Sesión 1: El concepto de función y sus diferentes representaciones

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1 Sesión : El concepto de unción y sus dierentes representaciones Objetivos Al terminar esta sesión deberás serás capaz de: Cómo minimizar el costo de la edición de un libro? Planteamiento del problema. Para la siguiente situación te pedimos que consideres la inormación que se te proporciona sobre el libro PRECÁLCULO, editado por Pearson, 006. Cada página tiene una zona de impresión de cm. Cada página tiene márgenes superior de 3., inerior de.8 y laterales de.6 cada uno. Supongamos que cada una de las 33 hojas impresas (dos páginas) le cuesta a la editorial 0.5 pesos. Si: La primera edición contó con un tiraje de 3000 libros. Las hojas utilizadas para esta edición son de 0 por 5.5 cm. Se puede modiicar el tamaño de la hoja con la condicionante de respetar el área de la zona de impresión así como los márgenes indicados. Determina: a) El costo de la edición. b) Las variables involucradas en esta situación. c) Las relaciones que pueden establecerse entre las variables del inciso anterior. d) La restricción y la unción objetivo asociadas al problema. e) La unción de área en términos del ancho de la zona de impresión y la unción de costo de la edición en términos de la misma variable: ancho de la zona de impresión. ) La gráica de la unción utilizando Ecel. g) Una aproimación a la condición óptima para la edición descrita. A qué se reiere la condición óptima de este problema? Las leyes de la naturaleza sólo son pensamientos matemáticos de Dios Kepler Figura. Un libro de la editorial Pearson Educación. Solución: a) El costo de la edición se obtiene multiplicando el número de hojas, por el costo unitario de cada hoja por el número de libros del tiraje. Por lo tanto, si denotamos con C el costo de la edición: C ,90.00 pesos

2 b) Las variables de este problema son: el ancho de la zona de impresión, el largo de la zona de impresión y, el área total de la hoja A y inalmente el costo C de la edición. Algunas de estas variables pueden observarse en la siguiente igura : Figura. Constitución de cada página del libro Precálculo, Pearson Educación, 006. c) Algunas de las relaciones inmediatas que pueden observarse en esta situación son: A.6.6 y y 4.9 y C A donde la lectura del símbolo es: C es una unción de A. d) Llamamos restricción de un problema de modelación a una condición que permita relacionar a algunas de las variables involucradas, en este caso y. Llamamos unción objetivo, a la variable que determina el in último del problema, en esta situación la unción objetivo es el costo total de la edición. e) De la restricción y, despejamos y y sustituimos en la epresión del área. Obtenemos: y, entonces y A Dado que modiicaremos el área de la hoja, para hallar el costo total de edición tendremos que determinar primero el costo unitario por cm de cada hoja, éste es de: 0.5 c Por lo tanto, adaptando ligeramente la idea del inciso a), determinamos el costo de la edición en unción del ancho de la zona de impresión obteniendo: C pesos

3 ) Podemos utilizar Ecel para obtener la gráica de la unción anterior, la siguiente igura muestra la tabla de valores y la gráica obtenida con este paquete. Figura 3. Gráica de la unción de costo para el libro de Precálculo de Pearson. g) A partir de la hoja de cálculo intuimos de la columna B, que el mínimo se encuentra aproimadamente en 4.8 cm. De acuerdo con esto, para obtener el menor costo de la edición (situación óptima), la hoja debería tener un tamaño de por y (aproimadamente). Con estas dimensiones el costo de la edición sería: 4.8 C , pesos Si se optara por la modiicación en el tamaño de la hoja, esto representaría para la editorial un ahorro de: C 6.8 C % 0.% C 6.8 Deducimos entonces que el diseño de la edición actual es muy cercano al que permite el costo mínimo. Un modelo matemático establece una relación uncional entre dos o más variables. Por ejemplo, en el problema anterior el costo de la edición se epresó en términos del ancho de la zona de impresión. Del problema discutido se puede decir que para una situación dada, podemos obtener conclusiones que a priori simplemente resultaría imposible determinar. El concepto de unción, diversas ormas de describirla. En general tenemos las siguientes deiniciones. Deinición de unción. Una unción es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto llamado dominio, un único valor y de otro conjunto llamado imagen o rango. Si es asignado a y mediante la regla de correspondencia se escribe (, y), o simplemente y. A se le llama variable independiente mientras que a y se le llama variable dependiente. 3

4 Deinición de dominio e imagen (o rango) Si es una unción, el dominio de es el conjunto de todos los para los que eiste algún y tal que (, y), denotaremos al dominio de la unción por D. La imagen o rango de es el conjunto I { y eiste (, y) } Deinición del plano cartesiano y de la gráica de una unción. El plano cartesiano es el conjunto, y, y. Sea y ( ) una unción. Su gráica es el conjunto de parejas ordenadas: Gr( ), y y ( ) con D. En general, la gráica de una unción se representará mediante una curva en el plano cartesiano y. Sin embargo, no todas las curvas representan una unción. En eecto, por la deinición de unción, no puede haber dos elementos ( y, ) y ( y, ) con y y. Por lo tanto, tenemos el siguiente criterio gráico para determinar si una curva puede representar una unción. Criterio de la recta vertical Una curva es la gráica de una unción y ( ) si cada recta vertical corta a la curva a lo más en un punto. De acuerdo con el criterio anterior, la curva de la igura (4.a) representa la gráica de una unción y (), mientras que la curva de la igura (4.b) no representa una unción, pues cualquier recta vertical, por ejemplo, la recta, corta la gráica en dos puntos. y y a) b) Figura 4. Qué gráica representa a una unción de la orma y ( )? En conclusión, eisten diversas ormas de representar a una unción, entre ellas tenemos las descripciones verbales, las algebraicas, las numéricas y las gráicas. Planteamiento matemático de relaciones uncionales Aunque eisten dierentes ormas de establecer un modelo matemático, por el momento te orientaremos a aquella en la cual la relación entre las variables en un enunciado se epresa mediante una relación algebraica. La siguiente guía, tomada de manera muy sintética de las ideas del matemático George Polya, te dará una pauta para abordar este tipo de problemas.. Identiica las variables. Lee y analiza la situación para identiicar a la variable independiente, a la dependiente, y a las cantidades constantes. 4

5 . Introduce notación. Asigna un símbolo a la cantidad buscada y a las demás variables. 3. Relaciona cantidades. Emplea la inormación proporcionada para obtener ecuaciones que las relacionen. En ocasiones es muy valioso emplear un diagrama. 4. Elimina variables innecesarias. Utiliza las relaciones eistentes entre las variables y manipúlalas con el in de eliminar a varias de ellas, deberás conservar a aquellas que deseas relacionar. 5. Determina el dominio de tu unción. En los problemas se necesitará restringir el dominio de la unción obtenida a un dominio donde tenga sentido la situación tratada. Considera, por ejemplo, la unción C del problema inicial, donde representa el ancho de la zona de impresión. Entonces, aunque matemáticamente podría tomar cualquier valor real dierente de cero, se debe restringir a 0, pues de otra orma se violaría el conteto natural de la situación. Nosotros llamaremos a este dominio restringido el dominio implícito de. Ejemplos. El uso de las unciones en la modelación Ejemplo. Un vendedor recibe un salario mensual base de $0,000 más una comisión de $300 por cada artículo que vende. Determina las variables dependiente e independiente, encuentra una unción que describa el salario del vendedor en términos del número de unidades que venda al mes, y especiica el dominio y el dominio implícito de esta unción. Solución: Denotemos con S al salario del vendedor, el cual depende del número de unidades n que venda al mes. Así, la variable independiente es n, mientras que la variable dependiente es S. Con esta notación, 300n es la cantidad que recibe el vendedor por comisión así, su salario es n. Es decir, S ( n) n. Si consideramos sólo la órmula para S, es perectamente posible sustituir valores negativos para n y obtener un número real. Por ejemplo, ( 0) 0, ( 0) 7,000, por lo que D. Sin embargo, en el conteto del problema, no es posible que se venda una cantidad negativa de artículos, el peor de los panoramas es que no venda nada en algún mes, por lo tanto D [0, ). NOTA: Por el conteto del problema, es muy probable que n pertenezca al conjunto de los enteros no negativos, sin embargo, para poder utilizar las herramientas del cálculo es necesario ampliar este dominio a un intervalo tal y como lo hemos hecho. En la práctica se sigue esta estrategia, después se interpretan los resultados de orma que los valores de la variable tengan el sentido de la situación. Ejemplo. Una empresa se dedica a construir tiendas de campaña a partir de lonas cuadradas de 0 pies de lado. Para la construcción de las tiendas, puedes cortar partes de las cuatro esquinas como se ve en la igura 7 de modo que las cuatro partes restantes se puedan doblar y ormar así la tienda con la orma de una pirámide con base cuadrada. 5

6 Figura 5. Lonas cuadradas para la construcción de tiendas de campaña a) Si la base es cuadrada determina el volumen V de la tienda como una unción de. b) Usa algún apoyo de graicación para construir una gráica de la unción V(). Eplica lo que observes de ella. Solución: a) El volumen de una pirámide de base A y altura h es un tercio del área de la base por la altura. Ahora bien, como la base es cuadrada y su lado es, resulta que el área de la base es 4. En cuanto a la altura h, ésta podrá obtenerse como el valor de un cateto del triángulo rectángulo que se muestra en la igura 6. Como puedes observar: Figura 6. Figura auiliar para la determinación de la altura de la casa de campaña h (0 ) 00 0 ; Luego, 4 V V ( ) Donde D V [0,5] b) La unción V( ) no tiene una estructura simple, así que elaboramos una tabla para conocer algo más de ella. En la tabla () se muestran los resultados obtenidos y en la igura (7) un bosquejo de la gráica del volumen. Observando la tabla y la gráica puede intuirse que con el valor de 4 se obtendrá el máimo valor para el volumen. 6

7 V() V Tabla. Resultados obtenidos al calcular el volumen para varios valores de Figura 7. La gráica de la unción V V ( ) obtenida en el paquete Mathematica con la instrucción Plot[(4/3)^*Sqrt[00-0],{,0,5}]. Nota: Una tabla de valores es un paso previo para construir la gráica de la unción. En realidad, debemos señalar que, a menos que uses un paquete computacional, este método de graicación tiene grandes carencias. Posteriormente desarrollaremos en el libro herramientas poderosas para construir gráicas. Ejercicios ) El diámetro d de un cubo es la distancia entre dos de sus vértices opuestos. Epresa a d como una unción del lado del cubo. ) Un despacho de abogados ue construido sobre un área de 46 espera y una oicina de acuerdo a la siguiente igura. m y distribuido en dos salas, una de Figura 8. El despacho del ejercicio. Si cada puerta tiene una etensión de 90 centímetros, y las paredes tienen una altura de 3 metros, determina: a) La epresión que proporciona a la longitud y como una unción del ancho. b) El costo que tuvo la construcción del despacho como una unción de, si el costo del piso ue de 70 pesos el metro cuadrado, el del techo ue de 350 pesos el metro cuadrado y el de las paredes ue de 30 pesos el metro cuadrado. Desprecia la porción de pared en el espacio de las puertas. 3) Desde un punto eterior P que se encuentra a h unidades de una circunerencia de radio r 0, se traza una recta tangente a la circunerencia como muestra la igura 9. Sea y la distancia del punto P al punto de tangencia T. a) Epresa a y como una unción de h. 7

8 b) Sea r el radio de la Tierra y h la altitud de un transbordador espacial. Observa que en este conteto, y representa la distancia máima (desde la Tierra) a la que un astronauta puede ver desde el transbordador. Calcula y aproimadamente suponiendo que h 00 millas. Figura 9. La imagen del ejercicio 3. 4) Un depósito con orma de cono invertido se llena con agua como se muestra en la igura 0. Epresa el volumen del agua del depósito en unción de la altura alcanzada. Figura 0. El cono del ejercicio 3 5) De un tronco circular de diámetro d se corta una viga rectangular de ancho, observa la igura. Epresa el área de la sección de la viga en unción de e indica el dominio implícito de la unción. Figura. La sección transversal del tronco del ejercicio 4 6) El triángulo rectángulo de la igura se hace girar alrededor del cateto AC a in de ormar un cono. Epresa el volumen del cono en unción de la longitud del otro cateto. Calcula el domino implícito de la unción encontrada. 8

9 Figura. El triángulo del ejercicio 6. 7) Un camión debe recorrer 360 kilómetros en una carretera plana a velocidad constante de v kilómetros por hora. Supón que el combustible cuesta 6.50 pesos por litro y que el consumo es de v 0 litros por hora. Si el conductor cobra P 0 (constante) pesos por hora, determina el costo del 0 viaje en unción de v. 8) Un cilindro se obtiene haciendo girar alrededor del eje a un rectángulo tal que su base está en el eje horizontal y queda contenido en la región comprendida entre la curva y y el eje como se muestra en la igura 3. Determina el volumen de este cilindro como una unción de. Figura 3. La gráica del ejercicio 8. Autoevaluación ) Una estación meteorológica suelta un globo para observación a una distancia de 00 m de la estación. El globo se eleva a razón de.5 m/s. Determina la opción que contiene la distancia D del globo a la estación en unción del tiempo t transcurrido desde el lanzamiento. a) D t b) D 00.5t c) D t d) D t 9