Universidad de Antioquia

Transcripción

1 Introducción Funciones eponenciales Instituto de Matemáticas * Facultad de Ciencias Eactas Naturales Unviersidad de Anquioquia Medellín, de julio de 0 El número e es un número real trascendente, es decir que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales Fue propuesto por el matemático suizo Leonhard Euler en el año 0 Eisten varias formas de definir este número: como el límite de una sucesión, como una serie también eiste una definición geométrica Por tratarse de un número irracional, tiene representación decimal no-periódica infinita Hasta el año 009 Shigeru Kondo Steve Pagliarulo habían encontrado 00 mil millones de cifras decimales del número e La función eponencial natural) es una función que tiene como base al número e como más adelante veremos, es una de las funciones más importantes en matemáticas, a que presenta propiedades mu interesantes que resultan de gran utilidad en diferentes disciplinas de estudio como la física, la química la economía, entre otras Una de las Figura : Leonhard Euler propiedades matemáticas de la función eponencial es que es la única función que coincide con su derivada concepto que puedes estudiar en el Semillero de Introducción al Cálculo) Esta función es un caso particular de una familia de funciones de la forma a,a > 0, a, también denominadas funciones eponenciales que definiremos en este taller A partir de estas funciones, definiremos en el próimo taller las funciones logarítmicas como las inversas de las funciones eponenciales Función eponencial En el primer módulo vimos que Para todo a R todo entero positivo n, a n = } a a a {{ } a 0 =, si a 0 a n = n veces Para eponentes racionales vimos que Para todo a R todo par de enteros positivos m n, con n para el cual n a eiste, a /n = n a a m/n = n a m = n a) m a m/n = a m/n * Esta obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial Colombia a n

2 Instituto de Matemáticas, Por lo anterior, sabemos lo que significa la epresión a cuando el eponente es un número racional = m/n, pero qué significa la epresión a cuando no es racional? Por ejemplo, sabemos que no eisten enteros m,n tales que = m n Qué significa entonces? Una manera de responder a esta pregunta es aproimando = por medio de números racionales:,,,,,, ) A medida que el eponente racional se aproima a, la epresión se aproima a ver ejercicio??)): cuando ) Realizaremos una tabla de valores para graficar = con algunos cuantos valores racionales utilizaremos la idea de aproimación epuesta en ) para bosquejar la gráfica de f) = con R no sólo racional) A esta función se le llama función eponencial de base f) = -0 0 = = 8 = 0 - = = 0 - = = = = = = = 0 - -,/) 0,) -,/8) -,/) ,),) Observación Notemos que a medida que crece ), los valores de la función = se incrementan arbitrariamente ) Por otra parte, a medida que decrece ), los valores de la función decrecen hasta volverse casi cero 0) En este caso se dice que el eje, es decir la recta = 0, es una asíntota horizontal Consideremos ahora la función eponencial g) = ) de base Realizaremos el mismo procedimiento empleado para la función eponencial de base g) = ) -0 ) 0 = 0 - ) = 8 - ) = - ) = 0 ) 0 = ) = ) = ) = 8 0 ) 0 = ,8) - -,) - -,) - 8,8) 0,),/),/),/8)

3 Instituto de Matemáticas, Observación Notemos que a medida que aumenta ), los valores de la función = decrecen hasta volverse casi cero 0) A medida que decrece ), los valores de la función = ) aumentan arbitrariamente ) En este caso el eje, la recta = 0, es una asíntota horizontal Definición Función eponencial de base a) La función f : R R + dada por f) = a con 0 < a < ó a > se denomina función eponencial de base a Observación En la definición de función eponencial, requerimos que la base a sea un número positivo para evitar que surgan raíces de números enteros negativos, por ejemplo ) / Ecluimos que la base sea a = pues en ese caso f) = = no tiene inversa por no ser inectiva necesitamos que la función eponencial sea biectiva, pués su inversa nos va a permitir definir funciones logarítmicas más adelante El rango de la función eponencial es R + por lo cual f) = a > 0 para todo R Es decir, la función eponencial nunca se anula o toma valores negativos Si a >, la gráfica de f) = a crece a medida que aumenta Se dice que la función crece eponencialmente Si 0 < a <, la gráfica de f) = a decrece a medida que aumenta Se dice que la función decae eponencialmente El eje es una asíntotahorizontal de la función eponencial: la gráfica se acerca al eje a medida queda crece para 0 < a < ) o a medida que decrece para a > ) pero nunca cruza el eje La función eponencial es biunívoca, en particualar: a = a = = 8 Las propiedades estudiadas para eponentes racionales son también válidas para eponentes reales: para todo par, R, a a = a + Ejercicio Resuelve la ecuación = a a = a Solución Por la inectividad de la función eponencial f) = tenemos que Ejercicio Resuelve la ecuación = + = = = = = Solución En este caso, las epresiones que forman la ecuación no tienen la misma base por tanto no podemos aplicar la inectividad inicialmente = + = ) + = + = + = Ejercicio Crecimiento poblacional) En un cultivo de bacterias se observa que el número de bacterías se duplica cada día Si inicialmente habían 000 bacterias, al octavo día cuántas bacterias habrán?

4 Instituto de Matemáticas, Solución La población de bacterias del problema crece eponencialmente como veremos a continuación Supongamos que t es el tiempo en días ft) el número de bacterias observadas en el día t Entonces ft) f0) = 000 inicio) f) = 000 día ) f) = 000 ) = 000 día ) f) = 000 ) = 000 día ) ft) = 000 t día t) Al octavo día el número de bacterias es f8) = = 000 t Observación En general, si inicialmente habían A bacterias, el número de bacterias en el día t está dado por ft) = A t Este modelo no es mu realista, pues por limitaciones de espacio alimentos, una población de bacterias no crece de manera eponencial siempre, sin embargo es un primer ejemplo que nos puede audar a plantear modelos más realistas A diferencia del ejemplo anterior, eisten otros fenómenos observados en la naturaleza donde las cantidades estudiadas decrecen eponencialmente con el tiempo Ejercicio Decaimiento radioactivo) El polonio 0 Po es un isótopo o sustancia radioactiva inestable que se va desintegrando a medida que transcurre el tiempo La vida media del polonio es de 0 días, es decir, cada 0 días, la cantidad de polonio que había se reduce a la mitad Si inicialmente la cantidad de polonio es de N miligramos, cuál es la cantidad de polonio en el tiempo t? Solución Suponiendo que t es el tiempo en días ft) es la cantidad de polonio que queda en el día t Entonces f0) = N inicio) f 0) = N día 0) f 0) = N ) = N día 80) ) f 0) = N = N día 0) ft 0) = N t día t 0) Al transcurrir t días, la cantidad de polonio que queda es ft) = N = N t/0 t/0 ft) t 0

5 Instituto de Matemáticas, Función eponencial natural) La función eponencial natural es una función eponencial que tiene como base a un número que es mu utilizado en matemáticas Este número se denotada con la letra e, es irracional es conocido como número de Euler no confunidr con la constante de Euler) Definición Número e) El número e se define como el valor al que se aproima la epresión + n) n ) cuando n se hace arbitrariamente grande n ) En el ejercicio??) estudiaremos un problema de interés compuesto cua solución conduce a la epersión ) Por ahora consideremos la tabla dada a continuación, en ésta se muestra el valor aproimado del número e n n + n 0 + n ) n Así, tenemos que e = Observemos que < e < Definición Función eponencial natural) La función eponencial natural es la función eponencial de base e = f) = e ) para todo R Observación La función eponencial es biunívoca: e 0 = e e = e + e e = e e = e = = f) = e

6 Instituto de Matemáticas, Ejercicio Utilice la gráfica de la función eponencial f) = e para graficar: f) = e f) = e f) = e f) = e Solución Figura : f) = e Figura : f) = e Figura : f) = e La gráfica de la figura se obtuvo de reflejar la gráfica de = e respecto al eje La gráfica de la figura se obtuvo al desplazar horizontalmente unidades hacia la derecha la gráfica de = e Finalmente, la gráfica de la figura se obtuvo al desplazar verticalmente unidades hacia abajo la gráfica de = e Referencias [] M Sullivan, Álgebra Trigonometría, séptima edición, editorial Pearson, 00 [] E W Swokowski, Calculus with analtic geometr, PWS Publishers, 98 [] FD Demana, BK Waits, GD Fole, D Kenned, Precálculo, séptima edición, editorial Pearson, 00