Álgebra Moderna III. Miscélanea de Ejercicios del Curso I. Teoría de categorías.

Transcripción

1 Álgebra Moderna III I. Teoría de categorías. 1. Deinimos Rec. Un objeto en Rec. es una terna A, a, α donde A es un conjunto, a A es un elemento y α : A A es una unción. Un morismos : A, a, α B, b, β es una unción tal que (a) = b y α = β. Esto es, el siguiente diagrama conmuta a A α A { } b B β B (a) Veriica que Rec es una categoría. (b) Sea s : N N la unción sucesor n n + 1. Observa que N, 0, s es un objeto en Rec. (c) Demuestra que para cualquier objeto A, a, α en Rec, existe un único morismo N, 0, s A, a, α. 2. Los objetos en la categoría rebanada C := Sets/{a, b} son unciones h : A {a, b}. Un morismo h h en C es una unción θ : A A tal que el siguiente triángulo es conmutativo. A θ A h {a, b} h Por otro lado, en la categoría D := Sets Sets los objetos son pares de conjuntos (A, B) y los morismos (A, B ) (A, B) son pares de unciones : A A, g : B B. Deine una unción sobre los objetos: F ab : Obj(C) Obj(D) F ab (h) := (h 1 [a], h 1 [b]) (a) Extiende F ab a un untor, describiendo una unción apropiada F ab : Mor(C) Mor(D). (b) Demuestra que cada par de conjuntos (A, B) es isomoro a algún objeto F (h). (c) Dados objetos h, h C, demuestra que F ar determina una biyección entre el conjunto de morismos h h en C y el conjunto de morismos F (h ) F (h) en D. 1

2 Álgebra Moderna III (d) F es un isomorismo de categorías?. 3. Sea C una categoría arbitraria. Demuestra lo siguiente: (a) Si α : A B es un split-mono y también es un epimorismo, entonces es un isomorismo. (b) Si α : A B es un split-epi y también es un monomorismo, entonces es un isomorismo. (c) Si γ : A B es un split-mono, entonces γ es un monomorismo. Análogamente si γ : A B es un split-epi, entonces γ es un epimorismo. (d) Si : A C es un isomorismo, entonces es un bimorismo. 4. Sea A β B α X g Y un diagrama de pullback tal que es un monomorismo. Demuestra que α también es un monomorismo. Si además es un isomorismo, entonces α también lo es. 5. Considera el siguiente siguiente diagrama con cuadrados conmutativos. A a b (I) B X g Y c (II) h C Z d (a) Si ambos cuadrados son diagramas pullback entonces también el cuadrado externo es un diagrama de pullback. A cb C a X hg Z d (b) Si el cuadrado (II) y el cuadrado externo son diagramas de pullback, demuestra que (I) también es un digrama de pullback. 6. Demuestra que : A B es un monomorismo si y sólo si id A A id A A A B 2

3 Álgebra Moderna III es un diagrama de pullback. 6. Demuestra que : A B es un epimorismo si y sólo si A B B idb B id B es un diagrama de pushout. II. Categorías Abelianas. 7. Demuestra que la categoría Ab (grupos abelianos) es una categoría abeliana. Donde Ab se deine como sigue: Obj(Ab) := {A Ab A es grupo abeliano}. Mor(Ab) := { : A B es homomorismo de grupos abelianos}. 8. Sea C una categoría abeliana y sea : X Y un morismos en C. Sean X 1 X 2 X y Y 1 Y 2 Y subobjetos de X y Y respectivamente. Entonces: (a) (X 1 ) (X 2 ); (b) 1 (Y 1 ) 1 (Y 2 ); (c) X 1 1 ((X 1 )); (d) (X 1 ) = ( 1 ((X 1 ))). 9. Considere la siguiente suceción exacta X Y g Z en una categoría abeliana.demuestre que las siguientes airmaciones son ciertas: (a) Im() Ker(g) = (Ker(g)); (b) Im() + Ker(g) = g 1 (Im(g)). 10. Sea C una categoría abeliana.dado D C g g A B 3

4 Álgebra Moderna III un cuadrado pullback. Se puede completar al siguiente diagrama conmutativo Ker i D C Ker 1 Ker i g A B g 11. (Segundo teorema de isomorismo.)sean X 1 y X 2 subobjetos de X. Entonces tenemos el siguiente diagrama conmutativo con renglones exactos y u un ismoormismo 0 X 1 X 2 X 2 X 2 /(X 1 X 2 ) 0 u u 0 X 1 X 1 + X 2 (X 1 + X 2 )/X 1 0. Hint: Considere la siguiente proposición. u Proposición. Sean X 1, X 2 dos subobjetos de X. Entonces tenemos el siguiente diagrama conmutativo 0 X 1 X 2 X 2 X 2 /(X 1 X 2 ) 0 u 0 X 1 u X u X/X X 1 X 1 + X 2 (X 1 + X 2 )/X 1 0. III. Teoría de módulos. 12. Sean R un anillo con 1 e I un ideal bilateral de R. Demuestra que si M es un R módulo izquierdo, entonces: (a) IM es un R submódulo de M. (b) M es un R/I módulo izqueirdo si y soló si IM = Sea M Mod(R). Co nsidera la correspondencia contravariante Hom R (M, ) : Mod(R) Ab. Esto es, dado un morismo : X Y en Mod(R), se deine el morismo de grupos abelianos Hom R (M, ) : HomR(M, X) Hom R (M, Y ), donde Hom R (M, )(h) := h. Pruebe que Hom R (M,?) : Mod(R) Ab es un untor covariante. 4

5 Álgebra Moderna III 14. Sea M Mod(R). Considere la correspondencia contravariante Hom R (?, M) : Mod(R) Ab. Esto es, dado un morismo : X Y en Mod(R), se deine el morismo de grupos abelianos Hom R (, M) : Hom R (Y, M) Hom R (X, M), donde Hom R (, M)(h) := h. Pruebe que Hom R (?, M) : Mod(R) Ab es un untor contravariante. 15. Sea M un R-módulo. Pruebe que las siguientes condiciones son equivalentes. (a) M es simple. (b) 0 es un submódulo maximal de M. (c) M 0 y M = Rm para todo m M?{0}. (d) M 0 y para todo Hom R (M, X)?{0} se tiene que Ker() = 0. (e) M 0 y para todo Hom R (X, M)?{0} se tiene que Im() = M. 16. Pruebe que M es initamente generado si y sólo si existe un epimorismo : R n M en Mod(R). 17. Demuestra que todo anillo no trivial admite módulos simples. 18. (a) Enuncia y demuestra la propiedad universal del coproducto directo en Mod(R). (b) Enuncia y demuestra la propiedad universal del producto directo en M od(r). (c) Sea {M α } α Γ. Veriica que α Γ M α es un submódulo de α Γ M α. (d) Demuestra que α Γ M α = α Γ M α si y sólo si Γ es un conjunto inito. 19. Sea 0 A B g C 0 una sucesión exacta en Mod(R). Entonces toda iltración F = {F i } n i=1 en B, induce una iltraci?on 1 (F ) en A y otra g(f ) en C. 20. Sea M M od(r). Pruebe que las siguientes condiciones son equivalentes. (a) M es noetheriano. (b) Λ R (M) mod(r), donde mod(r) denota a la subcagoría plean de M od(r) consistente de los módulos initamente generados. (c) Para todo S Λ R (M) existe un elemento maximal en (S, ). 21. Sea M Mod(R). Pruebe que M es artiniano si y sólo si para todo S Λ R (M) no vacío, existe un elemento minimal en (S, ). 22. Sea 0 K M N 0 una sucesión exacta en Mod(R). Pruebe que M es artiniano (noetheriano) si y sólo si K y N son artinianos (noetherianos). 23. Sea R un anillo y M Mod(R). Entonces (a) M.l.(R) si y sólo si M es artiniano y noetheriano. (b).l.(r) es la menor subcategoría de Serre en Mod(R) que contiene a los R módulos simples. 5

6 Álgebra Moderna III (c) Si M es semisimple, entonces: M.l.(R) M es noetheriano M es artiniano. 24. (a) Da la deinición de prerradical. (b) Demuestra que los siguientes son prerradicales: αm M = T r M (la traza de M), ω0 M = Rej M (el rechazo de M), T r (U), donde U es una clase de módulos. Rej (U), donde U es una clase de módulos. rad soc. (c) Demuestra que K Gen(U) si y sólo si αu U (K) = K. (d)demuestra que K Cog(U) si y sólo si ω0 U (K) = 0. (e) Demuestra además que rad(m/rad(m)) = 0 para todo M Mod(R); y que soc es un prerradical exacto izquierdo. 25. Enuncia el Teorema de Wedderburn-Artin. 26. (a) Sea M un módulo semisimple, con descomposición M = λ Γ T λ. Si 0 K M N 0 es una sucesión exacta corta en Mod(R), demuestra que la sucesión se escinde y que K y N son semisimples. (b) Sea {T α } α Γ es una amilia de submódulos simples de M. Si T es un módulo simple de M tal que T ( Γ T α) 0, entonces existe α Γ tal que T = T α. 27. Demuestra que para M M od(r), son equivalentes: M es semisimple M Gen(R simp). M es la suma de algún conjunto de submódulos simples. M es la suma de sus submódulos simples Cada subódulo de M es un sumando directo. Cada sucesion exacta corta 0 K M L 0 en Mod(R) se escinde. 28. (a) Demuestra que si soc(m) = M si y sólo si M Gen(R simp). (b) En particular, si M es semisimple, entonces soc(m) = M.?El recíproco es cierto? Demuestra o da un contraejemplo. 29. (a) Demuestra que rad(m) = 0 si y sólo si M Cog(R simp). (b) En particular, si M es semisimple, entonces rad(m) = 0. El recíproco es cierto?demuestra o da un contraejemplo. 30. Investiga y enuncia el teorema de Hopkins-Levitzki. 6