TEXTO: ALGEBRA MULTILINEAL

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIECIAS NATURALES Y MATEMÁTICA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA INFORME FINAL DEL TEXTO TEXTO: ALGEBRA MULTILINEAL AUTOR : WILFREDO MENDOZA QUISPE PERIODO DE EJECUCIÓN : Del al (Resolución de aprobación N R) Callao, 2015

2 I. ÍNDICE I. INDICE i II. PROLOGO x III. INTRODUCCIÓN xii IV. CUERPO DEL TEXTO O CONTENIDO xiii Pág. CAPÍTULO I MODULOS Y SUCESIONES EXACTAS 1.1 Módulos y Submodulos Homomorfismos de Módulos Sucesiones Exactas Módulos Proyectivos e inyectivos 30 CAPÍTULO II APLICACIONES MULTILINEALES Y PRODUCTO TENSORIAL DE MODULOS 2.1 Aplicaciones Multilineales Producto Tensorial de Módulos Producto Tensorial de Sumas y Productos Directos Extensión del anillo de escalares 79 CAPITULO III APLICACIONES MULTILINEALES SIMÉTRICAS Y POTENCIAS SIMÉTRICAS 3.1. Aplicaciones Multilineales Simétricas Potencia Simétrica de un Módulo Potencia Simétrica de un Módulo Proyectivo Extensión del Anillo de Escaleras a Estructuras Tensoriales Cocientes Potencia Simétrica de una Aplicación Lineal Inyectiva 104

3 CAPITULO IV APLICACIONES MULTILINEALES ALTERNADAS Y ANTISIMÉTRICAS 4.1 Aplicaciones Multilineales Alternadas y Antisimétricas Potencia Exterior de un Módulo Potencia exterior de una Aplicación Lineal Inyectiva Dual de una Potencia Exterior 123 CAPITULO V PRODUCTO TENSORIAL DE ESPACIOS VECTORIALES CON ESTRUCTURA ADICIONAL 5.1 Producto Tensorial de Espacios Vectoriales Producto Tensorial de Algebras Producto Tensorial de Espacios Vectoriales G Graduados Producto Tensorial de Espacios Diferenciales 154 CAPITULO VI ALGEBRA TENSORIAL Y TENSORES MIXTOS 6.1 Tensores Tensores sobre un par de Espacios Duales Tensores Mixtos Algebra Tensorial Sobre un Espacio con Producto Interno 176 CAPÍTULO VII SIMETRÍA Y SIMETRÍA CRUZADA EN EL ALGEBRA TENSORIAL 7.1 Tensores Simétricos Cruzados V El Álgebra Cociente o Algebra Factor NV ( ) V El Algebra Cociente o Algebra Factor MV ( ) 188

4 CAPITULO VIII ALGEBRA EXTERIOR DERIVACIONES Y ANTIDERIVACIONES 8.1 Aplicaciones Simétricas Cruzadas (SKEW) Algebra Exterior Homomorfismos, Derivaciones y Antiderivaciones Algebra exterior sobre una suma directa Ideales y Dualidad 218 CAPITULO IX ALGEBRA EXTERIOR MIXTA EL ISOMORFISMO DE POINCARE 9.1. El Álgebra Exterior Mixta (V, V*) El Isomorfismo de Poincare Aplicaciones a las Transformaciones Lineales Elementos Descomponibles en V Algebra Tensorial Simétrica Algebra Polimonial 253 V. REFERENCIALES 259 VI. APENDICES 260 VII. ANEXOS 264

5 INDICE DE FIGURAS Pág. Figura 1.1. Identidad a izquierda y derecha. 12 Figura 1.2 Isomorfismo clásico inducido 20 Figura 1.3. Homomorfismos bajo inclusión de núcleos 21 Figura 1.4 Con la fila superior exacta. 22 Figura 1.5. Inducida de (1.4) 22 Figura 1.6 Con fila inferior exacta 23 Figura 1.7 Con fila inferior exacta y doble triángulo que conmuta 23 Figura 1.8 Con fila superior exacta y con doble triángulo conmutativo. 25 Figura 1.9 Inducida de (1.7) 25 Figura 1.10 Lema del Tercio 25 Figura 1.11 Consecuencia del lema del Tercio 26 Figura 1.12 Lema de los cuatro 27 Figura 1.13 Lema de los cinco 29 Figura 1.14 Consecuencia de las figuras (1.10) y (1.11) 29 Figura 1.15 Inducida de (1.1.4) 30 Figura 1.16 Modulo proyectivo. 32 Figura 1.17 Inducida de (1.16) con sucesión exacta inferior. 32 Figura 1.18 Inducida de (1.16) con un triángulo conmutativo. 33 Figura 1.19 Inclusiones naturales 34 Figura 1.20 Suma directa de módulos 34 Figura 1.21 Fusionada 35 Figura 1.22 Fusionada con dos triángulos conmutativos. 35 Figura 1.23 Suma directa con un triángulo conmutativo. 35 Figura 1.24 Bifusionada 36 Figura 1.25 Modulo Proyectivo con secuencia escibible 36 Figura 1.27 Consecuencia de (1.2.6) 37 Figura 1.28 Módulo inyectivo 38 Figura 1.29 Módulo inyectivo con sucesión exacta superior 39 Figura 1.30 Módulo inyectivo 39 Figura 1.31 Módulo inyectivo con doble composición 40 Figura 1.32 Módulo inyectivo compuesto con inyecciones y proyecciones 41

6 Figura 1.33 Módulo Inyectivo escindible 42 Figura 2.1. Producto Tensorial 47 Figura 2.2. Unicidad de Producto Tensorial 48 Figura 2.3 Unicidad del Producto tensorial con la composición. 48 Figura 2.4 Conmutatividad del producto Tensorial. 49 Figura 2.5 Unicidad de la conmutatividad del Producto Tensorial 50 Figura 2.6 Aplicación tensorial inducida. 52 Figura 2.7 Producto Tensorial engendrado. 52 Figura 2.8 Unicidad del Producto Tensorial Engendrado. 53 Figura 2.9 Suma Directa del Producto Tensorial. 53 Figura 2.10 Existencia de la unicidad para suma directa. 54 Figura 2.11 Aplicación r líneal 55 Figura 2.12 Producto Tensorial de aplicaciones 57 Figura 2.13 Factorización Universal 67 Figura 2.14 Unicidad del Producto Cartesiano 67 Figura 2.15 Existencia del Producto Cartesiano. 68 Figura 2.16 Composición para la identidad 68 Figura 2.17 Conmutatividad en el producto cartesiano. 68 Figura 2.18 Secuencia inducida en el producto. 69 Figura 2.18-A Propiedad Universal de Factorización 70 Figura 2.19 Unicidad de la suma directa externa 71 Figura 2.20 Isomorfismo inducido por la proyección. 75 Figura 2.21 Existencia del morfismo tensorial del productos 76 Figura 2.22 Isomorfismo tensorial de Sumas Directos. 76 Figura 2.23 Isomorfismo recíproco 77 Figura 2.24 Asociatividad del producto tensorial de módulos 78 Figura 2.25 Relación entre producto tensorial y homomorfismos 81 Figura 3.1 Potencia simétrica. 88 Figura 3.2 Conmutatividad de la existencia y unicidad de la n- ésima potencia de un módulo. 89

7 Figura 3.3 Conmutatividad de la existencia y unicidad de la n-ésima 90 potencia en el cociente de un módulo. Figura 3.4 Conmutividad de diagramas unificados 90 Figura 3.5. Existencia y unicidad de la aplicación inducida Sn (g) 91 Figura 3.6 Factorización de la aplicación Sn(g) 92 Figura 3.7 Conmutatividad de product tensorial r lineal 92 Figura 3.8 Isomorfismos recíprocos en una n-ésima potencia. 92 Figura 3.9 Suryectividad r lineal 93 Figura 3.10 Composición de aplicaciones r lineales 93 Figura 3.11 Aplicación cociente r lineal 94 Figura 3.12 Conmutatividad de un módulo libre 95 Figura 3.13 Aplicación inducida en módulos libres 96 Figura 3.14 Extensión de anillo de escolares. 97 Figura Conmutatividad de extensión de anillo de escalares. 97 Figura 3.16 Conmutatividad inducida en una extensión de anillos 98 Figura 3.17 Independencia del Módulo T 99 Figura 3.18 Sucesión inducida tensorialmente por el módulo T 99 Figura 3.18-A Morfismo Verticales por duplicidad 99 Figura 3.18-B Morfismo diferencia inducido 100 Figura 3.19 Independencia de T sobre sus representaciones 100 Figura 3.20 Conmutatividad simultánea de dos cuadrados por representaciones 100 Figura Comutatividad inducida de cuadrados por representaciones. 100 Figura 3.22 Lema del zigzag. 101 Figura Lema de zigzag compuesto 101 Figura 3.24 Producto Tensorial con un cuerpo de fracciones k 105 Figura 4.1. Potencia exterior de grado n 111 Figura 4.2. Existencia y unicidad de la potencia exterior. 112 Figura 4.3. Conmutatividad de la Potencia exterior. 112 Figura 4.4. Yuxtaposición de diagramas. 112 Figura 4.5. Aplicación inducida en la potencia exterior 113 Figura 4.6 Tensores antisimétricos 115 Figura 4.7. Potencia exterior de una aplicación lineal. 128 Figura 4.8. Composición de potencia exterior para aplicaciones. 128 Figura 4.9 Existencia de potencia exterior para µ 128

8 Figura 4.10 Existencia de potencia exterior para v 129 Figura 4.11 Producto externo de un p vector 130 Figura 4.12 Producto externo de un q vector. 131 Figura 5.1 Producto Tensorial de espacios lineales 135 Figura 5.2 Producto Tensorial de una Familia de Espacios Lineales. 142 Figura 5.3. Diagrama conmutativo de anillos. 148 Figura 5.4 Producto Tensorial de espacios diferenciales 156 Figura 6.1. Pareja universal de un álgebra Tensorial. 165 Figura 7.1. Tensores simétricos oblicuos 186 Figura 7.1. Conmutatividad del operador proyección " " 190 Figura 8.1 Existencia y unicidad del álgebra exterior 195 Figura 9.1. Conmutatividad de una p ésima potencia simétrica. 251 F

9 TABLAS Pág. APENDICE Tabla N 1. Notaciones y/o Definiciones 262 Tabla N 2. Identificaciones e Isomorfìas. 263 ANEXOS Tabla N 1 Homomorfismos e isomorfismos inducidos de módulos 266 Tabla N 2 Aplicaciones inducidas en productos tensoriales 267 Tabla N 3 Resultados inducidos en potencia y álgebra exterior 268 Tabla N 4 Operaciones inducidos en álgebra exterior. 269

10 II. PROLOGO La intención o propósito de escribir esta obra es proporcionar un libro de texto a partir del cual el estudiante de matemática adquiera en uno de los cursos de la carrera de matemática, mayor exhaustividad y profundidad posible en el estudio del álgebra multilineal. Debido a que el álgebra con frecuencia constituye el primer eslabón del estudiante con una disciplina matemática abstracta. Reconocemos que el álgebra Multilineal es una materia rigurosa que es aplicable a múltiples ramas de la ciencia, fundamentalmente a la ingeniería, y que hoy en día la única forma admisible de estudiarlo es la que ponga énfasis, tanto en la compresión como en las ideas. El texto que se ha elaborado es de naturaleza Teórico Práctico y es desarrollado con objetivo de proveer a los estudiantes de las Ciencias Básicas e Ingenierías un material didáctico. Es redactado en lenguaje simple, que se expone en forma sistemática, concisa y concreta; los fundamentos teóricos, los ejemplos, problemas resueltos y los problemas propuestos. El texto consta de nueve capítulos. El primer capítulo corresponde a un contenido preliminar como son la teoría de módulos y secuencias exactas. En los capítulos dos, tres y cuatro se desarrolla las aplicaciones multilineales, producto de módulos, aplicaciones multilineales simétricas, potencia simétrica, y aplicaciones multilineales alternadas antisimétricas respectivamente. Mientras que en los capítulos restantes (cinco, seis, siete, ocho y nueve) se desarrolla el álgebra multilineal correspondiente al producto tensorial, algebra tensorial, algebra exterior, y álgebra exterior mixta. Estos resultados se efectúa sobre espacios vectoriales, a diferencia de la primera parte que se ha desarrollado sobre módulos. La metodología empleada en el desarrollo de este libro es expositiva, demostrativa, y deductiva; tanto en el aspecto teórico como práctico. Los aspectos teóricos del texto se han elaborado en base a los textos mencionados en las referenciales mientras que los ejemplos y problemas resueltos han sido conseguidos y desarrollados de las experiencias académicas del autor como docente. Obteniendo de esta manera un libro didáctico con muchos ejemplos, problemas resueltos y propuestos. El resultado tiene una connotación, en contraste con textos elaborados por diversos autores, EL TEXTO: ALGEBRA MULTILINEAL hace más didáctico el proceso de enseñanza aprendizaje del álgebra multilineal.

11 III. INTRODUCCIÓN Una de las cosas que distingue la introducción moderna del álgebra abeliana es la mayor importancia que se dá a los módulos en vez de darla a los ideales, la consideración de los módulos amplia el espacio, dando lugar a una mayor claridad y simplicidad. Por ejemplo, un ideal I y su anillo cociente A/I ambos son módulos y hasta cierto punto pueden identificarse uno con el otro. En esta misma dirección el enfoque dado en este texto al estudio del álgebra multilineal en los capítulos dos, tres y cuatro es realizado sobre un módulo; es así que el álgebra multilineal es de importancia fundamental, así como la notación que se utiliza en física para tensores, los capítulos del cinco al nueve son resultados extendidos a espacios vectoriales con estructura adicional, tal como las álgebras y los espacios diferenciales. El concepto de Producto Tensorial es usado para construir el álgebra tensorial sobre un espacio vectorial dado. Seguidamente se desarrolla el álgebra exterior lo cual es usado como una herramienta potencial para obtener demostraciones de muchos teoremas clásicos sobre transformaciones lineales. Los últimos capítulos contienen propiedades elementales de álgebra tensorial simétrica. En particular, el isomorfismo entre el álgebra tensorial simétrica sobre un espacio vectorial n dimensional y el álgebra polinomial en n indeterminadas. En muchas facultades de Ciencias Matemáticas de las diferentes universidades del país, se dicta la asignatura de ALGEBRA MULTILINEAL, como parte de la formación profesional de aquellos estudiantes que están interesados en las áreas de la matemática del álgebra o en la geometría diferencial. En ella se establecen o se prueban muchos isomorfismos y difeomorfismos que permiten identificar objetos algebraicos y estructuras diferenciables. En este sentido, el problema de la investigación consistió en elaborar un texto: Teórico Práctico, con una presentación muy didáctica, que permita la comprensión de los fundamentos, lemas, teoremas y problemas propuestos. Y a su vez pueda ser utilizado en forma complementaria con otros textos para el dictado de esta asignatura. Las principales objetivos planteados para la investigación consideran presentar en forma detallada, clara y coherente las pautas para la ejecución de problemas propuestos relacionados a los temas comprendidos en el álgebra multilineal, e iniciar a los

12 estudiantes en el método científico Deductivo Demostrativo, que les permitan desarrollar sus habilidades analíticos y su capacidad de abstracción. La importancia del presente trabajo radica en el hecho que el TEXTO: ALGEBRA MULTILINEAL constituye un instrumento que facilita el proceso de enseñanza aprendizaje, según los objetivos y contenidos del programa oficial de una asignatura de esta naturaleza.