f con la función g, a la función denotada f g ( léase f composición g ),

Transcripción

1 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES (TEXTO PARA UN OBJETO DE APRENDIZAJE) ING. ALEJANDRA VARGAS ESPINOZA DE LOS MONTEROS ING. SERGIO CARLOS CRAIL CORZAS

2 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES La composición es una operación entre unciones que se establece de la siguiente manera: Dadas dos unciones y g, se deine como la composición de la unción con la unción g, a la unción denotada g ( léase composición g ), cuya regla de correspondencia es ( g )( x ) = [ g ( x) ] donde su dominio está representado por el conjunto { ; ( ) g } D = x x D g x D g Para obtener la regla de correspondencia de la unción g, según la deinición anterior, basta con sustituir la unción g en la variable independiente de la unción. Así por ejemplo, sean las unciones ( x ) = 4x y g ( x) = x, entonces, la regla de la unción g se obtiene mediante la siguiente sustitución ( g )( x ) = [ g ( x) ], por lo que ( g )( x ) = x, entonces ( g )( x ) = 4x

3 Del mismo modo resolvamos el siguiente ejemplo: Escribir en el paréntesis la letra de la columna de la derecha que corresponda a la regla de correspondencia de la composición indicada, para ( x ) = x +, g ( x ) = x y h ( x ) = x ).- ( g )( x ) =... ( ) a) x + ).- ( g h )( x ) =... ( ) b) x + 3).- ( h g )( x ) =... ( ) c) x 4).- ( g )( x ) =... ( ) d) x + 5).- ( h )( x ) =... ( ) e) x ) x g) x + 3

4 Para entender mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la composición, recurramos a la notación uncional, pues la deinición se expresa en estos términos. Notación Funcional.- Es una simbología que sirve para representar sucintamente una unción, se expresa de la siguiente manera y = w( x) Donde: w x w Representa la regla de correspondencia de la unción. Indica el dominio de la unción w, o bien, a la variable independiente. ( x ) Representa al recorrido de la unción w, indica los valores de la variable dependiente. Entonces, en estos términos, el signiicado de [ g ( x ) ] Es que el dominio de la unción resultante, es un subconjunto, propio o impropio, del dominio de la unción g, y que su recorrido es un subconjunto propio o impropio de la unción. De lo anterior, es importante tener presente que la condición para que se pueda eectuar esta operación es el cumplimiento de R D g 4

5 A partir de la condición anterior, indicar si es posible o no obtener la composición entre las unciones que se indican: Si: g ( x ) = x ( x ) = x h ( x ) = + x i ( x ) = ( x ) j ( x ) = x k ( x ) = x Entonces: a) g ; no es posible b) g ; sí es posible c) i h ; no es posible d) h i ; sí es posible e) j k ; sí es posible ) k j ; no es posible g) k g ; sí es posible h) g k ; sí es posible i) j ; sí es posible j) i g ; no es posible 5

6 Para visualizar mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la unción composición g, recurramos a su representación en un diagrama de Venn. Podemos ver que el D g ( dominio de g ) lo ormarán aquellos elementos del D g para los cuales, al sustituirlos en la unción g, el resultado pertenece al conjunto R g D. Para obtener el R g ( recorrido de g ), analizamos los valores que obtenemos de la unción, cuando la valuamos en todos los elementos del conjunto R g D. 6

7 Ejemplo.- Si ( x) = + x y y trazar su gráica. g ( x) = x, obtener la unción g, Si hacemos la representación correspondiente en un diagrama de Venn Si además trazamos las gráicas de las unciones involucradas: El D g lo ormarán aquellos elementos del D g tales que al valuarlos en la unción g, se encuentren en el conjunto [, ). Podemos darnos cuenta que ese conjunto es IR. 7

8 El R g estará ormado por aquellos valores que se obtienen de sustituir en la unción, los elementos del conjunto [, ). El resultado de esta sustituciòn es el conjunto (, 0 ] Al obtener la regla de correspondencia de la unción g queda [ ( ) ] ( ) g x = x = + x = x De lo analizado antes, concluímos que la regla de correspondencia de la unción g no puede ser x, sino x cuya gráica será. 8

9 Ejemplo.- Si ( x) = x y trazar su gráica. g ( x) = x, obtener la unción g, y Si hacemos la representación en un diagrama de Venn. Sea g (, ] R D = 0 El dominio de og lo ormarán aquellos elementos del dominio de g tal que al sustituirlos en ella, se obtienen (, 0 ] (, ] [, ). ; vemos que esos elementos son 9

10 El recorrido de og estará ormado por todos los valores que se obtienen al, 0 en la unción ; el resultado sustituir cada elemento del conjunto ( ] que se obtiene es [ 0, ). La regla de correspondencia de la unción g está dada por ( g ) x [ g x ] x x ( ) = ( ) = =, cuya gráica es: 0

11 Ejemplo.- Para las unciones del ejercicio anterior obtener g trazar su gráica., así como Sea R D = [ 0, ), entonces el D = (, 0 ] g g g y el (, ], entonces ( ) ( ) R = gráica es g x = g x = + x cuya Como se pude observar la operación composición no cumple la conmutatividad g g salvo casos particulares.