Funciones: raíz cuadrada, potencia, exponencial y logaritmo
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- Guillermo Aguilera Álvarez
- hace 7 años
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1 Funciones: raíz cuadrada, potencia, exponencial y logaritmo Función raíz cuadrada La función raíz cuadrada de un número, es el número mayor o igual que cero, que elevado al cuadrado se obtiene el primer número. Su notación es = Por ejemplo 9 = 9 si calculamos el valor 9 = 3, puesto que 3 = 9. Es importante aclarar que como condición se mencionó anteriormente que el número obtenido debía ser mayor o igual a cero, por esto no consideramos que 9 = 3, siendo que se cumple que ( 3) = 9. = Algunos ejemplos 4 = 4 = 2 25 = 25 = 5 9 = 9 no definida en IR, su solución es un número complejo. Para realizar su gráfica podemos tomar algunos valores = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 () Sólo algunos de ellos son valores exactos, que son los que nos ayudarán a trazar su gráfica. Podemos visualizar que = 0, y también que = 0, Nota: Tanto los valores del dominio como recorrido cambiarán de acuerdo la función raíz que ocupemos. Analizaremos una función raíz cuadrada que no se encuentre centrada en el origen.
2 Ejemplo. Analizar la función = En primer lugar analizamos los valores que podemos ocupar en el dominio de la función. Para que + 2 se encuentre definida, la parte subradical debe ser mayor o igual que cero, por ende, se debe cumplir que: Al resolver esta inecuación simple, se obtiene que 2 Luego el dominio de esta función es: = 2, = 2 = 1 = 0 = 1 = 2 = 3 () = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 () Los valores exactos que se obtienen para realizar la gráfica son 2 = = 0 3 = 0 3 = 3 1 = = 1 3 = 1 3 = 2 2 = = 4 3 = 2 3 = 1 7 = = 9 3 = 3 3 = 0 Al visualizar la gráfica podemos verificar que = 3, De forma algebraica = + 2 3, al despejar la raíz obtenemos + 3 = + 2 Luego al analizar que también podemos decir que Finalmente, se obtiene que 3, por ende el = 3, Traslación de gráficas = + h + El valor de indica un desplazamiento horizontal de la gráfica, pero en forma contraria al valor indicado por h. Por ejemplo, en la función = + 2 3, la gráfica se desplaza dos unidades a la izquierda. El valor de indica un desplazamiento vertical de la gráfica, en el mismo sentido que indica h. Por ejemplo, en la función = + 2 3, la gráfica se desplaza tres unidades hacia abajo.
3 Función potencia de base real y exponente natural La función potencia es de la forma = donde N, R Consideramos el análisis en forma separada cuando el exponente sea par o impar. Exponente par La función es de la forma = ; = ; = ; = Al realizar un análisis del comportamiento de estas gráficas, podemos decir que todas ellas son gráficas simétricas con respecto al eje y, es decir, son funciones pares. Nota: Una función es par si satisface que f ( x) = f ( x) Por ejemplo para =, si analizamos = ( ) = luego f ( x) = f ( x). Análogamente podemos verificar lo mismo para = ; = Las gráficas correspondientes son: = =
4 = Todas estas gráficas poseen igual dominio y recorrido. = = R = 0, = = R = 0, = = R = 0, A medida que el exponente va aumentando, la gráfica cada vez se va haciendo más estrecha. Exponente impar La función sería de la forma = ; = ; = ; = Al realizar un análisis del comportamiento de estas gráficas, podemos decir que todas ellas son gráficas simétricas con respecto al origen (0,0), es decir, son funciones impares. Nota: Una función es impar si satisface que f ( x) = f ( x) Por ejemplo para =, si analizamos = ( ) = luego f ( x) = f ( x). Análogamente podemos verificar lo mismo para = ; = Las gráficas correspondientes son: =
5 = Todas estas gráficas poseen igual dominio y recorrido. = = R = R = = R = R A medida que el exponente va aumentando, la gráfica se va haciendo más angosta. Función exponencial La función exponencial es de la forma =, > 0; 1 ( un número real positivo, distinto de 1) Las gráficas se dividen en dos grandes grupos Caso < < 1 la gráfica es estrictamente decreciente
6 Caso 2.- > 1 la gráfica es estrictamente creciente Analizaremos en primer lugar la función = Si evaluamos algunos puntos para poder graficar, se obtiene: = 1 2 = 3 = 2 = 1 = 0 = 1 = 2 = = 1 2 El dominio de esta función es: El recorrido de esta función es: = R = 0,
7 Analizaremos en primer lugar la función = 2 Si evaluamos algunos puntos para poder graficar, se obtiene: = 3 = 2 = 1 = 0 = 1 = 2 = 3 = = 2 El dominio de esta función es: El recorrido de esta función es: = R = 0, Si ponemos atención en las gráficas de = 2 y = podemos observar que ambas gráficas tienen un punto en común, que es (0,1). Para cualquier función exponencial de la forma =, el punto de intersección con el eje y, siempre será el punto (0,1). Esto proviene de la propiedad de potencias = 1, 0
8 Función Logaritmo La función logaritmo es de la forma = > 0; > 0 Al igual que la función exponencial, debemos considerar el valor de para iniciar el análisis. Caso < < 1 la gráfica es estrictamente decreciente Caso 2.- > 1 la gráfica es estrictamente creciente En ambos casos, la gráfica tiene una asíntota en = 0
9 Analizaremos en primer lugar la función = ( logaritmo en base 2 de x ) Si evaluamos algunos puntos para poder graficar, se obtiene: = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = = La gráfica no toma valores negativos (ni cero) en su dominio, a su vez, en su recorrido es estrictamente creciente. El dominio de esta función es: = 0, El recorrido de esta función es: = R
10 Analizaremos en primer lugar la función = ( logaritmo en base ½ de x ) Si evaluamos algunos puntos para poder graficar, se obtiene: = = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = = La gráfica no toma valores negativos (ni cero) en su dominio, a su vez, en su recorrido es estrictamente decreciente. El dominio de esta función es: = 0, El recorrido de esta función es: = R Si ponemos atención en las dos gráficas analizadas, ambas tienen en común el punto (1,0). Para cualquier función logaritmo de la forma =, el punto de intersección con el eje x, siempre será el punto (1,0). Esto proviene de la propiedad de logaritmo 1 = 0, > 0 Tanto las funciones exponencial y logaritmo son inversas entre sí.
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SEMANA 7 SEMANA 7 ÍNDICE FUNCIONES (PARTE II)... 3 APRENDIZAJES ESPERADOS... 3 INTRODUCCIÓN... 3 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES... 4 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES... 4 FUNCIONES PARES E IMPARES...
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
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x + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím
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