CONJUNTOS FILTRANTES O DIRIGIDOS

Transcripción

1 CONJUNTOS FILTRNTES O DIRIGIDOS RETÍCULOS Los onjuntos ordendos otdos pueden estudrse omo onjuntos fltrntes on ot superor mínm ot nferor mám. Esto permte defnr los retíulos de orden estleer su equvlen on un estruturón lger sore lees de omposón ntern que nos llev neesrmente los oneptos lásos de retíulos álgers nllos oolenos. Conjuntos fltrntes o drgdos. Semrretíulos: Ide de onjunto fltrnte o drgdo: Defnón : Un onjunto ordendo tl que todo suonjunto del msmo de dos elementos esté otdo superormente mordo se de que es fltrnte superormente. S todo suonjunto de dos elementos de está otdo nferormente mnordo se drá fltrnte nferormente. Un onjunto fltrnte es un onjunto que es fltrnte superormente fltrnte nferormente. fltr _ sup m fltr _ nf m m m fltr fltr _ sup fltr _ nf s m m s s Teorem : Todo suonjunto fnto de un onjunto fltrnte superormente es mordo: {... } n fltr _ sup n... 2 En todo onjunto fltrnte superormente un elemento mml es tmén mámo por onsguente es úno. MRCHEN SEPTIEMBRE 2006

2 Por nduón:. Pr n2 se verf por ser fltrnte_sup: 2.2 Se erto pr nk- vemos que h de ser erto pr nk:... k mordo... k { } k Por onsguente l proposón se verf pr todo suonjunto fnto. 2 Por reduón l surdo: k m m m ml m no m mo n no m n no n m m n m n m no mml fltr Es nmedto que el teorem se verf de form nálog pr onjuntos fltrntes nferormente: fltr _ nf {... n }... n 2 En todo onjunto fltrnte nferormente un elemento mnml es tmén mínmo por onsguente es úno. Semrretíulos: Defnón 2: Un su_semrretíulo es un onjunto ordendo tl que todo pr de elementos del msmo dmte mornte mínmo o supremo que se puede ndr por sup { } Un nf_semrretíulo es un onjunto ordendo tl que todo pr de elementos del msmo dmte un mnornte mámo o ínfmo que ndremos por nf Teorem 2: { } En un sup_semrretíulo todo suonjunto fnto dmte supremo. 2 Pr tod fml de sup_semrretíulos el onjunto produto es tmén un sup_semrretíulo. Por nduón. Se verf pr n2 por defnón de sup_semrretíulo. Se erto pr nk- vemos que entones h de ser erto tmén pr nk: Llmemos sup{... k } se sup{ k }. es mornte del onjunto {... k }. Culquer otro mornte de {... k } es mornte de {... k } sup... es mornte de { } { } k k MRCHEN SEPTIEMBRE

3 2 Se I un fml de sup_semrretíulos llmemos P l onjunto produto rtesno de los elementos de l fml: P. S onsdermos I proemos que el hor dos elementos ulesquer de P I I elemento de P ddo por I donde es d sup r{ } presmente el supremo de { } : Ovmente es. S onsdermos un elemento d de P d d I es tl que d d entones d d de donde tmén d sup r por lo ul d. puesto que es { } Teorem nálogo pr nf_semrretíulos se prue del msmo modo. Defnón 3: Un sup_semrretíulo ompleto es un sup_semrretíulo en el que todo suonjunto del msmo dmte supremo mornte mínmo. Un nf_semrretíulo ompleto es un nf_semrretíulo en el que todo suonjunto del msmo dmte ínfmo mnornte mámo. Ovmente todo sup_semrretíulo ompleto dmte mámo todo nf_semrretíulo ompleto dmte mínmo. Retíulos de orden retíulos lgeros: Retíulos de orden: Defnón 4: Se llm retíulo de órden un onjunto ordendo que es sup_semrretíulo tmén nf_semrretíulo En un retíulo de órden por tnto todo pr de elementos dmte supremo tmén dmte ínfmo lo que nos nd que tmén todo suonjunto fnto dmte tnto supremo omo ínfmo. Teorem 3: Pr dos retíulos de orden ddos el onjunto produto rtesno de mos es tmén un retíulo de orden. Es trvl por el Teorem 2 2. MRCHEN SEPTIEMBRE

4 Defnón 5: Ddo un retíulo de orden un suonjunto S de on el msmo orden ndudo por el retíulo S / S dremos que / S s S es suretíulo del retíulo solo s se verf que pr dos elementos ulesquer de el ínfmo el supremo en son respetvmente el ínfmo el supremo en S: { } nf { } sup r { } sup r { } nf S S Notemos que en generl un suonjunto de un retíulo on su msmo orden ndudo no es un retíulo undo lo es pueden no ser gules los ínfmos supremos de dos elementos ulesquer del retíulo pues se d en generl un stuón del tpo: Defnón 6: { } nf { } sup r { } sup r { } nf S S Un retíulo de orden ompleto es un onjunto que es nf_semrretíulo ompleto tmén es sup_semrretíulo ompleto. Teorem 4: Ddos dos retíulos de orden ompletos el onjunto produto rtesno de mos tmén es retíulo de orden ompleto. Vemos que ulquer suonjunto C del produto rtesno B de dos retíulos de orden ompletos tene ínfmo tene supremo. Sen pues dos retíulos de orden ompletos B se C un suonjunto del msmo on el orden ndudo o se: C B B C / B B { } B por ser ompleto tene ínfmo supremo nálogmente por ser B ompleto tmén B B tene ínfmo supremo: nf sup nf B sup B de lo ul es nmedto que esten ínfmo supremo pr el onjunto C: nf B nf C sup B supc Teorem 5: Todo semrretíulo ompleto se sup_semrretíulo o nf_semrretíulo que teng elemento nulo unversl mínmo mámo es tmén un retíulo de orden ompleto. MRCHEN SEPTIEMBRE

5 Hgmos l demostrón pr un nf_semrretíulo. Se pues un nf_semrretíulo ompleto por lo ul este ínfmo pr ulquer suonjunto de. Llmemos nf. Sen entones nf mn sup. Pr pror que es ompleto strá ver que este sup. Pr ello onsderemos el onjunto X de todos los morntes de. Tl onjunto no es vío pues X. Supongmos que es s el nfmo del onjunto X : s nf X. Esto quere der que ulquer elemento de es menor o gul que ulquer elemento de X es der ulquer elemento de es mnornte de X. O se s s mor de s X s mn X. por lo ul sup s. Retíulos lgeros: Defnón 7: Un retíulo lgero es un onjunto dotdo de dos lees de omposón ntern que tenen ls propeddes sguentes: Son dempotentes: Son onmuttvs: Son sotvs: d Propedd de sorón: Un retíulo lgero dstrutvo es un retíulo lgero en el que ls dos lees de omposón nterns son dstrutvs l un on respeto de l otr. Teorem 6: S el pr es un retíulo de orden entones l tern en donde se h heho ínfmo supremo es un retíulo lgero. Se verf trvlmente tenendo en uent que es es : ínfmo del pr { } supremo del pr { } que. Propedd de Idempoten 2. Propedd Conmuttv 3. Propedd sotv 4. Propedd de sorón MRCHEN SEPTIEMBRE

6 MRCHEN SEPTIEMBRE Teorem 7: En todo retíulo lgero puede defnrse un orden desde sus lees de omposón ntern de form que se un retíulo de orden. S es un retíulo lgero strá defnr el orden de l sguente mner: Ls dos frmones de l dsuntv de l defnón son equvlentes por lo que l defnón es onsstente. L demostrón smól es nmedt desde ls propeddes de sorón de onmuttvdd de ls lees nterns del retíulo: Vemos que se verfn ls propeddes de l relón de orden:. Propedd reflev: 2. Propedd ntsmétr: 3. Propedd trnstv: Vemos fnlmente que pr todo pr de elementos de este el ínfmo tmén este el supremo: Puesto que se tene: Es der: { } r sup nálogmente:

7 MRCHEN SEPTIEMBRE Es der: { } nf Modulrdd dstrutvdd. Complementón: Defnón 8: Un retíulo se de modulr s se verf que Defnón 9: Un retíulo se de dstrutvo s se verf que Defnón 0: Ddo un retíulo on mínmo mn mámo má se llm omplemento de un elemento todo elemento tl que se verf: Defnón : Se llm retíulo omplementro o omplementdo todo retíulo on mínmo mámo tl que todo elemento del msmo tene un omplemento. Teorem 8: En todo retíulo dstrutvo se verf que Teorem 9: En todo retíulo dstrutvo el omplemento de un elemento ulquer s este es úno.

8 Supongmos que el elemento tuver dos omplementos dstntos strí plr el teorem 8: " " " " " Retíulos de Boole. Álgers de Boole. nllos de Boole: Retíulos Álgers de Boole: Defnón 2: Se defne el onepto de retíulo de Boole omo un retíulo de orden que se dstrutvo tmén omplementdo. Un álger de Boole es un 5-pl formd por un onjunto dos lees nterns umplendo ls propeddes de dempoten onmuttvdd sotvdd sorón dstrutvdd fnlmente dos elementos que se denomnn nulo unversl respetvmente pr los ules se umple que Teorem 0: S es un retíulo de Boole entones sendo el mínmo el mámo se tene que l 5-pl v es un Álger de Boole us operones nterns son v. 2 S es un Álger de Boole entones el onjunto ordendo donde es l relón defnd en el desrrollo de l demostrón del teorem 7 es un retíulo de Boole. Por el teorem 6 l tern v es un retíulo lgeráo por ser de Boole tmén es dstrutvo. Por ser omplementdo tendrá mínmo mámo que son el elemento nulo unversl del álger oolen. El omplementro de ulquer elemento será el omplementro en el retíulo de Boole. Luego efetvmente l 5-pl v es un Álger de Boole. 2 S es un álger de Boole por el teorem 7 el onjunto ordendo que se etre del retíulo lgeráo verf tmén l propedd dstrutv on mínmo mámo los elementos respetvmente. El omplementro de será el omlementro en el álger MRCHEN SEPTIEMBRE

9 MRCHEN SEPTIEMBRE de Boole. Por tnto se otene un retíulo de orden dstrutvo omplementdo esto es un retíulo de Boole. Teorem Lees de De Morgn: En todo retíulo de Boole se verfn ls relones: 2 sendo los elementos omplementros de e respetvmente. Se trt de pror que que : 2 nllos de Boole: Teorem 2: Un retíulo de Boole puede ser estruturdo omo un nllo onmuttvo dempotente on elemento undd nllo de Boole. 2 Reípromente todo nllo de Boole nllo onmuttvo dempotente on elemento undd puede ordenrse omo un retíulo de Boole. Trvlmente se puede ompror l verfón de ls propeddes que defnen tl nllo defnendo ls lees dtv multpltv de l form: +. 2 Se otene smsmo un Álger de Boole mednte l sguente defnón de ls lees nterns del Álger prtr de ls lees del nllo de Boole de l form: prtr de un Álger de Boole se otene fálmente l estrutur de retíulo de Boole teorem 0 2.

10 Blogrfí: LBERC P. MRTÍN D.; Métodos mtemátos: Álger Lnel Geometrí Edones lje 200. BURGOS J. De; Álger Lnel Geometrí Crtesn Ed. MGrw Hll DUBREIL P. Y OTROS; Leones de álger modern. Ed. Prnnfo 970 NKOS G. JOYNER D.; Álger Lnel on plones. Edones Thomson 99 PEERMINGET N. GLUDE D.; lgers de Boole teorí métodos de álulo plones. Edtorl Vens Vves 993. ROSEN K.; "Dsrete Mthemts nd ts ppltons ". Ed. MGrw-Hll 99 MRCHEN SEPTIEMBRE