorchos, cuo módulo es gul L rpsen r, P. Su undd es en m m el S.I. es m Kg Kg. Es un mgntud precd P, pero referd l gro. Es decr, s s est mgntud nos nform s un cuerpo de gr lrededor del punto O. Está clro que su vlor depende de dónde stuemos el punto O. L 0 cundo P 0, en cuo cso el cuerpo no se mueve, o en cundo r 0, luego el cuerpo no puede grr en tomo O 16

17 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc puesto que está studo sore el ee, o en cundo r P sen prlelos, en cuo cso, no h gro del vector r. S el momento cnétco es dstnto de cero, entonces, el cuerpo está descrendo un gro en tomo l orgen. No quere decr que dé vuelts lrededor, sno que el vector de poscón está epermentndo un gro l segur el cuerpo. Cunto mor se el módulo del vector momento cnétco ndc que con más "gns" está epermentndo el gro, de tl mner, que s qusérmos frenr el gro, nos costrí mucho esfuero. Vemos el prncpo de conservcón del momento cnétco. Vemos l vrcón del momento cnétco con el tempo: dl dr dp P r 0 r F M dr dp P 0 puesto que son dos vectores prlelos, F, que es l segund le de Newton. Hemos otendo pues: dl M Se puede nterpretr como l segund le de l Dnámc pero pr el gro. Luego M es un medd de l velocdd de cmo de L. Pr que pued cmr L, es necesro plcr un M, cunto mor se M, más rápdmente cmrá L. S M 0, entonces L cte. Es decr, s el momento de un fuer sore l prtícul respecto l sstem de referenc que hemos tomdo es cero, entonces L no cm, conserv su vlor lo lrgo del tempo. Impulso mecánco. S sore un cuerpo ctú un fuer F durnte un ntervlo de tempo mu pequeño, se defne el mpulso elementl de es fuer sore el cuerpo como d I F. S l fuer ctú durnte un ntervlo mor t, entonces el mpulso totl, es gul l sum de todos los mpulsos elementles, es decr I F. L undd del mpulso es: I N s m Kg s s m Kg s S nos cordmos de l segund le de Newton podemos determnr tmén que: F dp P P P. Por tnto, el mpulso es un vector que es gul l vrcón 0 que eperment el momento lnel en un determndo ntervlo de tempo. Fuers en mecánc. Vemos hor cuáles son ls fuers más cotdns. L fuer peso. 17

18 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc Es l fuer con l que el plnet donde estemos nos tre los cuerpos. En l superfce del plnet m g, donde g es l grvedd del plnet, que es un vector P eso perpendculr hc el suelo, el módulo depende de l ms del plnet, en l Terr g m tene un vlor de 9.8 s. Por tnto, el peso es un vector perpendculr l suelo hc o. Puesto que el vlor de g depende del plnet, el peso tmén cm s cmmos de plnet. L fuer norml. Imgnemos que tenemos un cuerpo podo sore el suelo. Semos que sore él ctú l fuer peso. S ést fuer l únc fuer que ctú sore el cuerpo, éste deerí celerr hc o según l segund le de Newton. Pero semos que esto no está ocurrendo. Luego dee estr otr fuer que nul l peso. Est fuer es l fuer norml que eerce l superfce sore el cuerpo. Por tnto, l fuer norml es l fuer que hcen ls superfces sólds pr mpedr que un cuerpo sóldo se cuele en ell cundo está podo. Es un fuer perpendculr l superfce de contcto. El orgen últmo de est fuer está en ls repulsones entre los electrones de los dos cuerpos. N o En este eemplo smple, se cumple que N Peso. Pero l fuer norml puede cmr s sore el cuerpo ctún más fuers. Por eemplo, s plcmos otr fuer l loque hc o, puesto que el loque sgue sn moverse, quere decr que l norml se hrá hecho más grnde. N P eso o F P eso Ahor se cumple que N F P. eso S huérmos trdo hc rr con un fuer nferor l peso, l norml hor se hrí más pequeñ, gul N F P N P F. eso N F o eso S vmos umentndo l fuer hc rr, cuándo emperemos elevrlo? Pues ustmente cundo dee de porse en el suelo, por tnto el suelo no le puede P eso 18

19 Grel Vllloos Profesor de Secundr de Físc empur entonces N 0, lo que quere decr que F Peso. Este es el punto crítco cundo empemos levntr el cuerpo. Tensón de un hlo. Imgnemos un cuerpo colgndo de un hlo. Sore él ctú l fuer peso. Puesto que el loque no se mueve, quere esto decr que el hlo está eercendo un fuer que nul el peso. Est fuer es l tensón. T o Pr este cso T Peso, pero l gul que con l fuer norml, este vlor puede cmr s plcmos más fuers. Fuer de romento. Es un fuer que se opone que un cuerpo deslce sore otro. Es ded ls mperfeccones de ls dos superfces que ron. Epermentlmente se h determndo que su vlor mámo vene ddo por l epresón Fr m en, donde e es el coefcente de romento estátco, su vlor depende del tpo de mterles que ntentn deslr del grdo de pulmento. L fuer de romento estátc no tene por qué tomr sempre su vlor mámo, sno que tomrá el vlor decudo menor o gul que el mámo) pr ntentr que el cuerpo no se muev. Este otro coefcentes de romento, el cnétco, c, que es el que se plc cundo ls superfces desln. Estos coefcentes se hn determndo epermentlmente pr dstnto tpo de superfces, se h comprodo que sempre se cumple que el estátco es mor o gul que el cnétco. Por eso, l empur un oeto, nos cuest más esfuero emper moverlo que mntenerlo en movmento. P eso 19