1. Decida si la siguiente función es biyectiva, realice su grafica. Partamos por definir el dominio e imagen de la función.

Transcripción

1 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño Guía de ejercicios resueltos y propuestos Funciones y polinomios:. Decida si la siguiente función es biyectiva, realice su grafica. f : R R f Solución: 5 Partamos por definir el dominio e imagen de la función. Dom f R Para definir la imagen debemos despejar de la función. 5 y y 5 y y 5 y 5 y y y 5 Ahora, debemos realizar la siguiente pregunta. Que valores puede tomar y en la ultima función? Puede tomar cualquier valor salvo el 5, pues en ese valor la función se indefine. Entonces, Im f R 5 Biyectividad: Para que una función sea biyectiva debe ser inyectiva y sobreyectiva a la vez. - Para demostrar sobreyectividad el Rec f debe ser igual a f Como nuestra Im R donde se define la función). f 5 y nuestro Re c f R Im. (es el conjunto de llegada Como Im f R 5 Rec f ( ) R que no es sobreyectiva. - Para demostrar inyectividad dado f ( ) f ( ) debe implicar.

2 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño ) ( f f Luego, la función es inyectiva. Pero para ser biyectiva, debería ser inyectiva y sobreyectiva, esta función es solo inyectiva. La grafica es la siguiente, la línea azul representa la asintota horizontal igual a 5 (es el valor que no puede tomar la imagen 5 Im R f ), y la linea roja vertical es la asintota producto de los valores que no puede tomar el dominio R f Dom.

3 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño. Decida si la siguiente función es biyectiva y realice su grafica. f f : dom( f ) 3, 4 Solución: Partamos por definir el dominio e imagen de la función. f R Dom, debido a que la función puede tomar cualquier valor de. Para definir la imagen debemos despejar de la función, pero en este caso es algo complicado. Usaremos el siguiente argumento, si encontramos la imagen del vértice de la parábola, la imagen de la función será todos los valores mayores que el. b b La formula para el vértice es la siguiente V, f a a Luego, considerando un polinomio general de segundo grado nuestra función 4 f. f ( ) a b c y a b c 4 b a entonces el vértice es igual a,

4 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño V, f, V, 4 4 V,3 4 Luego, la imagen es igual a Im f 3,, pues el vértice es el menor valor que toma la función (mirar grafica anterior). - Para demostrar sobreyectividad el Rec f debe ser igual a f Como nuestra Im 3, donde se define la función). Luego, Im f y nuestro Rec f 3, f 3, Rec f ( ) esto implica que es sobreyectiva. Im. (es el conjunto de llegada - Para demostrar inyectividad dado f ( ) f ( ) debe implicar. f f ( ) 0 Luego, tenemos que 0 o que 0 Dos soluciones, esto implica que la función no es inyectiva. Habría bastado darse un contra ejemplo, es decir f 7 f ( 3) 7 Dos elementos del dominio para una misma imagen. Pero para ser biyectiva, debería ser inyectiva y sobreyectiva, esta función es solo sobreyectiva.

5 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

6 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

7 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

8 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño Ejercicios (soluciones abajo)

9 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

10 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

11 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

12 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

13 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño (Resultados Abajo)

14 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

15 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

16 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

17 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

18 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

19 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

20 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

21 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

22 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

23 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño

24 DU0- Métodos de Cuantificación 009, Semestre Otoño