y = f(x) = (10,000)2 x

Transcripción

1 SESION. EXPONENTES Y LOGARITMOS.. Eponentes.. Importancia de los eponentes Funciones eponenciales 0,000 = (0,000) 40,000 = (0,000) 80,000 = (0,000) 3 Usamos b > 0 para evitar las raíces de números negativos, como en el caso de (-4) / = 4. Imagine usted que un cultivo de bacterias crece con tal rapidez que, a cada hora, el número de bacterias se duplica. En estas condiciones, sí había 0,000 bacterias cuando el cultivo empezó a crecer, el número habría aumentado a 0,000 después de una hora, habría 40,000 después de horas y así, sucesivamente. Se vuelve razonable decir que y = f() = (0,000) nos da el número de bacterias presentes después de horas. Esta ecuación define una función eponencial con la variable independiente y la variable dependiente (o función) y. Una función como f() = b, que tiene a la variable como eponente, se conoce con el nombre de función eponencial. Estudiaremos este tipo de funciones con la suposición de que la base numérica b > 0. Por ejemplo, tomemos en consideración la función y = f() = con su gráfica. Observe lo siguiente:. La función se define para todos los valores reales de. Cuando es negativa, podemos aplicar la definición de los eponentes negativos. Así, para = -, 4 El dominio de la función es el conjunto de los números reales.. Para todos los reemplazos, de, la función adquiere un valor positivo. O sea, no puede representar jamás un número negativo y tampoco es posible que se haga igual a cero. El rango de la función es el conjunto de los números reales positivos. 3. Por último, como ayuda para elaborar la gráfica, se pueden localizar unos cuantos pares ordenados de números específicos. La función creciente y la curva resulta cóncava hacia arriba. El eje de las es una asíntota horizontal, etendida hacia la izquierda.

2 Si se desea, la eactitud de esta gráfica se puede mejorar usando más puntos. Por ejemplo, tomamos en cuenta valores racionales de, como o 3 : Se da el valor correcto de tabla I del apéndice con aproimación hasta décimos, tomando de la Usar valores irracionales para como o π,constituye una cuestión completamente diferente. (Recuerde usted que nuestro desarrollo de los eponentes se detuvo en los racionales.) Dar un significado preciso a uno de estos números queda fuera del alcance de este curso. Resulta, empero, que la forma indicada de la curva correspondiente a y = es correcta y puede lograr que se acomoden en la curva las definiciones formales de ciertos valores, como. Se puede usar una calculadora para entender mejor los números como estas potencias de, con aproimación hasta diezmilésimos.. Por ejemplo, verifique usted.4 = = = =.665

3 Dado que los eponentes con decimales están acercándose cada vez más al número irracional, las potencias correspondientes se aproiman a. Así, las aproimaciones eponenciales sugieren que.67, con la aproimación hasta centésimos. Ahora, encuentre usted directamente con una calculadora y compare los resultados. En estudios más avanzados se puede demostrar que, para cualquier base positiva a y b. se cumplen las siguientes reglas de los eponentes, representados por números reales cualesquiera, r y s. b r b s b rs b r b s brs b r s b rs r a r b r ab b 0 b r b r Nuestro trabajo previo con estas mismas reglas, para eponentes racionales, puede servir de base ahora para aceptar estos resultados. EJEMPLO Elabore la gráfica de la curva correspondiente a y = 8 tabla de valores. en el intervalo [-, ], usando una Solución Hasta aquí hemos restringido nuestra atención a las funciones eponenciales de la forma y = f() = b, donde b >. Todas estas gráficas tienen la misma forma de la función y =. Para b =, y = b = = para todo valor de. Como en este caso se trata de una función constante. f() = l, no usamos la base b = en la clasificación de las funciones eponenciales. Ahora, eploremos las funciones eponenciales y = f() = b para las cuales tenemos: 0 < b <. En particular, si b, tenemos: y ; o sea: y = -.

4 Todas las curvas correspondientes a y = b, para 0 < b <, tienen la misma forma básica. La curva es cóncava hacia arriba, la función resulta decreciente y la recta definida por y = O es una asíntota horizontal que se etiende hacia la derecha. También es posible elaborar la gráfica de y g relacionándola con la gráfica de y f. Como g f, los valores de y para la función g son los mismos valores de y correspondientes a f, pero en el lado opuesto del eje de las y. En otras palabras, la gráfica de g es el reflejo de la gráfica de f, respecto del eje de las y. EJEMPLO Use la gráfica de y = f() = para trazar las curvas definidas por y g 3 e y h Solución Como g() = f( - 3), es posible obtener la gráfica de g desplazando la gráfica de y = tres unidades hacia la derecha. Además, dado que h() = f() -, la gráfica de h se puede elaborar desplazando la de y = una unidad abajo.

5 La gráfica de g se obtiene mediante la traslación de la gráfica de f tres unidades hacia la derecha. La gráfica h se encuentra trasladando la de f una unidad hacia abajo. Hemos analizado funciones de la forma y = f() = b para valores específicos de b. En cada caso, es preciso que usted advierta que las gráficas pasan por el punto (0, ), ya que y = b 0 =. Por otra parte, cada una de esas gráficas tiene el eje de las como asíntota unilateral y no hay ninguna abscisa al origen. A continuación, se resumen éstas y otras propiedades de y = f() = b, para b > 0 y b. PROPIEDADES DE y = f() = b. El dominio consiste en todos los números reales.. El rango consta de todos los números positivos y. 3. La función es creciente (la curva asciende) cuando b >, y decreciente (la curva desciende) cuando 0 < b <. 4. La curva es cóncava arriba para b > y para 0 < b <. 5. Es una función biunívoca. 6. El punto (0, ) está en la curva. No hay abscisas al origen. 7. El eje de las es una asíntota horizontal de la curva hacia la izquierda, para b >, y hacia la derecha para 0 < b <. 8. b b = b + ; b /b = b - ; (b ) = b. Algunas veces es posible aplicar esta forma de la propiedad de las funciones biunívocas para resolver ecuaciones. La propiedad de las funciones biunívocas se pueden epresar de esta manera: Si f( ) = f( ), entonces: =. Es decir: como f( ) y f( ) representan el mismo valor del rango sólo puede haber un valor correspondiente en el dominio; en consecuencia, l =.Usando f() = b esta aseveración significa lo siguiente: Si b = b, entonces: =.

6 Esta propiedad se puede aprovechar para resolver ciertas funciones eponenciales, como Primero, observamos que 65 se puede epresar como Gracias a que la función f(t) = 5 t es biunívoca, podemos igualar los eponentes y resolver la ecuación para. = 4 = ( = o también: = -) Para verificar estas soluciones, advertiremos que y también ADVERTENCIA: a b c significa general, a b c a b c a b, en tanto que Los siguientes ejemplos ilustran más el aprovechamiento de que estas funciones sean biunívocas para resolver ecuaciones eponenciales. EJEMPLO 3 Resuelva para : c. 8 3 a b c a b c a b c. Por lo tanto, en Solución Escribimos 8 como 3 4 y como 3-(-) Propiedad de la función biunívoca Verifique usted este resultado en la ecuación original. EJEMPLO 4 Resuelva para :b Solución Observamos que se puede escribir en la forma b 0. De esta manera, tenemos b b 0 0 Si b b, entonces : 0 0 o bien :

7 Verifique usted ambos resultados en la ecuación original. VERIFIQUE SU COMPRENSION Resuelva para EJERCICIOS Elabore la gráfica de la función eponencial f utilizando una breve tabla de valores. Luego, aproveche esta curva para utilizar la gráfica de g. Indique las asíntotas horizontales f ; f 5 ; f 3 ; f g 3. g 5 g 3 4 g 8. 4 f 3; g f 3 3 ; g f 3 ; g 3 f 4 ; 6. f 8 ; 9. g 4 g 8 3 f ; g ( ) 3 Trace las curvas de cada ejercicio en los mismos ejes coordenados.. y 3, y, y 5. y, y, y y, y, y (Sugerencia: Reste las ordenadas). 3. y, y Aplique la propiedad de que una función eponencial es biunívoca para resolver con la función adecuada cada una de las ecuaciones indicadas b ,000

8 En el mismo sistema de ejes coordenados, elabore las gráficas de las funciones y = e y =, para el intervalo [0, 5]. (Utilice una unidad de medida más grande en el eje de las que en el eje de las y.) Cuáles son los puntos de intersección? 34. Use una calculadora para verificar que Luego, anote en la tabla las potencias de, redondeando cada anotación con una aproimación hasta de cuatro cifras decimales (hasta diezmilésimos). X Con base en los resultados anteriores. cuál es su aproimación para 3 hasta milésimos? Ahora encuentre directamente el valor de 3 en la calculadora y compare ambos resultados. 35. Aplique las instrucciones del Ejercicio 34 con estos números: (a) 3 (b) 3 3 (c) 5 (d) 4 *36. Resuelva para Resuelva para Funciones logarítmicas En la sección anterior, se hizo hincapié en que y = f() = b, para b > 0 y para b l. es una función biunívoca. Como cada función biunívoca tiene una inversa, se deduce que f tiene una inversa. La gráfica de g, la función inversa, es el reflejo de y = f() al otro lado de la recta definida por y =. He aquí dos casos típicos, para b > y para 0 < b <. Recuerde usted que, f es la notación usada para representar a la inversa de la función f.

9 La ecuación correspondiente a g, la función inversa, se puede obtener intercambiando el papel que desempeñan las variables, de la manera siguiente: Función f: y f b Función inversa g: gy b y Por lo tanto, = b y es la ecuación correspondiente a g. Infortunadamente, no contamos con ningún método para resolver = b y y epresar el valor de y eplícitamente, en función de. Para vencer esta dificultad, se ha ideado una nueva terminología. La ecuación = b y nos dice que y es el eponente de la base b que produce. En situaciones como ésta, se usa la palabra logaritmo en lugar de eponente. Entonces, un logaritmo es un eponente. Ahora, podemos decir que y es el logaritmo de base b que produce. Esta definición se puede abreviar así: y = logaritmo b, y se abrevia más todavía para llegar a la forma definitiva: y = Nota: y = b e y = son funciones inversas. que se lee así: y es el log de en la base b o y es el log de base b de. Es importante advertir que sólo estamos definiendo (no demostrando) que la ecuación y = tiene el mismo significado que = b y. En otras palabras, estas dos formas son equivalentes: Forma eponencial: = b y Forma logarítmica: y = Y, como son equivalentes, definen las misma función g: y = g() = Y ya sabemos que y = f() = b e y = g() = son funciones inversas. En consecuencia, tenemos lo siguiente: f g f b y gf b b EJEMPLO Escriba la ecuación de g, la función inversa de y = f() = y elabore las gráficas de ambas en los mismos ejes coordenados. Solución La inversa g tiene la ecuación y = f() =, y su gráfica se puede obtener reflejando y = f() = al otro lado de la recta definida por y =.

10 VERIFIQUE SU COMPRENSION. Encuentre la ecuación de la inversa de y = 3 elabore la gráfica de ambas funciones en los mismos ejes.. Encuentre la ecuación de y y elabore la gráfica de las funciones en los mismos ejes. 3 Sea y = f() = log 5, Describa usted como se puede obtener la gráfica de cada una de las siguientes funciones, a partir de la gráfica de f g log 5 4. g log 5 6. g log 5 g log 5 Encontramos y = intercambiando el papel que desempeñan las variables de y = b.. Como consecuencia de este intercambio, también se intercambian los dos dominios y rangos de las dos funciones. Por consiguiente, El dominio de es igual al rango de y = b. El rango de y = es igual al dominio de y = b. Estos resultados se incorporan a la siguiente lista de propiedades importantes de la función y =, donde b > 0 y b. PROPIEDADES DE y = f() =. El dominio consiste en todos los números positivos.. El rango consta de todos los números reales y. 3. La función crece (la curva asciende) para b > y decrece (la curva desciende) para 0 < b <. 4. La curva es cóncava hacia abajo para b > y cóncava hacia arriba para 0 < b < l. 5. Es una función biunívoca; si ( ) = ( ), entonces = 6. El punto (, 0) está en la gráfica. No hay ordenada al origen. 7. El eje de las y es la asíntota vertical de la curva, en sentido descendente, para b >, en sentido ascendente para 0 < b <. 8. b y b.

11 EJEMPLO Encuentre el dominio de y = log ( - 3). Solución En y = log ( - 3, la epresión - 3 desempeña el mismo papel de la en log. Por lo tanto, - 3 > 0, y el dominio consiste en cada > 3. ADVERTENCIA: No confunda usted = b y con su inversa y = b. Estas dos formas no son equivalentes. La siguiente tabla suministra varios ejemplos específicos de la equivalencia entre estas dos formas. En cada caso, la epresión en la forma logarítmica. a la izquierda, es equivalente a la que aparece en la columna de la derecha. Forma logarítmica = y Forma eponencial b y = Log 5 5 = 5 = 5 Log 7 9 = /3 7 /3 = 9 Log 6 /36 = = /36 = 0 b 0 = De las formas, y = y = b y, generalmente es más fácil trabajar con la eponencial. En consecuencia, cuando surge un problema concerniente a y =, con frecuencia es conveniente convertir la epresión en la forma eponencial. Por ejemplo, para calcular el valor de log 9 7, escribimos y = log 9 7 Luego, convertimos y = log 9 7 en la forma eponencial. Así: 9 y = 7 Para resolver esta ecuación eponencial, volvemos a escribir cada lado usando la misma base. Es decir: como 7 = 3 3 y 9 y = (3 ) y = 3 y, tenemos 3 y = 3 3 y = 3 (f(t) = 3 t es una función biunívoca) y = 3/ EJEMPLO 3 Resuelva para b: 8 = 3/4 Solución La convertimos en la forma eponencial. b 3/4 = 8 Elevamos la potencia 3/4 de ambos lados. (b 3/4 ) 4/3 = 8 4/3

12 b = EJERCICIOS Elabore la gráfica de la función f. Refleje esta curva al otro lado de la recta definida por y = para obtener la gráfica de g, la función inversa, y escriba la ecuación de g. l. y = f() = 4. y = f() = 5 3. y = f() = (/3) 4. y = f() = (0.) Describa cómo se puede obtener la gráfica de h a partir de la gráfica de g. Encuentre el dominio de h y escriba la ecuación de la asíntota vertical. 5. g() = log 3 ; h() = log 3 ( + ) 6. g() = log 5 ; h() = log 5 ( - l) 7. g() = log 8 ; h() = + log 8 8. g() = log 0 ; h() = log 0 Elabore la gráfica de f y señale su dominio. 9. f() = log 0 0. f() = -log 0. f() = log 0. f() = log 0 (-) 3. f() = log 0 4. f() = log /0 ( + ) Convierta cada epresión eponencial en forma logarítmica = = /5 7. (/3) - = /4 = = 0. (/49) -/ = 7 Convierta cada epresión logarítmica en forma eponencial.. log = -4. log 64 4 = /3 3. log 4. log 3 3 = 5. log /78 = log 7/8 9/4 = /3 Resuelva para la cantidad indicada: y, o b. 7. log 6 = y 8. log / 36 = y 9. log /3 7 = y 30. log 7 = - 3. log /6 = 3 3. log 8 = y = = 3/ 35. /8 = -3/ 36. log 00 0 = y 37. log 7 3 = y 38. log /6 = / /8 = log 8 = /7 = -3/ 4. log log 8 y /8 = log = y 46. log 0. 5 = y 47. log 9 = Calcule el valor de cada epresión 48. log (log 4 56) 49. log 3/4 (log /7 8 ) Intercambiando el papel que desempeñan las variables, encuentre la función inversa g. Demuestre que (f o g)() = y (g o f)() =. *50. y = f() = + *5. y = f() = log 3 ( + 3)

13 3. Leyes de los logaritmos Para las leyes de los eponentes, tenemos 3 4 = 3+4 = 7 Ahora, concentrémonos nada más en la parte eponencial: = 7 Los tres eponentes incluidos aquí se pueden epresar como logaritmos. 3 = log 8 porque 3 = 8 4 = log 6 porque 4 = 6 7 = log 8 porque 7 = 8 Sustituir estas epresiones en = 7, nos da: Además, como 8 = 8 6, tenemos log 8 + 0g 6 = log 8 log 8 + log 6 = log (8 6) Este es un caso especial de la primera ley de los logaritmos: LEYES DE LOS LOGARITMOS Si M y N son positivos, b > 0 y b, entonces: LEY. MN = M + N LEY. M/N = M - N LEY 3. (M K ) = k N LEY 4. log A N = N/ a La ley dice que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Puede usted dar interpretaciones semejantes de las leyes y 3? Como los logaritmos son eponentes, no es de asombramos que estas leyes se puedan demostrar usando las reglas adecuadas de los eponentes. A continuación, aparece una demostración de la ley ; las demostraciones de las leyes y 3 se dejan como ejercicios. Sean: M = r y N = s Convertimos en la forma eponencial: Recuerde: si = y, entonces: b y =. M = b r y N = b s

14 Multiplicamos las dos ecuaciones: MN = b r b s = b r+s Luego, convertimos esta epresión en la forma logarítmica: MN = r + s Sustituimos r y s por sus equivalentes para obtener el resultado final: MN = M + N EJEMPLO Para los números positivos A, B y C, demuestre que AB C A B C AB Solución C AB C (Ley ) A B C (Ley ) A B C (Ley 3) EJEMPLO Escriba / 3 ( - ) como el logaritmo de una sola epresión en. Identifique usted las leyes de los logaritmos que se aplican en los Ejemplos y 3. Solución EJEMPLO 3 Dados: = y 3 =.0986, encuentre usted: Solución

15 3 3 VERIFIQUE SU COMPRENSION Este ejemplo indica que, para cierto número b, que sirve de base, b 0.03 =, b.0986 = 3 y b.44 =. Convierta los logaritmos dados en epresiones que incluyan A. B y C. A AB. ABC. 3. BC C 3 A B A 4. AB C C BC 3 Transforme cada epresión en el logaritmo de una sola epresión en ( - ) - 3 ( + ) 0. - ( - ) - ( - ) Use la información dada en el Ejemplo 3 para encontrar estos logaritmos EJEMPLO 4 Resuelva para : log 8 ( - 6) + log 8 ( + 6) =. Solución Primero, observamos que en log 8 ( + 6) debemos tener - 6 > 0; o sea: > 6. De manera parecida, ( + 6) eige que tengamos > - 6. Por consiguiente, las únicas soluciones, si las hay, deben satisfacer la condición: > 6. Log 8 ( - 6) + log 8 ( + 6) = Log 8 ( - 6)( + 6) = (Ley ) ADVERTENCIA! Log 8 ( - 36) = log - 36 = 8 8 ( - 36) (convertimos en la forma eponencial) log 8 log = 0 ( + 0)( - 0) = 0 = -0 o bien: = 0 Las únicas soluciones posibles son -0 y 0. Nuestra observación inicial de que > 6 elimina automáticamente al -0. (Si no se hubiera hecho esa observación inicial, el -0 se habría eliminado de todos modos, al verificar en la ecuación dada). El valor = 0 se puede verificar de la manera siguiente:

16 Log 8 (l0-6) + log 8 (l0 + 6) = log log EJEMPLO 5 Resuelva para : log 0 ( 3 - ) log 0 ( + + ) =. Solución Verificación: log 0 3 log 0 3 log 0 (Ley ) log 0 (factorizando) log 0 0 ( Por qué?) Log 0 ( 3 - ) log 0 ( + + ) = log log = log 0 33 = log 0 0 = EJEMPLO 6 Resuelva para : log 3 log 3 ( + 5) = 0. Solución log 3 - log 3 ( + 5) = 0 log Verificación: log 3 (5) - log 3 (5 + 5) = log log 3 0 = 0 Algunas veces, es conveniente resolver una ecuación logarítmica aplicando la propiedad de que las funciones logarítmicas son biunívocas. Esta propiedad (epuesta en la página 367) dice así: Si M = N, entonces: M = N.

17 He aquí, por ejemplo, la solución de la ecuación del Ejemplo 6 con la aplicación de esta propiedad. log 3 - log 3 ( + 5) = 0 log 3 = log 3 ( + 5) = + 5 (por ser una función biunívoca) = 5 PRECAUCION: APRENDA A EVITAR ERRORES COMO ESTOS MAL BIEN A + B = (A + B) A + B = AB ( - 4) = - 4 ( - 4) = ( + ) ( - ) = ( + ) + ( - ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) A B log A b A A B B B Si = (3 + 4), Si = (3 + 4), Entonces: = Entonces: = (3 + 4) ( + ) = ( + ) ( + ) no se puede simplificar más. EJERCICIOS 3 Aplique las leyes de los logaritmos (hasta donde sea posible) para convertir los logaritmos en epresiones que incluyan sumas, diferencias, y múltiplos de los propios logaritmos Convierta cada epresión en el logaritmo de una sola epresión en. 7. ( + ) - ( + ) 8. + ( - ) ( + ) - ( - 4) ( + 5). Use las leyes adecuadas de los logaritmos para eplicar por qué es correcta cada epresión = = log 8 b Encuentre los logaritmos usando las leyes de los propios logaritmos y la siguiente información: = 0.300, 3 = y 5 = Suponga que todo los logaritmos tienen la misma base b. 7. (a) log 4 (b) log 8 (c) log / 8. (a) log (b) log 9 (c) log

18 9. (a) log 48 (b) log /3 (c) log 5 0. (a) log 50 (b) log 0 (c) log 5/6. (a) 3 log 5 (b) log 0 3 (c) log 900. a) log 0. (b) log 0.5 (c) log.4 Resuelva para y verifique 3. log 0 + log 0 5 = 4. log 0 + log 0 5 = 5. log 0 5 log 0 = 6. log 0 ( + ) + log 0 = 7. log ( - 5) + log ( - 5) = 8. log 3 + log 3 ( + 5) = 4 9. log l6 + log l6 ( - 4) = 5/4 30. log ( ) - log ( - ) = 3 3. log 0 (3 - ) log 0 ( - ) = - 3. log l0 (3-5 - ) log 0 ( - ) = 33. log /7 + log /7 (5-8) = log /3 - log l/3 (0-9) = log 0 ( 3 - ) log 0 ( + + ) = log 0 ( - ) = log 5 log 5 (5-4) = / 38. log 3 (8 3 + ) log 3 (4 - + ) = b r *39. Demuestre la ley. (Sugerencia: guíese con la demostración de la ley l, usando b s brs ) *40. Demuestre la ley 3. (Sugerencia: use (b r ) k = b rk.) *4. Demuestre para : ( + ) b =. *4. Resuelva para : log N N =. *43. Resuelva para : log () 3 = 4. *44. (a) Eplique por qué b =. (b) Demuestre que ( a)(log a b) = l. (Sugerencia: aplique usted la ley 3 y el resultado b logb =.) *45. Utilice B logbn = N para obtener: log B N log N b (Sugerencia: empiece tomando el logaritmo de ambos B lados en la base b).