Sucesiones parte 5. a r = a m p < a. por lo tanto f es esctrictamente creciente Si 0 < a < 1, denimos f(r) = a r = 1 ( 1. = a.

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Gerardo Salazar Río
hace 6 años
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rte 5 Lem. Se >. L función f : Q R dd or f(r) = r es estrictmente creciente en Q y si 0 < <. L función f : Q R dd or f(r) = r es estrictmente decreciente en Q Demostrción. Suongmos que >. Se r < s Q.

Se tiene entonces que n m > n = m n m > m Como l función f(x) = x es estrictmente creciente en [0, + ) se tiene que ( m ) < ( n ) r = m < n or lo tnto f es esctrictmente creciente Si 0 < <, denimos

1 rte 5 Lem. Se >. L función f : Q R dd or f(r) = r es estrictmente creciente en Q y si 0 < <. L función f : Q R dd or f(r) = r es estrictmente decreciente en Q Demostrción. Suongmos que >. Se r < s Q. Entonces existen m, n Z y N tl que r = m y s = n con m < n. Se tiene entonces que n m > n = m n m > m Como l función f(x) = x es estrictmente creciente en [0, + ) se tiene que ( m ) < ( n ) r = m < n or lo tnto f es esctrictmente creciente Si 0 < <, denimos f(r) = r = ( ) r or lo que = s < < m, n Z y N, tl que r = m y s = n tl que ( ) n m ( ) > ( ) n = ( ) m ( ) n m > ( ) m Como l función f(x) = x es estrictmente creciente en [0, + ) se tiene que (( ) m ) < (( ) n ) ( )n < ( )m s = ( )n < ( )m = r or lo tnto f es esctrictmente decreciente Lem 2. Ddo un x R, existe un sucesión monoton decreciente (r n ) n N de números rcionles tl que r n = x Demostrción. Se x R, or l densidd de Q en R, existe r Q tl que x < r < x. Existe tmbién r 2 Q tl que. Existe tmbién r 3 Q tl que máx{x 2, r } < r 2 < x máx{x 3, r 2} < r 3 < x. Continundo este roceso Existe tmbién r k+ Q tl que máx{x k +, r k} < r k+ < x. Se tiene que or construcción, (r n ) n N es un sucesión de números rcionles estrictmente creciente que converge x. Fcultd de Ciencis UNAM Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz

2 Lem 3. Se y x R. Si (r n ) n N es un sucesión monoton creciente de números rcionles que convergen x, entonces ( rn ) n N converge Demostrción. Se y x R. Suongmos que r n = x Como f : Q R dd or f(r) = r es estrictmente creciente, entonces ( rn ) n N es monoton estrictmente creciente. Si r Q es un número rcionl tl que r n x < r entonces rn < r ( rn ) n N es cotd sueriormente ( rn ) n N es convergente Denición. Se. Entonces x R denimos x = rn donde (r n ) n N es un sucesión monoton estrictmente creciente de números rcionles que convergen x. Si 0 < <, entonces > y or tnto x R denimos De mner que Por lo tnto 0 y x R x = ( ) x rn = ( ) = rn ( ) = rn ( ) x = x x = rn Teorem. Se >. Entonces l función exonencil f(x) = x es estrictmente creciente x R Demostrción. Sen x, y R, tl que x < y, existen un rcionl q tl que x < q < y. Sen (r n ) y (s n ) sucesiones de números reles tles que r n = x y s n = x Por otro ldo r n x < q < s n y como f(x) = x es estrictmente creciente en Q entonces tomndo limites rn < q < sn x = rn < q < sn = y or lo tnto x < y or lo tnto l función es estrictmente creciente Fcultd de Ciencis UNAM Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 2

3 Teorem 2. Sen, b > 0. L función exonencil stisfce: () 0 = (b) x y = x+y (c) x y = x y (d) (b) x = x b x (e) x = ( x ) = ( ) ( x ) x x (f ) = b b x Demostrción. Pr el inciso () considermos l sucesión de término generl r n = 0, N y se tiene entonces que: 0 = rn = Pr el inciso (b) considermos sucesiones monotons crecientes (r n ) n N y (s n ) n N tles que se tiene entonces que or lo tnto Pr el inciso (c) tenemos que r n = x y s n = y r n + s n = x + y x y = = rn sn rn sn = = x+y rn+sn x y y = x x y = x y, y 0 Pr el inciso (d) consideremos, b R. Se (r n ) n N un sucesión monoton creciente de números rcionles que convegren x. Entonces (b) x = = = x b x (b)rn rn brn Pr el inciso (e) consideremos, b R. Se (r n ) n N rcionles que convegren x. Entonces un sucesión monoton creciente de números ( ) x ( = ) r n = (rn ) = rn = 0 x = 0 x = x ( x ) = (rn ) = rn = 0 x = 0 x = x Pr el inciso (f) consideremos, b R. Se (r n ) n N un sucesión monoton creciente de números rcionles que convegren x. Entonces ( b ) x = (b ) x = x (b ) x = x (b x ) = x b x Fcultd de Ciencis UNAM Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 3

4 Teorem 3. Se y x R. Si (t n ) n N es un sucesión monoton decreciente de números rcionles que convergen x, entonces tn = x Demostrción. Denimos l sucesión r n = 2x t n Se tiene entonces que r n x y r n es monoton creciente, or lo tnto 2x tn = 2x rn = = 2x rn rn = 2x x = x Teorem 4. Se y x R. Si (x n ) n N es un sucesión de números reles que convergen x, entonces = x xn Demostrción. Tenemos que existen sucesiones (r n ) n N y (s n ) n N monoton creciente y decreciente de números rcionles resectivmente tl que = x y = x rn brn Como l función f(x) = x es estrictmente creciente, se ɛ > 0 entonces existe n N tl que Por otro ldo x ɛ < rn < x < rs < x + ɛ r n < x < s n, y como x n x entonces n 0 N tl que n n 0 r n < x n < s n Como l función f(x) = x es estrictmente creciente or lo tnto n n 0 x ɛ < rn < x n < rs < x + ɛ xn x < ɛ = x xn Si 0 < < se tiene que > y licndo lo nterior se tiene xn = ( ) = xn ( ) = xn ( ) x = x Ejemlo Use lo nterior r mostrr que l sucesión 2, 2 2, 2 2 2,... tiene limite Fcultd de Ciencis UNAM Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 4

5 Demostrción. Pr esto se tiene que: ( ) = 2 2, 2 = = 2 3 4, 3 = 2 7 8,..., n = 2 2n 2 n or tnto n = 2 2 n 2 n = 2 2n 2 n = 2 = 2 Fcultd de Ciencis UNAM Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 5

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