Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Transcripción

1 Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 007 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Está clasi cados por convocatorias y llevan un código como el siguiente B-, que signi ca ejercicio de la opción B del modelo 3 de la convocatoria de 007. < x 3x + a; si x 0; Ejercicio 1 (007-1-A-) (a) [1 5] Sea la función f (x) = x + bx + 1; si x > 0 Halle a y b para que la función sea continua y derivable. (b) [1 5] Calcule la primera derivada de las siguientes funciones g (x) = 3 (x 5) + L (1 x) ; h (x) = e x x Solución (Apartado a) Es claro que la función f es continua y derivable en R f0g. Para que f sea continua en x = 0, sus límites laterales deben ser iguales, lo que nos lleva a la ecuación f 0 = f 0 +, a = 1 La primera derivada de f es, al menos < 4x 3; si x < 0; x R f0g ; f 0 (x) = x + b; si x > 0 Los límites laterales de la función derivada en x = 0 son f 0 (0 ) = 3 y f 0 (0 + ) = b. Como son nitos, para que f sea derivable en x = 0, ambos deben ser iguales. Por tanto, b = concluimos que para que f sea continua y derivable (en R), los parámetros a y b deben ser a = 1 y b = 3 * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http// 3 y 1

2 (Apartado b) La primera derivada de g es g 0 (x) = 3 (x 5) (x 5) x = 1 x 1 1 (x 5) 3 Igualmente, la primera derivada de h es h 0 (x) = ex x e x 3x (x 3 + 1) = e x x 3 3x + 1 (x 3 + 1) Ejercicio (007-1-B-) (a) [1 5] Determine dónde se alcanza el mínimo de la función f (x) = 3x 6x + a. Calcule el valor de a para que el valor mínimo de la función sea 5. (b) [1 5] Calcule g 0 (3), siendo g (x) = x e 3x 1. Solución (Apartado a) Como f es una función parabólica convexa de dominio R, su mínimo (absoluto) se alcanza en su vértice, cuya abscisa es x v = b a = 6 6 = 1 Como y v = f (x v ) = f (1) = a = a 3, para que este mínimo valga 5, a debe tomar el valor. El mínimo se alcanza en x = 1, y para que valga 5, a debe valer. (Apartado b) La primera derivada de g es g 0 (x) = e 3x 1 +x e 3x 1 3 = e 3x 1 (3x + 1) Por tanto, g 0 (3) = e 10 = 0 e. g 0 (3) = 0 e Ejercicio 3 (007--A-, Junio) Para la función f R! R de nida de la forma f (x) = x 3 4x + 40x, determine (a) [1 5] Su monotonía y sus extremos relativos. (b) [1 5] Su curvatura y su punto de in exión. Andalucía Antonio Roldán

3 Solución (Apartado a) Calculamos la primera derivada de f para estudiar su monotonía y sus posibles extremos relativos f 0 (x) = 4x 16x + 40 = 4 x 7x + 10 Sus puntos críticos (donde se anula la primera derivada) son f 0 (x) = 0, x 7x + 10 = 0, x = 7 p = 7 3, x f; 5g La siguiente tabla nos indica tanto la monotonía como los extremos relativos de f f 0 + Máx Mín + f % & 5 % Por tanto, podemos decir que f es (estrictamente) creciente en ] 1; [ [ ]5; +1[, y es (estrictamente) decreciente en ]; 5[. Como f () = = 0 y f (5) = = 100; podemos también a rmar que f posee un máximo en (; 0) y un mínimo en (5; 100) (ambos son extremos relativos porque las funciones polinómicas de grado tres, consideradas sobre R, no están acotadas ni superior ni inferiormente). Monotonía Extremos < < f es (estrict.) creciente en ] 1; [ [ ]5; +1[ ; f es (estrict.) decreciente en ]; 5[ f posee un máximo relativo en (; 0) ; f posee un mínimo relativo en (5; 100) (Apartado b) Para la curvatura razonamos de manera similar utilizando la segunda derivada f 00 (x) = 4x 16 = 4 (x 7) ; f 00 (x) = 0, x = 7 El único candidato a punto de in exión tiene abscisa x = 7=, y como f 000 (7=) = 4 6= 0, con rmamos que se trata, efectivamente, de un punto de in exión. Dado que f 7 = = = 154; deducimos que el único punto de in exión de f es el punto estudia en la siguiente tabla f 00 P.I. + f \ 7= [ 7 ; 154. Además, la curvatura se Andalucía 3 Antonio Roldán

4 que nos dice que la función f es cóncava en ] 1; 7=[ y convexa en ]7=; +1[. < f es cóncava en ] 1; 7=[ ; Curvatura f es convexa en ]7=; +1[ 7 f posee un punto de in exión en ; 154 Aunque no se nos pide (y es mejor no hacerlo si no se nos solicita), tenemos datos su cientes como para dibujar la función f y x Ejercicio 4 (007--B-, Junio) (a) [] Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la grá ca de f (x) = ax b en el punto (1; 5) sea la recta y = 3x +. (b) [1] Para g (x) = e 1 x + L (x + ), calcule g 0 (1). Solución (Apartado a) Como la grá ca de f pasa por el punto (1; 5), sabemos que f (1) = 5. Además, la pendiente de la recta tangente en x = 1 es 3, por lo que f 0 (1) = 3. Como f 0 (x) = ax, traducimos estas dos condiciones en ecuaciones que cumplen los coe cientes a y b f (1) = 5, a b = 5; f 0 (1) = 3, a = 3 De la segunda ecuación, a = 3= y entonces b = a 5 = 3= 5 = 7=. a = 3 y b = 7 (Apartado b) Por otro lado, la primera derivada de g es g 0 (x) = e 1 x ( 1) + 1 x + = e1 x + 1 x + ; Andalucía 4 Antonio Roldán

5 y evaluando en x = 1 resulta que g 0 (1) = e = = 3 Ejercicio 5 (007-3-A-, Septiembre) Sea la función f R! R de nida por < x ; si x 1; f (x) = x + mx + 5; si x > 1 (a) [1] Calcule m para que la función sea continua en x = 1. (b) [1] Para ese valor de m, es derivable la función en x = 1? (c) [1] Calcule la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en x = 0. Solución (Apartado a) Para que la función sea continua en x = 1, deben coincidir los límites laterales en x = 1 entre sí y con el valor de la función en el punto. Entonces 9 f (1 ) = f (1) = 1 = = f (1 + ; f 1 = f 1 + = f (1), m+6 =, m = 4 ) = 1 + m + 5 = m + 6 Por tanto, f es continua en x = 1 si, y sólo si, m = 4 (Apartado b) Para este valor de m, la función derivada de f es, al menos < x L ; si x < 1; x 6= 1; f 0 (x) = x 4; si x > 1 Los límites laterales de f 0 en x = 1 son nitos, y valen f 0 (1 ) = lm f 0 (x) = lm (x L ) = L x!1 x!1 f 0 (1 + ) = lm f 0 (x) = lm (x 4) = x!1 + x!1 + Como son distintos, f 0 (1 ) 6= f 0 (1 + ), deducimos que la función f no es derivable (en ningún caso) en x = 1. Andalucía 5 Antonio Roldán

6 (Apartado c) Finalmente, la recta tangente a f en x = 0 se calcula con los valores f (0) = 0 = 1 y f 0 (x) = 0 L = L, y resulta ser y f (0) = f 0 (0) (x 0), y 1 = (L ) x, y = 1 + x L Hemos deducido que la recta tangente a f en x = 0 es y = 1 + x L. Ejercicio 6 (007-3-B-, Septiembre) (a) [] Sea f la función de nida para todo número real x por f (x) = ax 3 + bx. Determine a y b sabiendo que su grá ca pasa por el punto (1; 1) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es 3. (b) [1] Si en la función anterior a = 1 3 y b = extremos. 4, determine sus intervalos de monotonía y sus Solución (Apartado a) Como la grá ca de f pasa por el punto (1; 1), sabemos que f (1) = 1. Además, la pendiente de la recta tangente en x = 1 es 3, por lo que f 0 (1) = 3. Como f 0 (x) = 3ax + b, traducimos estas dos condiciones en ecuaciones que cumplen los coe cientes a y b f (1) = 1, a + b = 1 f 0 (1) = 3, 3a + b = 3 9 = ; ) a = y b = 3 (Apartado b) Por otro lado, si a = 1=3 y b = 4, la función f y su primera derivada son f (x) = 1 3 x3 4x; f 0 (x) = 1 3 3x 4 = x 4 Como f 0 se anula en x =, hacemos una tabla como la siguiente para estudiar la monotonía de la función f y sus extremos relativos. f 0 Máx Mín f % & % Como f ( ) = ( )3 3 4 ( ) = 16 3 ; f () = = 16 3 ; Andalucía 6 Antonio Roldán

7 podemos describir la monotonía y los extremos relativos de f como sigue Monotonía Extremos < f es creciente en ] 1; [ [ ]; +1[ ; f es decreciente en ] ; [ >< f posee un máximo relativo en ; > f posee un mínimo relativo en ; 3 ; >< x 3 ; si x 0; Ejercicio 7 (007-4-A-) Se considera la función f (x) = x + 1 > x + x 3; si x > 0 (a) [1 5] Estudie su derivabilidad en x = 0. (b) [1 5] Determine si existen asíntotas y obtenga sus ecuaciones. Solución Es claro que el dominio de la función f es R f 1g, pues el denominador del cociente con que está de nida f se anula, en ] 1; 0], para x = 1. (Apartado a) Es claro que f es, de entrada, continua y derivable en R f 1; 0g, y vamos a estudiar qué ocurre en x = 0. En primer lugar, estudiamos si f es continua en x = 0. (1) f (0) = 3 < f (0 ) = 3 () f (0 + ) = = 3 9 = ; ) lm x!0 f (x) = 3 (3) f (0) = lm x!0 f (x) Por tanto, f es continua en x = 0 y, podemos a rmar que f es continua en su dominio. Estudiemos ahora si f es derivable en x = 0. En primer lugar, derivemos la función x ] 1; 0[ ; f 0 (x) = x 3 x = (x + 1) (x 3) (x + 1) = 5 (x + 1) Por tanto, la primera derivada de f es, al menos, >< 5 x R f 1; 0g ; f 0 ; si x < 0; x 6= 1; (x) = (x + 1) > x + ; si x > 0 Andalucía 7 Antonio Roldán

8 Los límites laterales de la derivada de f en x = 0 son nitas, pues f 0 0 = 5 y f = No obstante, como son distintas, concluimos que la función f no es derivable en x = 0. (Apartado b) Como f es continua en R f asíntota vertical es en x = 1, y calculamos los límites laterales. x 3 lm f (x) = lm x! 1 x! 1 x + 1 = 5 Indet. 0 Esto con rma que f posee una asíntota vertical en x = 1g, el único punto donde puede presentar una = 1 1. Por otro lado, como f está de nida en ]0; +1[ como una función parabólica, a la derecha f no posee ninguna asíntota ni oblicua ni horizontal. No ocurre lo mismo a la izquierda, pues en ] 1; 1[ f está de nida como una función hiperbólica, y sabemos que debe tener una asíntota horizontal y = n, donde n = lm f (x) = lm x! 1 x! 1 x 3 x + 1 = lm x!+1 x 3 x + 1 = 1 = Por consiguiente, x = 1 es A.V. de f e y = es A.H. de f a la izquierda. Ejercicio (007-4-B-) Se considera la función f (x) = x 3 9x + 4x. (a) [] Determine los extremos relativos de f; estudie la monotonía y la curvatura. (b) [1] Represente grá camente la función f. Solución (Apartado a) La primera derivada de f es f 0 (x) = 3x puntos críticos son 3x 1x + 4 = 0, x 6x + = 0, x = 6 p 4 En la siguiente tabla estudiamos la monotonía de f y sus extremos relativos f 0 + Máx mín + f % & 4 %, 1x + 4, por lo que sus x 1 = ; x = 4 Andalucía Antonio Roldán

9 Para estudiar la curvatura, observamos que la segunda derivada de f es f 00 (x) = 6x 1 = 6 (x 3), y podemos hacer la siguiente tabla. f 00 PI + f \ 3 [ Como f () = 0 y f (4) = 16, hemos deducido lo siguiente. Extremos Curvatura < < f posee un máximo relativo en (; 0) ; f posee un mínimo relativo en (4; 16) f es cóncava en ] 1; 3[ ; f es convexa en ]3; +1[ (Apartado b) Con la información anterior y sabiendo que (3; 1) es un punto de in exión, podemos dibujarla. y x Ejercicio 9 (007-5-A-) Se considera la función de nida por < x x + 6; si x 1; f (x) = x + x 6; si x > 1 (a) [1 5] Estudie la continuidad y derivabilidad de f. (b) [1] Represente la grá ca de f. (c) [0 5] Indique los extremos relativos de la función. Solución (Apartado a) Es claro que, de entrada, f es continua y derivable en R f1g, pues en los intervalos abiertos ] 1; 1[ y ]1; +1[ está de nida de forma polinómica. Nos queda por Andalucía 9 Antonio Roldán

10 estudiar la continuidad y la derivabilidad de f en x = 1. Veamos primero la continuidad. (1) f (1) = + 6 = 0 < f (1 ) = + 6 = 0 () f (1 + ) = + 6 = 0 9 = ; ) lm x!1 f (x) = 0 (3) f (1) = lm x!1 f (x) Por consiguiente, f es continua en x = 1. La primera derivada de f es, al menos, < 4x ; si x < 1; x R f1g ; f 0 (x) = 4x + ; si x > 1 Los límites laterales de la derivada de f en x = 1 son nitos, pues f 0 1 = 4 = 4 y f = 4 + = 4 No obstante, como son distintos, concluimos que f no es derivable en x = 1 y, así, hemos deducido que la función f es continua en R y derivable en R f1g. (Apartado b) Para representar grá camente f, sólo tenemos que hacer una tabla de valores completa, observando que las parábolas que de nen f a trozos tienen el vértice en la abscisa x =. y 10 x f (x) f x 10 (Apartado c) Como se aprecia en la representación grá ca anterior, los extremos relativos de f son los siguientes. Extremos < f posee un máximo relativo en (; ) ; f posee un mínimo relativo en (1; 0) Andalucía 10 Antonio Roldán

11 >< x k ; si x > 0; Ejercicio 10 (007-5-B-) Sea la función f (x) = x + 1 > x + x + 1; si x 0 (a) [] Calcule el valor de k para que la función f sea continua en x = 0. Para ese valor de k, es f derivable en x = 0? (b) [1] Para k = 0, calcule lm f (x) y lm f (x). x!+1 x! 1 Solución (Apartado a) Obsérvese que, en este ejercicio, f está de nida a la izquierda y a la derecha de x = 0 en el orden contrario a como solemos escribir las funciones a trozos, por lo que cabe la posibilidad de equivocarnos. Merece la pena escribir f de la forma >< x + x + 1; si x 0; f (x) = > x k ; x + 1 si x > 0 Para que f sea continua en x = 0, sus límites laterales en x = 0 deben ser iguales, por lo que llegamos a f 0 = f 0 +, = k 1 Con este valor, f es continua en x = 0 pero observamos que x k x + 1 = x ( 1) x + 1, k = 1, k = 1 = x + 1 x + 1 = 1 Por tanto, para este valor, la función f queda expresada como < x + x + 1; si x 0; f (x) = 1; si x > 0 La primera derivada de f es, al menos, < x + ; si x < 0; x R f0g ; f 0 (x) = 0; si x > 0 Los límites laterales de la derivada de f en x = 0 son nitos, pues f 0 0 = 0 + = y f = 0 No obstante, como son distintos, concluimos que f no es derivable en x = 0. Andalucía 11 Antonio Roldán

12 (Apartado b) Si k = 0 la función f queda expresada como >< x + x + 1; si x 0; f (x) = x > ; si x > 0 x + 1 Entonces lm f (x) = x!+1 lm x!+1 x x + 1 = lm x! x = = 1; lm f (x) = lm x! 1 x! 1 x + x + 1 = lm x!+1 x x + 1 = +1 Por consiguiente, lm f (x) = 1 y lm f (x) = +1 x!+1 x! 1 Ejercicio 11 (007-6-A-) El bene cio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función >< 5x + 40x 60; si 0 x 6; f (x) = > 5x 15; si 6 < x 10 donde x representa el gasto en publicidad, en miles de euros. (a) [0 75] Represente la función f. (b) [0 75] Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas. (c) [0 75] Para qué gastos en publicidad se producen bene cios nulos? (d) [0 75] Calcule el gasto en publicidad que produce máximo bene cio. Cuál es ese bene cio máximo? Solución (Apartado a) El dominio de la función f es el intervalo [0; 10] y está expresada como un trozo de parábola cóncava (de vértice x = 4) y un trozo de recta creciente. Para dibujarla en Andalucía 1 Antonio Roldán

13 este intervalo, basta con hacer una tabla de valores completa. x f (x) y x (Apartado b) A partir de x = (es decir, de 000 e), el bene cio es una función no negativa, por lo que la empresa no tendría pérdidas. La empresa no tiene pérdidas a partir de 000 e invertidos en publicidad. (Apartado c) Los puntos en los que la función corta al eje OX son los momentos en los que no hay ni bene cio ni pérdida, y se alcanzan en x = y en x = 6. La empresa tiene bene cio nulo invirtiendo en publicidad o bien 000 e o bien 6000 e. (Apartado d) Como f (4) = 0 y f (10) = 10, el bene cio máximo se alcanza invirtiendo 4000 e en publicidad. El bene cio máximo, que es de 0000 e, se alcanza invirtiendo 4000 e en publicidad. Ejercicio 1 (007-6-B-) (a) [1 5] La función f (x) = x 3 +ax +bx tiene un extremo relativo en x = y un punto de in exión en x = 3. Calcule los coe cientes a y b y determine si el citado extremo es un máximo o un mínimo relativo. (b) [1 5] Calcule la ecuación de la recta tangente a la grá ca de la función g (x) = el punto de abscisa x = 3. x x en Solución (Apartado a) Al ser f una función polinómica, sabemos que f es continua y derivable en R (cuantas veces se desee), y sus dos primeras derivadas son f 0 (x) = 3x + ax + b y f 00 (x) = 6x+a, para cada x R. Como f posee un extremo relativo en x =, obligatoriamente Andalucía 13 Antonio Roldán

14 f 0 () = 0, y como posee un punto de in exión en x = 3, debe cumplirse que f 00 (3) = 0. Traducimos estas condiciones en ecuaciones f 0 () = 0, 1 + 4a + b = 0, 4a + b = 1; f 00 (3) = 0, 1 + a = 0, a = 9 De aquí deducimos que a = 9 y b = 4 Con estos coe cientes, f 00 () = 1 + a = 1 1 = 6 < 0, lo que nos dice que x = es un máximo relativo de f. (Apartado b) Como g 0 (x) = x x (x ) = ; x R fg ; (x ) tenemos que g (3) = 3 y g 0 (3) = g en el punto de abscisa x = 3 es. Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la grá ca de y g (3) = g 0 (3) (x 3), y 3 = (x 3), y = x + 9 Andalucía 14 Antonio Roldán