Uno de los más importantes conceptos en Matemática se refiere a un tipo particular de relación entre elementos de dos conjuntos; las funciones.
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- Ana Belén Torregrosa Rodríguez
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1 MATEMÁTICA GENERAL 005, HERALDO GONZALEZ S 37 FUNCIONES Uno de los más importantes conceptos en Matemática se reiere a un tipo particular de relación entre elementos de dos conjuntos; las unciones Una unción epresa la idea de una cantidad que depende de otra u otras cantidades, por ejemplo podemos airmar que el área de un cuadrado depende o es unción de la longitud del lado de éste; si al área lo denotamos por A y la longitud del lado lo denotamos por l entonces podemos escribir A (l), y en éste caso particular, la epresión matemática es A( l) l ; el volumen V de un cilindro recto depende, es unción, del radio basal r y de altura h, lo que escribimos V ( r, h) y la epresión matemática es V ( r, h) r h En matemática designamos a la variable independiente por o por,,, n a las eventuales variables independientes que eplican el comportamiento de la variable dependiente y, escribiendo y ( o y,,, ) respectivamente ( n En la presente sección estudiaremos unciones con una única variable independiente, la unción inversa y composición de unciones 37 Deinición de unción Deinición Una unción deinida en el conjunto A con valores en el conjunto B es toda relación A B tal que a cada elemento de A le hace corresponder un único elemento y del conjunto B ) A B es una unción de A a B si y sólo si A! y B tal que y ( ) a) Dom A A B es unción b) (, (, z) y z 3) También se puede denotar a la unción por : A B tal que y ( o por : A B (, / y ( 4) y ( se lee y es la imagen de por 5) y ( (, 6) Al conjunto A lo llamamos conjunto de partida de y al conjunto B lo llamamos conjunto de llegada Ejemplos ) Sean A a, b, c, B d, e,, g entonces las siguientes relaciones de son unciones de A a B ( a, d),( b, e),( c, ) ( a, d),( b, d),( c, ) d A a B FACULTAD DE CIENCIA DEPTO DE MATEMÁTICA Y CC 38
2 MATEMÁTICA GENERAL 005, HERALDO GONZALEZ S ) Sea A (,5 a ),(4, a),(4,a ),(7,a ) una relación donde A,4,7 Determine a para que sea unción Solución Para que sea unción, el elemento 4 debe tener una única imagen, así se debe cumplir que a a, es decir, a (, 3),(4, ),(7,) La unción es 3) Demuestre que la relación (, / 3y 6 es una unción Demostración Debemos demostrar: a) Dom b) (, (, z) y z a) Como Dom / y tal que y ( basta con demostrar que Dom Sea, debemos demostrar que eiste y tal que y ( ; tal y podemos despejarlo de 3y 6, obtenemos 6 y ( 3 (ya que ) ) 3y 3z, de donde y z b) Si (, (, z entonces ( 3y 6) ( 3z 6), es decir 4) Sea A (, / y (, A una unción Determine el máimo dominio A y máimo recorrido Solución Como Dom A/ y tal que y ( y y ( entonces Dom Como Rec y / tal que y (, despejando de y obtenemos y( ), es decir, y y, esto indica que y ( y ) y de tal manera que si y, así entonces, el y máimo recorrido de es Rec 37 Operaciones con unciones Deinición Sean, g dos unciones tal que Dom, Domg son sus respectivos dominios, entonces deinimos las unción suma, denotada g, tal que i) Dom( g) Dom Domg FACULTAD DE CIENCIA DEPTO DE MATEMÁTICA Y CC 39
3 MATEMÁTICA GENERAL 005, HERALDO GONZALEZ S ii) ( g)( ( g( ) De manera más simpliicada deinimos la suma de las unciones, g por g (, ( g( ) / Dom Domg ) Análogamente deinimos las siguientes unciones g (, ( g( ) / Dom Domg ; unción dierencia g (, ( g( ) / Dom Domg ; unción producto n n (, ( ) / Dom, n N ; unción potencia te c (, c ( ) / Dom, c C ; unción ponderada Ejemplo Considere las unciones (,3),(,6),(4,8),(6,), g ( 0,),(,),(, ),(4,5),(7,0) Como Dom,,4,6, Domg 0,,,4, 7entonces Dom Domg,, 4, de donde: g (,5),(,5),(4,3) g (,6),(, 6),(4,40) 373 Función inversa 373 Función inyectiva Deinición Decimos que la unción : A ( ) ( ), Usando la contrapositiva tenemos: La unción A B es inyectiva Ejemplos B es inyectiva o uno a uno si y sólo si: A : ( ) ( ) A, ) Considere la unción : tal que es inyectiva Demostración Debemos demostrar: a) ( b) a a 3 b 3 a) ( b) (a a b trabajo algebraico concluimos que a b ( b a, b 3 (, demuestre que ( 3)( b ) (b 3)( a ), con un poco de ) Demuestre que la unción : (, ) tal que ( 4 5 es inyectiva Demostración FACULTAD DE CIENCIA DEPTO DE MATEMÁTICA Y CC 40
4 MATEMÁTICA GENERAL 005, HERALDO GONZALEZ S Para que lo sea se debe cumplir: ( a) ( b) a b a, b (, ) Como ( ( ) 9 entonces ( a) ( b) ( a ) 9 ( b ) 9, así, cancelando el y elevando al cuadrado ( note que la cantidad subradical es no negativa) obtenemos ( a ) 9 ( b ) 9, es decir, ( a ) ( b ) ; al etraer raíz cuadrada conseguimos a b de donde a b y inalmente a b 373 Conjunto imagen Deinición Sea : A B una unción y E A, deinimos la imagen de E por, denotada ( E) como el conjunto tal que (E) y B / E tal que y ( Ejemplos ) Considere la unción : 5, tal que ( 5 Determine (E) si E, 0 Solución Debemos determinar todos los valores de y ( 5 tal que, 0 Si, 0 entonces 0, de aquí, de tal manera que, al etraer raíz cuadrada obtenemos 5 5, inalmente ( E) ( / E, 5 El problema anterior también se puede solucionar de la siguiente manera; como lo que deseamos es determinar el conjunto que valores que toma y ( 5 cuando, 0, entonces podemos despejar, obteniendo y 5 Imponiendo la condición conseguimos y 5 0 así, 4 y 5 de donde y Función sobreyectiva Deinición Decimos que la unción : A B es sobreyectiva si y sólo y B A tal que y ( )La unción : A B es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del conjunto B son imagen de algún elemento de A ) La unción : A B es sobreyectiva si y sólo si Rec( ) B Ejemplos )Demuestre que la unción 0,,0 : tal que ( es sobreyectiva Solución FACULTAD DE CIENCIA DEPTO DE MATEMÁTICA Y CC 4
5 MATEMÁTICA GENERAL 005, HERALDO GONZALEZ S Debemos veriicar que Rec( ),0, despejemos de y ; tenemos: y y y y y, y ;como 0, entonces 0 y y La solución de esta inecuación es,0, así Rec( ),0 ) Si la unción : B tal que ( es sobreyectiva, determine el conjunto B Solución Observe que y que la unción involucra a, esto nos suguiere considerar dos casos : a) b) a) 0, así ( ya que 4, de donde (, b) 0, así Por a) y b) Rec ) ( / ( (,, B 3734 Función inversa, Teoremas Función inversa Si A B es una relación, sabemos que eiste la relación inversa B A; cuando A B es unción, no estamos seguros de que B A sea también una unción, el siguiente teorema regula la situación planteada, nos indica que la unción debe ser inyectiva y sobreyectiva, es decir, debe ser biyectiva Teorema Sea : A B tal que y ( una unción, se cumple: : B A es unción : A B es biyectiva Demostración ) Debemos demostrar: a) Dom( ) B b) ( a, b) ( a, c) b c a) Dom( ) Rec( ) B ya que es sobreyectiva b) ( a, b) ( a, c) ( b a) ( c, a) ( b) a ( c) a ( b) ( c) b c ya que es inyectiva ) Queda propuesta Dada la unción biyectiva : A B tal que y (, nos debe interesar determinar la epresión uncional de la inversa, es decir, determinar ( ; tenemos: y ( (, ( y, ( Es decir, despejamos de y ( y en ésta última epresión reemplazamos y por FACULTAD DE CIENCIA DEPTO DE MATEMÁTICA Y CC 4
6 MATEMÁTICA GENERAL 005, HERALDO GONZALEZ S Ejemplos 3 ) Considere la unción biyectiva : tal que (, determine ( Solución 3 y 3 De ( y tenemos y y 3 de donde, así entonces y y 3 3 ( de donde, : tal que ( y ) Considere la unción : A B tal que ( 3 6, 0 Determine la unción inversa de Solución Para que eista, la unción debe ser biyectiva es inyectiva ya que: ( ) ( ) , etrayendo raíz cuadrada obtenemos, así, de donde Ahora debemos determinar Rec( ) de tal manera que : Rec( ) 0 sea unción Si 0 entonces 0 así y ( 3 6 6, concluimos que Rec( ) 6, y : 6, es unción 0 Determinemos, inalmente, ( De y 3 6 obtenemos : 6, 0 6 y de donde 3 tal que ( 6 3 y 6, entonces Composición de unciones Deinición Sean, g dos unciones tal que Dom( ), Dom( g) son sus respectivos dominios entonces deinimos las unción compuesta de con g, denotada g, a aquella tal que ) Dom( g) Dom( g) / g( Dom( ) Dom( g) / g( Dom( ) ) ( g)( ( g( ) Podemos denotar, más simple: g (, ( g( ) / Dom( g) Ejemplos ) Considere las unciones : tal que (, g (4,),(9,), determine g Solución En primer lugar determinemos Dom( g ) FACULTAD DE CIENCIA DEPTO DE MATEMÁTICA Y CC 43
7 MATEMÁTICA GENERAL 005, HERALDO GONZALEZ S ) Dom( ) / ( Dom( ) / 4,9 3 Dom g ) g (, g( ( ) / 3,,,3 (3, ),(,),(,),(3,) Dom( g g que y 9 indica que, es decir, ( 3,,,3 Ahora, como entonces g,así, 4 indica ) Considere las unciones :, g : tal que ( ) 5, g( 3 Determine ( g)( Solución Si p entonces p de donde, la epresión ( ) 5 se convierte en ( p) ( p ) 5 p 3, es decir ( 3 Por otro lado Dom( g) Dom( g) / g( Dom( / 3 así, ( g)( ( g( ) (3 ) (3 ) ) Considere las unciones, g tal que ( ; g( a, a 0 con dominio real apropiado para que ambas sean biyectivas 3 Si ( g )( ), determine ( g )() Solución Como y ( entonces y de donde ( y Como y g( a entonces de donde g ( a a 3 3 Imponiendo la condición tenemos ( g )( ) ( g ( )) ( ), a a de donde el valor de a es a, así, g( Finalmente, ( g )() g( ( )) g(4) 9 38 EJERCICIOS PROPUESTOS 5 ) Sean A,,3, B 3,4, ; (,3),(,4),( a, b), g ( 3,3),(,4)( c, d) unciones de A a B Si ( A, Rec B, g ( ) 3, determine el valor de ( b a) ( c d) Resp si es par ) Sea : N una unción tal que ( - si es impar Cuáles de las siguientes airmaciones son verdadera? a) ( (3 0 es par y es impar b) ( (, y N c) Eiste un único natural n tal que ( n n ( Resp c FACULTAD DE CIENCIA DEPTO DE MATEMÁTICA Y CC 44
8 MATEMÁTICA GENERAL 005, HERALDO GONZALEZ S 3) Determine a,b para que (,8),(, 3),(, a b ),((, a b),( a b, a),( b a, b) sea unción Resp ( a b ) ( a b ) 4) Sea A p / p es una proposición Deinimos una unción : A por si p es V ( p) Demuestre: 0 si p es F a) ( p q) ( p) ( q) ( p) ( q) b) (~ p) ( p) c) (~ p q) ( p) (~ q) ( p) ( p) ( q) 5) Considere las unciones reales, g tal que (, g( ) Determine (( ) ) 6g( Resp ( ) ( 3)( ) 6) Sean, g unciones reales deinidas por ( a b, g( c d ; a, b, c, d ; a, b 0 Cuál de las siguientes airmaciones es verdadera? a) ( ( ( b 0 a b) ( g)( ( b d) bd c c) ( g)( b d a c d) ( g( ) ac ad Resp a) y c) 7) Sea : una unción tal que ( a b ; a, b Si ( ( (, y y si ( ) 6, determine a y b Resp a 3, b 0 8) Sea :, 0 una unción tal que ( 3 Demuestre que es inyectiva 9) Considere las unciones reales, g tal que ( ) a b, g( b ; a, b 0 Si g g Determine el valor de b( a ) Resp 0 0) Si : una unción tal que ( 7) ( (7) y (0) 0 Veriique que: a) ( 7) (7) b) ( 35) (4) 3 (7) c) (63) 9 si (7) (7) 0 ) Sean, g unciones reales deinidas por ( 4, 0,6 ; g(,, 3, determine las unciones g y g Resp ( g)( 6,, ; ( g )( 6, 0,5 FACULTAD DE CIENCIA DEPTO DE MATEMÁTICA Y CC 45
9 MATEMÁTICA GENERAL 005, HERALDO GONZALEZ S Sean, g unciones reales deinidas por: (, 3 ; g (, Determine g y g Resp ( g)(,,, ( g )(, 3,4 ) Sean, g unciones reales tal que (, 0; determine g( si ( g( ) 9 Resp g( 3 3) Sean, g unciones reales tal que ( ), g( a) Determine a de modo que ( g)( ) ( g )( a ) Resp a 5 4) Si : X Y es unción, A, B Y demuestre: a) ( A B) ( A) ( B) b) ( A B) ( A) ( B) c) ( A B) ( A) ( B) d) ( A B) ( A) ( B) e) ( A B) ( A) ( B) ) C C ( B ) ( ( B)) g) A B ( A) ( B) h) ( ( B) B B Y i) ( ( B)) B B X 5) Hallar a, b para que la unción : b, a, 4 sea biyectiva donde ( Resp a, b ) Si : A B es una unción tal que ( 5), determine el 4 valor de que satisace la relación ( )( ) Resp A 3, B Rec( ) 0, 7) Sea : 0, una unción tal que ( Demuestre que es 4 inyectiva 8) Sea una unción biyectiva tal que ( b, b 0 ; ( 3b) b, (0) determine Resp (0) 8 FACULTAD DE CIENCIA DEPTO DE MATEMÁTICA Y CC 46
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