Traslaciones y Rotaciones de Funciones

Transcripción

1 Traslaciones y Rotaciones de Funciones Prof. Javier Vargas López, M.Sc En este documento se presentará la manera en que conociendo la forma de una gráfica de una función se puede graficar otras funciones del mismo tipo. Recordemos que la gráfica de una función f : IR IR se define como: G f = {(, y) IR /y = f()} de modo que se puede decir que la gráfica de una función son todos aquellos puntos en el Plano Cartesiano que cumplen que la y es imagen de la. Traslaciones verticales En esta sección vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f(), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = f() + k, siendo k un número real cualquiera. Para ello usaremos como ejemplo la función y =. Esta es una función real de variable real, con dominio todos los números reales. La gráfica de esta función viene dado por: En la gráfica podemos observar algunas de las propiedades de esta función:

2 La gráfica de la función es cóncava hacia arriba. La función es decreciente de ], 0[ y creciente de ]0, [ El punto mínimo es (0, 0). Ahora veamos la gráfica de la función y = + Con base en esta gráfica rellena los espacios en blanco en los siguientes ítemes: La gráfica es cóncava hacia. Es decreciente en. Es creciente en El punto mínimo es (, ). El punto mínimo se desplazó unidades hacia. Notemos que la función se puede reescribir como y =. Ahora observemos la gráfica de la función y =

3 Con base en esta gráfica rellena los espacios en blanco en los siguientes ítemes: La gráfica es cóncava hacia. Es decreciente en. Es creciente en El punto mínimo es (, ). El punto mínimo se desplazó unidades hacia. Notemos nuevamente que la función se puede reescribir como y + =. En cada caso analiza qué sucedió con la gráfica de la función en general y qué sucedió con el punto mínimo en particular. Como pudimos observar en el primer caso y = +, la función se reescribe como y = y la gráfica de la función se desplazó una unidad hacia arriba, resultando el mínimo ser (0, ). En el segundo caso y =, la función se reescribe como y + = y se desplazó una unidad hacia abajo, resultando el mínimo ser (0, ). Utilice la siguiente cuadrícula para dibujar la función y = +

4 Con base en esta gráfica rellena los espacios en blanco en los siguientes ítemes: La función ser puede reescribir como. La gráfica es cóncava hacia. Es decreciente en. Es creciente en El punto mínimo es (, ). El punto mínimo se desplazó unidades hacia. Lo observado anteriormente no sólo es válido para parábola o funciones cuadráticas sino para cualquier tipo de función. En general se puede afirmar que: Si y = f() es una función real de variable real y k una constante positiva entonces, la gráfica de la función y k = f() es la gráfica de la función y = f() desplazada k unidades verticalmente. Si k > 0 el desplazamiento es hacia arriba y si k < 0 el desplazamiento es hacia abajo.

5 Ejercicio: Con base en las gráficas de la izquierda, utilice la cuadrícula de la derecha para hacer la gráfica de la función indicada. f() = f() = f() = f() =

6 Traslaciones horizontales Ahora vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f(), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = f( + k), siendo k un número real cualquiera. Recordemos nuevamente las características de la función y =. Esta es una función real de variable real, con dominio todos los números reales. La gráfica de esta función viene dada por: Veamos ahora la gráfica de la función y = ( + ) 8 6 Al igual que anteriormente utiliza esta gráfica para rellenar los espacios en blanco en los siguientes ítemes: La gráfica es cóncava hacia. Es decreciente en. Es creciente en El punto mínimo es (, ). El punto mínimo se desplazó unidades hacia. Observemos también la gráfica de la función y = ( )

7 8 6 Nuevamente utilice la gráfica anterior para rellenar los espacios en blanco en los siguientes ítemes: La función ser puede reescribir como. La gráfica es cóncava hacia. Es decreciente en. Es creciente en El punto mínimo es (, ). El punto mínimo se desplazó unidades hacia. Como pudimos observar, en este caso también hubo un desplazamiento de la gráfica de la función, solo que esta vez fue horizontalmente. En este caso se puede afirmar que: Si y = f() es una función real de variable real y k una constante positiva entonces, la gráfica de la función y = f( k) es la gráfica de la función y = f() desplazada k unidades horizontalmente. Si k > 0 el desplazamiento es hacia la derecha y si k < 0 el desplazamiento es hacia la izquierda.

8 Ejercicio: Con base en las gráficas de la izquierda, utilice la cuadrícula de la derecha para hacer la gráfica de la función indicada. f() = f() = ( + ) f() = f() =

9 Rotaciones Para el análisis de las rotaciones observemos primero la posición que ocupa en el Plano Cartesiano el punto (, ). Este punto se encuentra en el Primer Cuadrante del Plano Cartesiano. Por otro lado, los puntos (, ) y (, ), ambos se encuentran a la misma distancia del Eje X reflejados verticalmente uno del otro. Como se puede observar en la gráfica siguiente: Como podemos observar, el punto (, ) se encuentra en el Cuarto Cuadrante del Plano Cartesiano y está a la misma distancia del Eje X que el punto (, ) reflejado verticalmente. En general podemos afirmar que el punto (, y) queda a la misma distancia del Eje X que el punto (, y) reflejado verticalmente. Como en la gráfica de una función la y de cada punto viene dado por f(), podemos afirmar que la gráfica de la función y = f() es la misma que la gráfica de la función y = f() reflejada verticalmente del Eje X. Situación que se puede observar en el siguiente gráfico, en la parte superior se muestra y = + y en la parte inferior está y = ( + ) o lo que es lo mismo y =.

10 Veamos ahora la posición que ocupa el punto (, ): Como podemos observar, el punto (, ) se encuentra en el Segundo Cuadrante del Plano Cartesiano y está a la misma altura que el punto (, ) reflejado horizontalmente, ambos quedan a igual distancia del Eje Y. En general podemos afirmar que el punto (, y) queda a la misma altura que el punto (, y) reflejado horizontalmente, ambos se encuentran a igual distancia del Eje Y. Sin embargo, cuando se trata de funciones no podemos generalizar este comportomiento (como sí hicimos anteriormente) debido al hecho de que para las funciones pares se cumple que f() = f( ) lo que provoca que las imágenes de y de sean la misma y no queden una reflejada de la otra. En el caso de las funciones podemos afirmar que, si la función es par ambos gráficas la de y = f() y la de y = f( ) son la misma, mientras que si la función es impar sí se da que la gráfica de y = f() y la de y = f( ) quedan reflejadas horizontalmente una de la otra alrededor del Eje Y. En caso de que la función no sea par ni impar, no se da ningún tipo de refleión. Para ver que ningún tipo de refleión se da en funciones que no son pares ni impares veamos el siguiente ejemplo. Sea f() = +, esta función no es par ni impar. O sea, f() f( ) ni f( ) = f(), si tomamos = obtenemos el punto en la gráfica (, ) si tomamos ahora = obtenemos el punto (, 0) evidentemente ninguno es reflejo del otro, ni horizontal ni verticalmente.