7. CONDENSADORES CON DIELÉCTRICO

Transcripción

1 7 ONDNSADORS ON DILÉTRIO PROBLMA 46 Dos condensdores de cpcddes gules se crgn en prlelo un dferenc de potencl mednte un terí A contnucón se desconect l terí y se ntroduce en uno de los condensdores un deléctrco de constnte que llen totlmente el espco entre sus plcs () lculr l dferenc de potencl fnl en los condensdores () lculr l crg trnsferd de un condensdor otro SOLUIÓN () Inclmente mos condensdores tenen gul cpctnc e gul dferenc de potencl entre sus plcs, por lo tnto mos condensdores tenen l msm crg q proceso L crg totl de mos condensdores es q y se mntene constnte durnte todo el Antes de ntroducr el deléctrco : q eq + Después de ntroducr el deléctrco : q eq + L dferenc de potencl fnl en los condensdores se otene de l expresón nteror, ntroducendo en ell el vlor de l crg q l resultdo es : + () Sen : l q l crg en el condensdor con deléctrco, y ll q l crg en el condensdor sn deléctrco 87

2 88 lectromgnetsmo Prolems y Solucones Por conservcón de l crg eléctrc en ls plcs superores (e nferores) conectds entre sí, se cumple que : l ll q + q q Puesto que los condensdores están conectdos en prlelo, se cumple que : l q ll q q l ll q ll ll ntonces : q + q q q ll q + Además, q l q q ll q + Puesto que >, se cumple que deléctrco l condensdor con deléctrco q l ll > q, es decr, ps crg del condensdor sn rg que ps l condensdor con deléctrco l q q q : l q q q q q q q q + + ( ) ( ) q q + + PROBLMA 47 Dos condensdores de cpcddes gules están conectdos en sere un terí de voltje n uno de ellos se ntroduce un mterl de coefcente deléctrco reltvo () Determnr l crg que crcul por l terí l ntroducr el deléctrco () lculr l energí cumuld ntes y después de ntroducr el deléctrco (c) Determnr el trjo relzdo por l terí l ntroducr el deléctrco (d) lculr el trjo que tendrí que efectur un gente externo pr scr l deléctrco

3 7 ondensdores con Deléctrco 89 SOLUIÓN () Se l cpcdd de cd condensdor L cpctnc equvlente ntes de ntroducr el deléctrco es : + eq eq Por lo tnto, l crg de cd condensdor ntes de ntroducr el deléctrco es : Al ntroducr el deléctrco en uno de los condensdores su nuev cpctnc será y l cpctnc equvlente después de ntroducr el deléctrco es : + + eq eq + L nuev crg en cd condensdor es : q + Al ntroducr el deléctrco, l crg en los condensdores ument Luego, l crg que crcul por l terí l ntroducr el deléctrco es : q + ( + ) q + () L energí cumuld en el sstem de los dos condensdores ntes de ntroducr el deléctrco es : U + ntonces; U 4

4 9 lectromgnetsmo Prolems y Solucones L energí cumuld después de ntroducr el deléctrco es : l q q U + l U (c) l trjo relzdo por l terí l ntroducr el deléctrco es : t, oltje de l terí crg trnsferd > + + t, l trjo relzdo por los gentes externos pr scr el deléctrco será gul l vrcón de energí del sstem formdo por los condensdores : + l U U U gext ts, Nótese que l terí es un elemento externo pr el sstem de los dos condensdores Al scr el deléctrco, por l terí crcul l msm crg eléctrc que l ntroducr el deléctrco, pero en sentdo contrro Luego, el trjo relzdo por l terí l scr el deléctrco es el negtvo del trjo relzdo por l terí l ntroducr el deléctrco: ts, t, l Luego : gext U U +, t gext + gext gext l resultdo nteror es postvo y sgnfc que el gente externo sc el deléctrco plcndo un fuerz en l dreccón del movmento sto ocurre porque el deléctrco es trído hc el nteror del condensdor

5 7 ondensdores con Deléctrco 9 PROBLMA 48 Un condensdor de plcs prlels de cpcdd, cuyo espco entre plcs está vcío, tene un crg ncl Se ntroduce un plc de deléctrco de constnte, que no llen totlmente el espco entre ls plcs, como se ndc en l fgur djunt onsderndo que el proceso ocurre crg constnte, determnr ntes y después de ntroducr el deléctrco : () L ntensdd del cmpo eléctrco en todo el espco entre ls plcs () L crg de polrzcón (c) L crg lre (d) L dferenc de potencl entre ls plcs conductors (e) L dferenc de potencl entre ls crs opuests del deléctrco (f) L cpcdd del condensdor (g) L energí potencl eléctrc SOLUIÓN ANTS de ntroducr el deléctrco : ε A L ( crg lre ) ( no hy crg de polrzcón ) P ε A ( cmpo entre dos plcs plns ) ( fuer de ls plcs ) F U ( energí potencl eléctrc )

6 9 lectromgnetsmo Prolems y Solucones DSPUÉS de ntroducr el deléctrco : () l cmpo dentro del deléctrco se deltrá en un fctor respecto del vlor en el vcío l cmpo en el espco vcío no se modfc ( por qué?) en el vcío dentro del deléctrco () L crg de polrzcón puede clculrse plcndo l ley de Guss un "cj de fósforos", cuys ses sen prlels ls plcs l flujo trvés de ls predes lterles es cero pues es perpendculr ds Luego : Φ ds A+ A, ses pero el flujo dee ser gul l crg net encerrd, dvdd por ε : P Φ ε n consecuenc, gulndo : P ( ) A ε, pero εa, de donde : P ( ), Puesto que, l expresón nteror ndc que l crg de polrzcón es sempre de sgno contrro l de l crg lre y de vlor soluto menor que el de l crg lre Oserve que l crg nducd por polrzcón es l msm cundo el deléctrco llen el espco entre ls plcs

7 7 ondensdores con Deléctrco 93 (c) L crg lre, por otr prte, no vrí durnte el proceso pues ls plcs conductors permnecen slds : ( ) ( L L) ntes después (d) L dferenc de potencl entre ls plcs conductors pueden clculrse mednte : ( + ) ( ) ( + ) d l, ( ) donde hy que consderr que el cmpo dentro del deléctrco es ( ) ( ( ) ) + + ε A ( ( ) ) + ( ) + ( ) st dferenc de potencl es menor que l del condensdor vcío, pero myor que l del msmo condensdor lleno con el deléctrco (Justfque est frmcón) (e) L dferenc de potencl entre ls crs opuests del deléctrco corresponde l tér- mno en l relcón encontrd pr totl l hcer l ntegrl Puede expresrse como : deléctrco

8 94 lectromgnetsmo Prolems y Solucones (f) L cpcdd del condensdor, por defncón, es el vlor soluto de l crg lre en cd plc, dvddo por l dferenc de potencl : L ε A ε A k k ( + ( )) + ( ) ( ) Puede precrse que el nuevo vlor de l cpcdd está comprenddo entre l cpcdd del condensdor vcío ( ) y l del condensdor lleno con deléctrco ( ) < < (g) L energí potencl eléctrc puede clculrse drectmente de : ( ) ( ) U L dferenc entre l energí fnl e ncl es: ( ) ( ) U U U ( ) U U L energí eléctrc dsmnuye, en otrs plrs, el condensdor dee hcer trjo postvo pr ntroducr el deléctrco sto sgnfc que el deléctrco es trído hc el nteror del condensdor, y el gente externo dee sujetrlo pr que se ntroduzc muy lentmente, hcendo trjo negtvo sore el condensdor

9 7 ondensdores con Deléctrco 95 PROBLMA 49 xmnr el proceso de ntroducr un deléctrco que llen prclmente el espco entre ls plcs de un condensdor, mntenendo l terí conectd durnte todo el proceso ( potencl constnte ) SOLUIÓN ANTS de ntroducr el deléctrco tenemos: L ε A P U DSPUÉS de ntroducr el deléctrco,, y que l terí permnece conectd Supongmos que el cmpo eléctrco en el espco vcío tenen hor mgntud, luego el cmpo dentro del deléctrco será, y dee cumplrse : es decr, ( ) ( ( ) ) + +, + ( ) ( ) Puesto que y <, se cumple que >

10 96 lectromgnetsmo Prolems y Solucones Por lo tnto el cmpo en el vcío dee umentr en mgntud pr compensr el deltmento producdo por el deléctrco y mntener constnte l dferenc de potencl L nuev crg lre puede clculrse plcndo ls ley de Guss un "cj de fósforos" que encerre un de ls plcs, como se ndc : Φ q ε enc L A ε L Aε ( ) Aε ( ) Se h encontrdo que el vlor soluto de l crg lre ument en l msm proporcón que el cmpo en el vcío; l terí trnsfere crg de un plc l otr pr mntener constnte l dferenc de potencl Pr l crg de polrzcón plcremos l ley de Guss un "cj de fósforos" que encerr un de ls crs del deléctrco Φ q ε enc A + A P P ε ( ) ε A Puesto que hemos encontrdo L Aε; lo nteror se escre como: P ( ) L

11 7 ondensdores con Deléctrco 97 L cpcdd de este condensdor es : L ( ) ( ) vdentemente result el msmo vlor otendo crg constnte, porque l cpcdd de un condensdor con deléctrco no depende del proceso mednte el cul se ntroduce el deléctrco L energí puede clculrse mednte : U U ( ) Notr que U > U, de modo que el cmo de energí lmcend entre ls plcs es postv : U U U U ( ) ( ) U U > + l umento en l energí potencl se dee l trjo neto hecho por el gente externo y por l terí que mntene constnte el potencl l trjo relzdo por l terí es : terí L ( L ) dq terí ( ) terí U U + ( )

12 98 lectromgnetsmo Prolems y Solucones prtr de l trjo efectudo por el gente externo pr ntroducr el deléctrco, se puede otener U + terí gente externo U U U U gente externo terí gente externo ( ) U < + l sgno negtvo del resultdo nteror ndc que el deléctrco es trído hc el nteror del condensdor PROBLMA 5 Ls plcs prlels de un condensdor plno se cercn l g superfce de un líqudo deléctrco hst quedr justo sore ell, como se muestr en l fgur Al cerrr el nterruptor, se conect un terí ls plcs, y el nvel del líqudo que está entre ells sue por efecto de l fuerz eléctrc Suponer que no hy efectos de tensón superfcl y que l vrcón de nvel del líqudo en el recpente es desprecle (excepto entre ls plcs) onsderr plcs cudrds de ldo y seprcón d entre ells, y líqudo de densdd ρ y constnte deléctrc Determnr l ltur que sue el líqudo entre ls plcs SOLUIÓN n el estdo de equlro que se lcnz con l terí plcd ls plcs, l porcón de líqudo que scende entre ells lcnz cert ltur y, de modo que son gules el peso del líqudo y l fuerz eléctrc

13 7 ondensdores con Deléctrco 99 Luego, Fy mg F y y + q q y mg líqudo los dtos, según : l peso del líqudo que scende entre ls plcs se puede expresr en térmnos de mg ρgdy L fuerz eléctrc puede otenerse prtr de l energí potencl eléctrc, usndo l relcón: F y du dy Pr escrr l energí potencl eléctrc U en térmnos de l vrle y, consdermos el condensdor plno como dos condensdores más pequeños, uno con el deléctrco ( ) y otro sn deléctrco ( ), mos sometdos l msm dferenc de potencl Inclmente tod l energí potencl está en l terí; fnlmente hy energí potencl entre ls plcs plns y l energí de l terí h dsmnudo en el vlor q, sendo q l mgntud de l crg que l terí h proporcondo cd plc ntonces, l energí potencl eléctrc es : U U + + q, donde U es l energí potencl ncl en l terí, ε y d, ε ( y) d y ( + ) q Al susttur ls relcones nterores en l expresón pr U se otene : U U ( + ) e Uy ( ) U - ( + ( -) y) d

14 lectromgnetsmo Prolems y Solucones Dervndo U(y) se otene l fuerz eléctrc : ε F ( ) d y Puesto que F y h resultdo postvo, hemos encontrdo que l fuerz eléctrc es en dreccón y, es decr, hc rr, como corresponde l efecto descrto en el enuncdo Además, h resultdo ndependente de y Usndo este resultdo en l ecucón de equlro de fuerzs descrt l comenzo, se otene l guldd : ε ρ gdy ( ) d, de donde result l ltur y que sue el líqudo Fnlmente, y ( ) ε ρgd l efecto consderdo en este ejercco es pequeño, como puede verfcrse usndo los vlores numércos sguentes : 3 3 ; ρ [kg/m ] ; 9 ε π 4 9 [N m /] g [m/s ] ; 3 3 d [m] ; [] n tles condcones, result : y,5 [mm]