Programación lineal. R x x x x. R x x x x. R x x x x. Donde las restricciones pueden estar dadas en términos de desigualdades o ecuaciones lineales.

Transcripción

1 Defncón. Todo proble de l for: Progrcón lnel. Optzr Z = 1 x1 + 2 x nxn dd l retrccone: R x, x, x,..., x ( n ) (,,,..., n ) (,,,..., ) R x x x x R x x x x n (PPL) (,,,..., ) R x x x x Donde l retrccone pueden etr dd en térno de deguldde o ecucone lnele. Ejeplo. Mxzr Z = 3x + y ujet l retrccone: + y 8 + 3y 12 x, y 0 En un proble de progrcón lnel e tene que: 1. L funcón optzr Z, e denon funcón objetvo. 2. L olucone del te de retrccone e denonn olucone fctble. 3. L olucón opt del proble de progrcón lnel, e quell olucón fctble que optz l funcón objetvo. 4. L condcón x1, x2,..., xn 0 en un proble de progrcón lnel e denon condcón de no negtvdd. n Defncón. L regón que tfce el te de retrccone de un proble de progrcón lnel e denon regón fctble, l cul denotreo por R. Un regón fctble e denon + cotd r R tl que: Donde B[ 0, ] R B[ 0, r] r e l bol cerrd de rdo r y centro en el orgen. Ejeplo. Condere el PPL: Mxzr Z = 3x + y ujet l retrccone: L regón fctble ocd l proble e: + y 8 + 3y 12 x, y 0 Profeor: Mguel Ángel Muñoz jr

2 2 {(, ) R } R = x y x + y x + y x y L cul e repreent geoétrcente por Teore. Se R l regón fctble ocd un proble de progrcón lnel, entonce R e cotd l olucón opt del proble de progrcón lnel e obtene en uno d elo vértce de l regón R. Ejeplo. Condere el PPL: Mxzr Z = 3x + y ujet l retrccone: + y 8 + 3y 12 x, y 0 L regón fctble e repreent geoétrcente por: Por lo tnto l olucón ópt e obtene en uno de lo guente punto: ( 0,0 ), ( 4,0 ), ( 3,2 ), ( 0,4) A = B = C = D = Oberve que l evlur l funcón objetvo en lo vértce de l regón e obtene x = 0, y = 0 Z = 0 x = 4, y = 0 Z = 12 x = 3, y = 2 Z = 11 x = 0, y = 4 Z = 4 Por lo tnto l olucón ópt e x = 4, y = 0. Por lo tnto el vlor áxo de Z e 12. Obervcone. Profeor: Mguel Ángel Muñoz jr

3 1. S l regón fctble ocd un proble de progrcón lnel e vcí, entonce el proble de progrcón lnel no dte olucón. 2. S l regón fctble ocd un proble de vlor ncl no e cotd y l funcón objetvo dte vlor opto, entonce ete vlor e obtene en uno de lo vértce de l regón. Ejeplo. Mnzr Z = 8x + 6y ujet l retrccone: x, y 0 3x + 2y 160 5x + 2y 200 x + 2y 80 Oberve que l regón fctble e repreent geoétrcente por De lo nteror e deduce que l regón no e cotd. Sn ebrgo evluo l funcón objetvo en lo vértce de l regón, e decr nlzo le vlor de l funcón objetvo en Se obtene: A = B = C = D = ( 80,0) ( 40,20) ( 20,50) ( 0,100) x = 80, y = 0 Z = 640 x = 40, y = 20 Z = 440 x = 20, y = 50 Z = 460 x = 0, y = 100 Z = 600 Por lo tnto l olucón ópt e x = 40, y = 20, de donde e obtene que el vlor opto de Z e S (, b),(, ) c d on do vértce de l regón fctble en lo cule Z e opt, entonce Z e opt en el egento de (, b)( c, d ). Profeor: Mguel Ángel Muñoz jr

4 Método Splex. El étodo Splex e un lgorto que perte reolver proble de progrcón lnel n tener que utlzr el étodo gráfco. Oberve que el étodo gráfco no e ópto l cntdd de vrble uent tre. De hecho el étodo gráfco no e puede utlzr l cntdd de vrble e yor o gul 4. En et eccón etudreo l reolucón de proble de progrcón lnel de l for: Mxzr Z = 1 x1 + 2 x nxn dd l retrccone: x + x + x x b n n 1 x + x + x x b n n 2 x + x + x x b n n 3 x + x + x x b n n x, x,..., x b, b,..., b n (PPLE) Lo cule e denonn proble de progrcón lnel etándr. El étodo Splex relz un ere de po recurvente pr deternr l olucón ópt del proble de progrcón lnel etándr. Lo po egur e detlln contnucón Po 1. Se ntroducen vrble, l cule e denonn vrble de holgur. L vrble de holgur on quell que perten trnforr l retrccone en ecucone. L vrble de holgur l denotreo por 1, 2,...,. x + x + x x + = b n n 1 1 x + x + x x + = b n n 2 2 x + x + x x + = b n n Po 2. Se nc el etudo de l olucón ópt conderndo un olucón bác fctble. Entendendo por olucón bác fctble quell que conder que n vrble on gule cero, l cule e denonn vrble no bác y que vrble no nul e denonn vrble bác. L olucón bác fctble con l cul e nc el etudo e: x = x =... = x = 0, = =... = = n 1 2 Po 3. Se contruye l tbl ncl de Splex. x 1 x n x n 1 z 2 b n b b n Z 1 2 n b Indcdore Profeor: Mguel Ángel Muñoz jr

5 Po 4. Anál de l olucón bác fctble. S todo lo ndcdore on no Negtvo, entonce el vlor Máxo de Z e cero co contrro e debe etudr l pobldd de contrur un nuev olucón bác fctble guendo l guente regl. 1. Se debe ncorporr un nuev vrble, l cul e elge egún el guente crtero. L vrble que entr e quell ocd l vlor del enor ndcdor. 2. Se debe elnr un vrble de l olucón bác fctble. Pr ello relce lo cuocente b k Donde k ndc l colun ocd l vrble que entr y k > 0. L vrble que le e quell ocd l enor vlor de lo cuocente relzdo. Obervcón. S en l colun ocd l vrble que entr no exten térno potvo, entonce e tene que l olucón del proble de progrcón lnel no e cotd. Po 5. Contruccón de un nuev olucón bác fctble. Mrque l entrd ocd l pocón de ntereccón entre l colun de l vrble que entr y l fl de l vrble que le. Luego relce opercone eleentle de ner en l pocón rcd, l cul denono pvote, pr que l colun en cuetón teng olo un entrd no nul gul 1 en l pocón del pvote. En el ldo zquerdo de l tbl reeplce l vrble que le por l vrble que entr Po 6. Vuelv l po 4. Ejeplo 1. Mxzr Z = + y ujeto : x 2y 4 3x + y 3 4x + 7y 42 Solucón. Prero e deben ntroducr tre vrble de holgur pr trnfor l necucone en ecucone. x 2y + = 4 3x + y + r = 3 4x + 7y + t = 42 Al conderr l olucón bác fctble tl que x = y = 0, e obtene l tbl: x y r t z b Cuocente No hy r /1=3 t /7=6 Z Indcdore Profeor: Mguel Ángel Muñoz jr

6 Oberve que de lo ndcdore el enor vlor e -1, por lo tnto l vrble que entr e l vrble y. Al relzr lo cuocente podeo obervr que l vrble que le e l vrble r. x y r t z b r t Z Pvote Al relzr opercone eleentle con nuetro pvote obteneo. x y r t z b Cuocente No hy y No hy t /25 Z Pvote Al nlzr l tbl e tene que entr e l vrble x, entr que l vrble que le e l vrble t. Aí l relzr opercone eleentle obteneo l tbl. x y r t z b /5 1/5 0 71/25 y /25 3/ /25 x /25 1/ /25 Z /25 1/ /25 Por lo tnto l olucón ópt del proble de progrcón lnel e: x =, y = Adeá e tene que el vlor áxo de z e Ejeplo 2. Mxzr W = 3x + y 4z ujeto : 3x + 2y + z 5 x + y z 8 + y + 3z 15 Al conderr l olucón bác fctble tl que x = y = z = 0, e obtene l tbl: x y Z r t W b cuocente /3 r /1=8 t /2 W Profeor: Mguel Ángel Muñoz jr

7 Oberve que de lo ndcdore el enor vlor e -3, por lo tnto l vrble que entr e l vrble x. Al relzr lo cuocente podeo obervr que l vrble que le e l vrble r. Aí l relzr opercone eleentle obteneo. x y Z r t W b x 1 2/3 1/3 1/ /3 r 0 1/3-4/3-1/ /3 t 0-1/3 7/3-2/ /3 W Por lo tnto el vlor opto de W e 5, el cul e obtenen x = 1, y = z = 0. Ejeplo 3. Mxzr W = x + 2y + 4z ujeto : 3x + 4y z 12 2y + z 4 x + y 1 Solucón. En ete proble no podeo plcr drectente el étodo plex. Y que l tercer retrccón no e jut un proble de progrcón lnel etándr. Pr reolver el proble en cuetón prero e deben ntroducr tre vrble de holgur y un vrble rtfcl pr obtener l ecucone: 3x + 4y z + r = 12 2y + z + = 4 x + y t + = 1 L vrble r,, t on de holgur, entr que l vrble e rtfcl. Poterorente e debe reforulr l funcón optzr por T = W M = x + 2y + 4z M Donde M e un contnte potv extredente grnde. Conderndo l olucón bác fctble x = y = t = 0, e obtene l tbl: x y Z r t T b r T M 1 0 Lentbleente et tbl no uetr el vlor de W, por lo tnto debeo relzr opercone eleentle con el pvote ocdo l vrble rtfcl Profeor: Mguel Ángel Muñoz jr

8 x y Z r t T b r T M 1 0 Al relzr opercone eleentle obteneo: x y z r t T b r T -1+M -2-M M 0 1 -M Ahor podeo plcr el étodo Splex. Oberve que de l tbl nteror e tene que l vrble que entr e l vrble y deá l relzr lo cuocente x y z r t T b cuocente r /4= No hy /1=1 T -1+M -2-M M 0 1 -M Obteneo que l vrble que le e l vrble rtfcl. Al pvoter obteneo x y Z r t T b r y T M Oberve que nuetr vrble rtfcl no nfluye en l olucón bác fctble, por ende podeo elnrl de l tbl obtenendo: x y Z r t W b Cocente r No hy /1=6 y No hy W Oberve que de l tbl nteror e tene que l vrble que entr e l vrble z y l vrble que le e l vrble. Aí l pvoter e obtene l tbl: Profeor: Mguel Ángel Muñoz jr

9 x y Z r t W b Cocente r /3 z No hy y No hy W Oberve que de l tbl nteror e deduce que l vrble que entr e l vrble x y l vrble que le e l vrble r. Aí l pvoter e obtene l tbl: x y z r t W b x /3 1/3 2/3 0 14/3 z /3 7/3 2/3 0 74/3 y /3 1/3-1/3 0 17/3 W /3 31/3 8/ /3 Por lo tnto l olucón ópt del proble de progrcón lnel e: x =, y =, z = Adeá e tene que el vlor áxo de W e Ejeplo 3. Mxzr H = + y + z w ujeto : x + 3y + 5z 10 x 2y 5z + w 5 x, y, z, w 0 Solucón. Pr reolver le proble en cuetón prero e deben ntroducr do vrble de holgur pr trnfor l retrccone en ecucone, obtenendo: x + 3y + 5z + r = 10 x 2y 5z + w + t = 5 Por lo tnto l tbl ncl de Splex, conderndo l olucón bác fctble x = y = z = w = 0 e: tl que x y z w r H b cuocente r /1= /1=5 H De l tbl nteror e tene que l vrble que entr e l vrble x, entr que l vrble que le e l vrble. l pvoter e obtene. Profeor: Mguel Ángel Muñoz jr