Funtores derivados. Manuel Melo. Universidad de Concepción. 27 de Junio de 2012

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María del Carmen Carrasco Nieto
hace 7 años
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1 Funtores derivados Manuel Melo Universidad de Concepción 27 de Junio de 2012 Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

2 Cateogorías abelianas Definición: Una categoría C se dice abeliana si para cada A, B ob C, Hom(A, B) es un grupo abeliano; la composición de morfismos es una aplicación bilineal de grupos abelianos; siempre existen las sumas directas; todo morfismo tiene kernel y cokernel; todo monomorfismo es el kernel de su cokernel y todo epimorfismo es el cokernel de su kernel. Ejemplos: Grupos abelianos. R-Módulos, para algún anillo R. Haces de O X -módulos sobre un espacio anillado (X, O X ). De aquí en adelante C será una categoría abeliana. Por simplicidad puede pensarse C como cualquiera de estos ejemplos. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

3 Funtores Definición: Dadas dos categorías A y B, un funtor covariante (contravariante) F : A B, es una aplicación que asocia a cada objeto X ob A, un objeto F (X ) ob B, y además para cada morfismo f : X Y en A, un morfismo F (f ) : F (X ) F (Y ) (F (f ) : F (Y ) F (X )) en B, de modo que (i) F (id X ) = id F (X ) (ii) F (f g) = F (f ) F (g) (F (f g) = F (g) F (f )). Notemos que F induce una aplicación Hom(X, Y ) Hom(FX, FY ) (Hom(FY,FX)). Si las categorías son abelianas y esta última aplicación es un morfismo de grupos, se dice que F es aditivo. Un funtor covariante (contravariante) aditivo se llama exacto a la izquierda si para cada suceción exacta corta 0 A B C 0, induce una suceción exacta 0 FA FB FC (0 FC FB FA). Se dice exacto si además FB FC (FB FA) es epimorfismo. Ejemplo: Sea X ob C. Hom(X, ) es un funtor covariante exacto a la izquierda. Hom(, X ) es un funtor contravariante exacto a la izquierda Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

4 Objetos inyectivos Definición: Un objeto I de C se dice inyectivo si cada vez que se tiene un monomorfismo A B en C y un morfismo A I, existe un morfismo B I de modo que se forma un diagrama conmutativo. Notemos que esto es equivalente a que el funtor Hom(, I ) sea exacto. Si para cada objeto A existen un objeto inyectivo B y un monomorfismo A B, se dice que la categoría tiene suficientes inyectivos. Ejemplo: Q/Z es un Z-módulo inyectivo. En efecto, por el criterio de Baer [3, Theor 1.3], basta ver que todo Z-morfismo ϕ : nz Q/Z se extiende a un Z-morfismo ϕ : Z Q/Z, pero esto es claro pues basta definir ϕ(1) = ϕ(n)/n. Similarmente puede probarse que Q es también un Z-módulo inyectivo. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

5 Proposición: La categoría de los R-módulos tiene suficientes inyectivos. Demostración (bosquejo): Sea M un R-módulo. Definimos ( ) := Hom Z (, Q/Z). Como todo módulo es cociente de un módulo libe, tenemos un epimorfismo F M, con F libre. Aplicando ( ) a dicho epimorfismo, obtenemos un monomorfismo M F. Puede probarse (usando la planitud de F, la inyectividad de Q/Z y la cualidad de adjuntos de y Hom) que F es inyectivo. Puede demostrarse también que existe un monomorfismo natural M M. Esto completa la demostración. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

6 Proposición: Sea (X, O X ) un espacio anillado. La categoría de haces de O X -módulos sobre X tiene suficientes inyectivos. Demostración: Sea F un haz de O-módulos. Para cada x X, exsite una inclusión F x I x en un O x,x -módulo inyectivo. Esto induce una aplicación inyectiva de haces F I := x X j (I x ), donde j (I x ) es el correspondiente haz rascacielos sobre x X. Resta ver que I es inyectivo, para lo cual basta mostrar que Hom OX (, I ) es un funtor exacto. Notemos que Hom OX (G, I ) = x X Hom OX (G, j (I x )) = x X Hom Ox,X (G x, I x ). Ahora, el funtor espiga G G x es exacto, al igual que los funtores Hom Ox,X (, I x ), x X, pues los I x son inyectivos. Como el producto directo mantiene la exactitud, se tiene demostrado lo que queríamos. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

7 Complejos Definición: Un complejo en C es una suceción M 0 d 0 M 1 d 1 M 2 d 2 de objetos de C, tal que d i d i 1 = 0 para cada i 1. El i-ésimo objeto de cohomología del complejo se define como el objeto H i (M ) := Ker(d i )/Im(d i 1 ). para i 1. Para i = 0 definimos H 0 (M ) := Ker(d 0 ). Definición: Dados dos complejos M y N en C, un morfismo de complejos φ : M N es una colección de morfismos φ i : M i N i tal que todos los cuadrados del diagrama sean conmutativos. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

8 Un morfismo entre complejos induce naturalmente un morfismo entre los objetos de cohomologías. Definición: Dos morfismos de complejos φ, ψ : M N se dicen homotópicos si existen morfismos h i : M i N i 1, tal que para cada i 0 se tiene donde definimos d 1 = 0. φ i ψ i = h i+1 d i + d i 1 h i, Proposición [1, p.97]: Si dos morfismos de complejos son homotópicos, inducen la misma función entre los objetos de cohomologías. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

9 Resoluciones inyectivas Definición: Sea A ob C. Una resolución inyectiva de A es una sucesión exacta A i I 0 I 1 I 2 donde i es monomorfismo y todos los I k son objetos inyectivos. Nótese que si C tiene suficientes inyectivos, todo objeto admite una resolución inyectiva: Sea A ob C, construimos un monomorfismo i : A I 0 con I 0 inyectivo, luego inductivamente incluimos coker(i k 1 I k ) en un objeto inyectivo I k+1. Proposición [1, Prop 4.27]: Dadas una suceción exacta, A i I y una resolución inyectiva B j J, para cada morfismo φ : A B existe un morfismo de complejos φ : I J tal que φ 0 i = j φ. Además, dados dos morfismos de complejos φ, ψ con tales propiedades, éstos son homotópicos. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

10 Funtores derivados Definición: Consideremos un funtor covariante F : C D exacto a la izquierda donde C tiene suficientes inyectivos. Fijamos para cada A ob C una resolución inyectiva I. Luego definimos los funtores derivados derechos de F como R i F (A) := H i (F (I )). Proposición: Los funtores derivados no dependen de la elección de la resolución inyectiva (lo que prueba que R i F es un funtor bien definido de C en D). Demostración: Si A I y A J son dos resoluciones inyectivas para A, por una proposición anterior tenemos que existen morfismos de complejos φ : I J y ψ : J I. Además, las composiciones son homotópicas a la identidad. Luego F (φ ) y F (ψ ) inducen morfismos inversos entre las cohomologías y por tanto H i (F (I )) = H i (F (J )) para todo i. Obs: El hecho que F es exacto a la izquierda nos asegura que R 0 F = F. Es claro también que si A es un objeto inyectivo, se tiene R i F (A) = 0 para todo i > 0. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

11 Proposición: Sea F : C D un funtor como antes. Para cada secuencia exacta corta 0 A B C 0 en C, existen morfismos δ i : R i F (C) R i+1 F (A), tal que se tiene una sucesión exacta larga R i F (A) R i F (B) R i F (C) δi R i+1 F (A) R i+1 F (B) R i+1 F (C) Demostración (bosquejo): Dada la secuencia exacta corta del enunciado, por el lema de a herradura existen resoluciones inyectivas I, J, K para A, B, C y una suceción exacta de complejos 0 I J K 0. Aplicando F obtenemos una suceción exacta de complejos 0 F (I ) F (J ) F (K ) 0 a partir de la cual se obtiene, por el lema de la serpiente, una secuencia exacta larga entre las cohomologías como la del enunciado. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

12 Ejemplo Sea C la categora de grupos abelianos. Hemos visto que para G ob C, Hom(G, ) : C C es un funtor covariante exacto a la izquierda. Para cada H ob C definimos los grupos Ext como los funtores derivados derechos. Ext i (G, H) := R i Hom(G, H), los cuales son de importancia en le área de álgebra homolágica. Ejemplo de cálculo de Ext: Calculemos Ext i (Z/nZ, Z). Para esto, notemos que Z admite la resolución inyectiva 0 Z Q Q/Z 0. Aplicando Hom(Z/nZ, ) obtenemos el complejo Hom(Z/nZ, Q) Hom(Z/nZ, Q/Z) 0 Pero Hom(Z/nZ, Q) = 0, luego el único grupo Ext no nulo es Ext 1 (Z/nZ, Z) = Hom(Z/nZ, Q/Z) = Z/nZ. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

13 Bibliografía [1] C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry I, Cambridge Studies in Advanced Mathematics No. 76. Press, Cambridge, [2] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics Vol. 52. Springer-Verlag, [3] Injective modules: Preparatory material for the Snowbird summer school on commutative algebra. Manuel Melo (Universidad de Concepción) Funtores derivados 27 de Junio de / 13

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