Trasformación de funciones

Transcripción

1 Trasformación de funciones Cuando nos referimos a trasformaciones en las funciones, reconocemos que la gráfica de una función se puede mover en el plano cartesiano, es decir se puede: desplazar, reflejar se puede alargar o comprimir. A estos fenómenos también se les conoce como desplazamiento en las funciones. Para lograr estas trasformaciones reconoceremos que eiste una función primitiva (original) una función trasformada. Tampoco nos olvidemos que toda función depende de su variable, por lo que es natural que ante cualquier cambio a la variable, entonces generaremos una variación. Desplazamiento vertical de una función: Si f ( ) es la función primitiva e f ( ) a es la función trasformada, se observa que para todo valor de, siempre será posible añadir fuera de la función un valor a (constante) que incrementará cada uno de los valores de f ( ), obteniéndose como consecuencia una Traslación vertical. f ( ) a f ( ) a Si a>0 eiste un desplazamiento vertical hacia arriba Si a<0 eiste un desplazamiento vertical hacia abajo Obsérvese en el siguiente grafico la trasformación de traslación vertical:

2 Desplazamiento horizontal de una función: Si f ( ) es la función primitiva e f ( a ) es la función trasformada, obsérvese que para todo valor de, siempre será posible añadir o retirar dentro de la función un valor a (constante) obteniéndose como consecuencia una traslación horizontal. f ( a ) f ( a ) Si a<0 eiste un desplazamiento horizontal hacia la derecha Si a>0 eiste un desplazamiento horizontal hacia la izquierda Estiramiento o encogimiento vertical de una función: Si f ( ) es la función primitiva e a f ( ) es la función trasformada, obsérvese que para todo siempre será posible multiplicar fuera de la función un valor a (constante) obteniéndose como consecuencia un estiramiento o encogimiento vertical.

3 a f ( ) a f ( ) Si a>1 eiste un encogimiento vertical de la función Si 0<a<1 eiste un estiramiento (ensanchamiento) vertical de la función en el siguiente grafico la trasformación: Encogimiento (en azul), o estiramiento (en rojo) 3 0, 5 Encogimiento o alargamiento horizontal de una función: Si f ( ) es la función primitiva e f ( a ) es la función trasformada, obsérvese que para todo siempre será posible multiplicar dentro de la función un valor a (constante) obteniéndose como consecuencia un encogimiento o alargamiento horizontal f ( a ) f ( a ) Si a>1 eiste un encogimiento horizontal de la función Si 0<a<1 eiste un alargamiento horizontal de la función f ( ) sen f ( ) sen () f ( ) sen (0,8)

4 Simetría respecto a los ejes de una función: Si f ( ) es la función primitiva e f ( ) ó f ( ) es la función trasformada, obsérvese que para todo siempre será posible multiplicar fuera o dentro de la función un valor -1 (constante) obteniéndose como consecuencia Simetría respecto a los ejes X, Y del plano f ( ) f ( ) Eiste Simetría respecto al eje X del plano Eiste Simetría respecto al eje Y del plano f ( ) f ( ) - f ( )

5 En resumen: Conclusiones Las trasformaciones observadas se aplican para cualquier función f ( ) Si conocemos la gráfica de una función f ( ) su ecuación se modifica con un número real de valor absoluto c (cualquier número positivo), que sume algebraicamente, la nueva grafica será fácil de realizar. Las trasformaciones producidas pueden ser: Desplazamientos horizontales con: f ( c ) Hacia la izquierda f ( c ) Hacia la derecha Desplazamientos verticales con. f ( ) c Hacia arriba f ( ) c Hacia abajo