LIMITE. Si f(x)= x 2 -x 6 = (x 3) (x + 2) = x + 3 x + 2 x + 2

Transcripción

1 LIMITE Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite de la velocidad límite del límite de nuestra propia resistencia los límites de la tecnología moderna o de estirar un muelle hasta el límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable. A través del límite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeños números de unidades podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantánea se convierte en el puente matemático de las tasas de cambio promedio a las tasas instantáneas. Se ha utilizado la notación f(c) para indicar el valor de una función f() en =c. Si se tiene que analizar un valor al que se aproime f() conforme se aproime a c se usa la idea de de ite (Técnicas de Aproimación) Si f()= 2-6 = ( 3) ( + 2) = = -2 no está en el dominio de f() es decir f(-2) no eiste si tomamos valores próimos a f() Suponga que f() es una función definida en un intervalo abierto que contiene a c ecepto quizás a c entonces: Lim f() = L c Se lee el límite de f() cuando tiende a c es igual a L. El ite L eiste si podemos hacer que valores de f() estén tan cerca de L como lo deseemos eligiendo valores de suficientemente cercanos a c. Si los valores de f() no se aproiman a solo valor finito L cuando tiende a c decimos que no eiste el ite Límites Laterales Limite por la derecha: Lim f() = L c + Significa que los valores de f() se aproiman al valor L cuando c aunque > c. Limite por la izquierda Lim f() = M c - 1

2 Significa que los valores de f() se aproiman al valor M cuando c aunque < c. Consideraciones Especiales El límite de una función cuando tiende a c es independiente del valor de la función en c cuando eiste Lim f() = L cuando c el valor de la función en c puede ser: Igual al límite Indefinido o definido pero diferente al límite. Se dice que el límite eiste solo si L es un valor finito (número real) Propiedades de los Límites Si k ε R Lim f() = L c y Lim f() = M c - Lim k = k c - Lim [f(). g()] = L. M c Lim = c c Lim f() = M L 0 c g() M Lim [f() ± g()] = L + M c ( c c Ejercicios 20 Utilice las propiedades de límite y métodos algebraicos para encontrar los límites eistentes Limites Indeterminados Si Lim f() = Lim g() =0 cuando tiende a c entonces la epresión racional que tiene la forma en =c. Podemos factorizar c en f() y g() simplificar la fracción para encontrar una función equivalente en la cual eista el límite. 2

3 Si Lim f() 0 y Lim g() 0 cuando tiende a c entonces este caso los valores de f() / g() son iitados cerca de =c. no eiste. En Ejercicios 21 Calcule cada ite si eiste Continuidad en un punto La función f es continua en = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes 1. f(c): eista 2. Lim f() cuando tienda a c eista 3. Lim f() = f(c) cuando tienda a c eista Si no satisface una de las tres condiciones decimos que la función es discontinua en c Toda función polinómica es continua para todos los números reales. Toda función racional es continua en todos los valores de ecepto en aquello cuyo denominador es cero. Ejercicios 22 Encuentre los valores de donde las siguientes funciones son discontinuas Ejercicio 23 Determine si cada función es continua o discontinua en el de dada f() 0 f() f() 3

4 0 + 2 >0 4-7 >2 Límite de las Funciones Definidas por Partes El límite de una función por partes o por trozos f() eiste si el límite de f() cuando tiende a c por la izquierda es igual al límite f() cuando tiende a c por la derecha. Es decir: Lim f() = L = c + Determine si los límites de cada función eisten Lim f() = M c - ( + 2) 3 Si Si < 2 a. f() = b. g()= 1 - Si > -1 2 Si Ejercicios

5 TALLER 1. Calcule el límite por tabulación de la función cuando toma valores cercanos (por izquierda y derecha) al punto donde la función se hace indeterminada 2. Calcule cada uno de los siguientes ites (si eisten) f()= 3. De la gráfica de la función f()= obtenga el límite cuando toma valores cercanos a: a. Cero (0) b. 2 c. 4 y = -^2+4 y Problemas 11 5

6 1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida con el cual el árbol fue rociado de acuerdo a la siguiente fórmula a. Determine el límite de p cuando tiende a 0 y a 3 b. Qué significa cada epresión? Qué encuentra? 2. El costo total de la producción de litros de un determinado producto viene dado por a. Encuentre ) b. Cuál es el significado de cada epresión? 3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas cae el precio de las que eisten en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de meses el precio de cierto modelo será 0 0 dólares. a. Encuentre ) b. Cuál es el significado de cada epresión? 4. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas de capacitación de la siguiente manera: a. Encuentre b. Cuál es el significado de cada epresión? 0 5. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad ( en miles de dólares) según 0 a. Encuentre y() y() b. Cuál es el significado de cada epresión? 6. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 6

7 0 a. Encuentre b. Cuál es el significado de cada epresión? 7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de a. Encuentre b. Cuál es el significado de cada epresión? 8. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de a. Encuentre b. Cuál es el significado de cada epresión? 9. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina mediante la función 0 donde son las unidades demandadas. a. Encuentre b. Cuál es el significado de cada epresión? 10. El cargo mensual en dólares por kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la función Si 0 C( )= ( 1) Si (-5) Si < 5 Encuentre el límite del cargo mensual cuando el consumo tiende a 1 y a 5 Kilovatio/hora 7

8 Limites Infinitos Al evaluar la función f() = 1 / para valores de muy grandes f() nunca se vuelve negativo aunque ningún valor de hace que 1 / sea igual a cero es fácil ver que 1 / se aproima a cero a medida que se hace más grande lo anterior se denota Propiedades Si c es cualquier constante entonces Lim c = c y Lim c = c + - Lim c =0 donde p>0 + p Lim c =0 donde n>0 - n Ejercicio 21 Evaluar cada límite Lim 1 = 0 Problemas El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida con el cual el árbol fue rociado de acuerdo a la siguiente fórmula a. Determine el límite de p cuando tiende a b. Qué significa la epresión? c. Interprete el resultado 2. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es 8

9 0 0 0 Determine la población a largo plazo 3. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 0 0 donde t es el número de días en el trabajo. a. Encuentre b. Cuál es el significado de la epresión? c. Interprete el resultado. 4. Suponga que la demanda de un producto se define mediante 0 Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada a. Encuentre b. Cuál es el significado de la epresión? c. Interprete el resultado. 5. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos se puede modelar con la función. 0.0 donde es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981 a. Encuentre b. Cuál es el significado de la epresión? c. Interprete el resultado. 6. El volumen de ventas y (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad (en miles de dólares) según a. Encuentre b. Cuál es el significado de la epresión? c. Interprete el resultado El porcentaje p de impurezas que se puede einar de las aguas residuales de un proceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes 9

10 Encuentre a. Cuál es el significado de la epresión? b. Interprete el resultado. 8. Suponga que el costo C de einar el porcentaje p de impurezas de aguas residuales de un proceso de fabricación se obtiene con 0 Encuentre a. Cuál es el significado de la epresión? b. Interprete el resultado. 9. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas cae el precio de las que eisten en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de meses el precio de cierto modelo será 0 dólares. a. Encuentre ) b. Cuál es el significado de cada epresión? c. Interprete el resultado 0 TALLER TEMA: LÍMITES 10

11 1. Determine el límite de cada función tabulando los datos a. b. 2. La gráfica muestra la función y= 3-1 use la gráfica para calcular el límite de f() cuando toma valores próimos a 1 y a 0 3. La gráfica muestra la función y= 2 +2 Use la gráfica para calcular el límite de f() cuando toma valores próimos a -2-1 y 0 4. Calcule cada uno de los siguientes límites y y y y t 0 11 t t 0

12 2+1 Si >3 10- Si 3 Si <2 si Problemas Suponga que las ventas diarias S (en dólares) t días después de terminar una campaña publicitaría son a. Encuentre S(t) b. Qué significa cada epresión? 2. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por donde p es precio unitario en dólares a. Encuentre el límite de las ventas semanales cuando el precios toma valores próimos a 10 y 11 dólares b. Compare los resultados e interprételos Limites con Tecnología Use el Ecel para tabular graficar y calcular el valor de cada límite