INTRODUCCION A LAS CATEGORIAS Y FUNTORES

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1 INTRODUCCIÓN A LAS CATEGORÍAS Y FUNTORES. DEFINICIONES. LOS AXIOMAS DE BIRKOFF-MCLANE 3. ALGUNOS TEOREMAS BÁSICOS MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED

2 . DEFINICIONES: Deinición.. Se llm cteorí tod clse tl que todo pr ordendo de sus elementos ten socido un conjunto. Los elementos de l clse se llmn ojetos de l cteorí. Los elementos del conjunto socido l pr ordendo de ojetos se llmn morismos de dominio y codominio Se represent por el conjunto de todos los morismos socidos l pr de l cteorí. Un cteorí tl que l clse de sus ojetos es un conjunto se llm pequeñ cteorí. Deinición.. Se llm unción-ojeto de l cteorí en l cteorí tod unción F 0 de en. O se: F 0 unción-ojeto de l cteorí en l cteorí rel F 0 F 0 F 0 Si F 0 representremos por F 0. Se llm unción-morismo covrinte socid l unción-ojeto F 0 deinid de l cteorí en l cteorí tod unción F m de en F 0 F 0. O se: F m unción-morismo covrinte socid F 0 rel F m F m F m F 0 F 0 F 0 F 0 Se llm unción-morismo contrvrinte socid l unción-ojeto F 0 deinid de l cteorí en l cteorí tod unción F m de en F 0 F 0. O se: F m unción-morismo contrvrinte socid F 0 rel F m F m F m F 0 F 0 F 0 F 0 Deinición.3. Se llm untor covrinte de l cteorí en l cteorí l pr ormdo por un unción-ojeto y un unción-morismo covrinte socid. MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED

3 Se llm untor contrvrinte de l cteorí en l cteorí l pr ormdo por un unción-ojeto y un unción-morismo contrvrinte socid. Representmos en enerl: Deinición.4. Funtor covrinte: F 0 F m Funtor contrvrinte: F 0 F m Un cteorí 0 e dice sucteorí de otr cteorí si y solo si se veriic que Deinición.5. Un cteorí op se dice opuest de otr cteorí si y solo si se veriic que op Deinición.6. Un ojeto I es un ojeto inicil de l cteorí si y solo si pr todo ojeto de existe un único morismo I O se: I es ojeto inicil de único I Un ojeto F es un ojeto inl de l cteorí si y solo si pr todo ojeto de existe un único morismo F O se: F es ojeto inl de único F MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED 3

4 MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED 4. LOS AXIOMAS DE BIRKOFF-MCLANE: El sistem ásico de los xioms de Birko y McLne const de cutro xioms reeridos cteorís y de dos xioms que se reieren untores. Axiom : Axiom de l existenci de los morismos: Pr todo pr de ojetos de un cteorí existe un conjunto de morismos socido. C : Axiom : Axiom de composición de morismos: Pr tod tern de ojetos c de un cteorí existe un ley de composición que soci un único morismo de c cd pr ordendo de morismos del producto c x. / unico c h c ο c h c Axiom 3: Axiom de Asocitividd: L ley de composición de morismos es socitiv. h h d h c c ο ο ο ο

5 Axiom 4: Axiom del morismo identidd: Pr todo ojeto de un cteorí existe l menos un morismo I que tiene el ojeto por dominio y tmién por codominio y es elemento neutro respecto de l ley de composición de morismos. [ oi I ο c c ] I / Axiom 5: Axiom untoril sore identidd: Dds dos cteorís y l unción F: y un ojeto culquier de l cteorí se cumple que l identidd I FA coincide con F I. FI I F Axiom 6 : Axiom del untor covrinte: Dds ls cteorís y y el untor covrinte F: se tiene que l composición de ls imáenes de culquier pr de morismos coincide con l imen de l composición de los mismos en el orden ddo. c Fο F οf MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED 5

6 Axiom 6 : Axiom del untor contrvrinte: Dds ls cteorís y y el untor contrvrinte F: se tiene que l composición de ls imáenes de culquier pr de morismos coincide con l imen de l composición de los mismos en orden contrrio del ddo. c Fο F οf MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED 6

7 3. ALGUNOS TEOREMAS BÁSICOS: Teorem 3.. En eecto: I único Suponmos que hy dos morismos identidd. Se tiene: Teorem 3.. I o I I o I I I Todo conjunto ordendo P puede considerrse un pequeñ cteorí. En eecto: Si es P { c... } un conjunto ordendo sus morismos se pueden deinir sí: xy {} x y xy φ x > y puesto que si x y y x x y se tiene Teorem 3.3. xx {I x } yy {I y } Tod pequeñ cteorí en l que cd conjunto de morismos es un clse unitri y todo morismo invertile es l identidd puede considerrse un conjunto ordendo. En eecto: Se P el conjunto cuyos elementos son los ojetos de l cteorí: P { c... }. Deinimos en P l relción del modo siuiente: tl relción en P es de órden: x y P x y x y Φ - Es relexiv: x x P i x x x x Φ - Es ntisimétric: { } { } x y Φ x y P morismos inversiles i i : identidd y x Φ i x x y y x y - Es trnsitiv: MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED 7

8 x y x y x y P y z y z { } { } Φ x z Φ { o} Φ x z Deinición 3.. Deinición de isomorismo Se un cteorí. Se dice que es un isomorismo sii existe otro morismo tl que o i y o i. O se: Teorem 3.4. isomorismo / o i o i Dos ojetos de l cteorí se dice que son isomoros sii existe un isomorismo. O se: isomoros isomorismo Si un morismo dmite inverso tl inverso es único. En eecto: Suponmos que hy dos inversos y : o o / o o o o i i o o i o o i o o o o Deinición 3.. Deinición de monomorismo Un morismo m es un monomorismo sii se cumple que mo mo siendo y morismos de. O se: m monomorismo ' ' mo mo ' ' Teorem m invertile por l izquierd m monomorismo En eecto: Se m / mom i mο mο m o ο mο mo mo mοm ο mom Deinición 3.3. Deinición de epimorismo e epimorismo ' ' oe ' oe Teorem e invertile por l derech e epimorismo En eecto: Se e / eoe i oe oe oe oe oe oe o eoe o eoe ' MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED 8

9 Teorem 3.7. Si en un cteorí existen dos ojetos iniciles son isomoros. Si en un cteorí existen dos ojetos inles son isomoros. En eecto: Sen I y T dos ojetos iniciles de l cteorí ζ : uni cos I T h h' h T I h' I T oh' oh o h' oh I T h' oh oh oh' h' oh oh oh' o hoh' I I hoh' hoh' I I h h' inversiles h. h' isomorism os I T ojetos isomoros T I Análomente en el cso de dos ojetos inles. Deinición 3.4. Funtores isomorismo monomorismo epimorismo Un untor isomorismo es un untor pr el cul l unción-ojeto y l unciónmorismo son iyecciones. Un untor monomorismo es un untor pr el cul l unción-ojeto y l unción-morismo son inyecciones. c Un untor epimorismo es un untor pr el cul l unción-ojeto y l unciónmorismo son supryecciones. Teorem 3.8. Ddos dos untores F: y G: l unción compuest GoF: es un untor covrintes si F y G tienen l mism vrinci mos son covrintes o ien mos son contrvrintes y es un untor contrvrintes si F y G tienen distint vrinci uno es covrinte y el otro es contrvrinte. En eecto: - Bstrá hcer un comproción trivil tnto con l unción-ojeto de cd untor como con l correspondiente unción-morismo en los cutro csos posiles: que mos untores sen covrintes que el primero se covrinte y el seundo contrvrinte que el primero se contrvrinte y el seundo covrinte y inlmente que mos sen contrvrintes. Deinición 3.5. Cteorí producto Se llm cteorí producto de ls cteorís y un cteorí cuyos ojetos y morismos se deinen de l siuiente mner: - Los ojetos X son los pres ordendos x x donde x y x : x { x x' / x x' ' } MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED 9

10 - Los morismos p X Y X con X x x x Y y y x son los pres donde x y x y : { ' / x y ' x' y' X x x' Y y y' } p X Y x p ' x ' x ' cumpliendo l ley de composición: p x p ' ο' ο ' ο' Teorem 3.9. Se veriicn los xioms B-M pr l cteorí producto. En eecto: - Es un comproción trivil. Deinición 3.6. Funtor producto Se llm diuntor o untor producto de los untores F: G: l untor H F x G: x Teorem 3.0. Se veriicn los xioms B-M pr el untor producto. En eecto: - Es un comproción trivil. MARCHENA ABRIL 00 DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED 0