Trabajo Práctico Nº 1 FUNCIONES

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1 Trabajo Práctico Nº FUNCIONES. Determinar, cuando sea posible, el dominio más amplio (en el sentido de la inclusión) para que cada una de las siuientes correspondencias deina una unción: m : D R / m( x) x m z : D R / z( x) ± x z [ ) r : D ; / r( x) x + r t : Dt [ ; ) / t( x). + n : D ; + / n( x) x n [ ) w: Dw ( ; + ) / w( x) + x x + u : Du ( ; ] ( ; + ) / u( x) x x. Graicar las siuientes unciones, indicar ceros, conjunto de positividad, neatividad y conjunto imaen. r : / r( x) x + N R ( ] l :, R / l( x) x [ ) R p :, + / p( x) x 9 : R R / ( x) x ( ] :, / ( x) x R R j : [ ; + ) R / j( x) x + [ ) [ ) m :, + / m( x) x + R [ ) h : + R / h( x) x k :, + R / k( x) x + n :, + R / n( x) x + [ ) R s :, / s( x) x x + t : R R / t( x) x [ ) ( ] u : ; ; R / u( x) x x. Analizar la validez de las siuientes airmaciones:

2 a) Dos unciones son iuales si tienen el mismo conjunto dominio. b) Dos unciones son iuales si tienen el mismo dominio y la misma imaen. x x c) Las unciones : R { } R / ( x) y : R { } R / ( x) x son x iuales.. Determinar D, [ ) D y r :, + R / r( x) x +. D k, de manera tal que Im Im Imk Imr siendo D x x x : R / ( ) x + k : Dk R / k( x) x : D R / ( x) + x. Se deine h { } x : R R / h( x) + y se pide: x + a) Determinar el valor de a R, de modo tal que las unciones h y : R R / ( x) ax + tenan el mismo conjunto imaen. { } b) Hallar el conjunto imaen de la unción: A. C h : A R / ( x) x x, sabiendo que La órmula K( x) x + permite conocer la temperatura K en rados Kelvin, 9 9 conocida la misma x en rados Fahrenheit, el ráico, en cambio, muestra la relación entre la temperatura medida en rados Celsius y la misma medida en rados Fahrenheit.

3 Se pide: a) A cuántos rados Kelvin equivalen C? Y - C? b) A cuántos rados Kelvin equivalen C? c) Hallar una órmula que permita conocer la temperatura en rados Kelvin, conocida la misma en rados Celsius. 7. Se deinen : / ( x) ( x + ) ( x) R R y : R R / ( x) x + y se pide: a) Calcular ( ( ) ), ( ()) ( ) y ( ) b) Hallar el conjunto de ceros y los intervalos de positividad y neatividad de ( ( x )). 8. Con los siuientes datos: h : R R / h( x) ( x + ).( x) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) 6, ( ) 6, ( 6) y ( ) cuando sea posible: a) ( h )( ) b) ( )( ) c) ( )( ) d) ( )( ) e) ( )( ) ) ( )( ) ) aluna raíz de o. h) C. h,, calcular

4 9. Dadas : / ( x ) 6 ( x + ) R R y : R R / ( x ) x +, hallar los conjuntos de positividad y neatividad de. Representar ráicamente.. Sean : R R / ( x ) x x y : R R / ( x ) x, h( x) ( )( x). Deinir h y determinar el conjunto imaen e intervalos de crecimiento y de decrecimiento.. Dadas : R / ( x) R x + y : R R / ( x ) x +, escribir A x R /( ) x <. como intervalo o como unión de intervalos el conjunto { ( ) }. Se deinen las unciones: : R R / ( x) ax b y x : R { 6 } R / ( x) y se pide: x + 6 Hallar los valores a y b (reales) sabiendo que se cumple simultáneamente: La ecuación de la asíntota vertical de la unción es: x. C.. Es posible, dada la unción : R R / ( x) x, hallar otras dos unciones, h : R R, tales que: ( )( x) x + 6 y ( h )( x) x + 6? En caso airmativo explicitar dichas unciones.. Dada la unción : D R / ( x) x + y el ráico de la unción z, se pide: a) Graicar. b) Completar con <, > ó seún corresponda: ( z )()... ( z )()... ( z )(8)... c) Hallar el conjunto de positividad de la unción z.

5 + R + y se pide: d) Se deine :[ ; ) / ( x ) ( x ) Hallar C zo y C + zo.. A continuación se muestra el ráico de la unción { } : ; R R (x y x - son asíntotas verticales e y - es asíntota horizontal)

6 y se deine la unción { } i. Calcular ( )(, ). x : R ; R / ( x ). ii. Hallar x / ( )( x ) R. iii. Determinar el conjunto de positividad de la unción. 6. Si (x) x+k, estudiar los ráicos de (x) y ( ( x )). Explicar. 7. Si (x) x+k, estudiar los ráicos de (x) y ( ( x )). Explicar. 8. Dada : A B / ( x) x, determinar el mayor conjunto de A y de B, tal que: a) sea inyectiva y no sobreyectiva. b) sea sobreyectiva y no sea inyectiva. c) sea biyectiva. 9. Existe aluna relación entre las unciones estrictamente crecientes o decrecientes y las unciones inyectivas?. Justiicar la necesidad de que una unción sea inyectiva y sobreyectiva para que exista su inversa.. Clasiicar las siuientes unciones en (INYECTIVA, SOBREYECTIVA, BIYECTIVA) a) : R R / ( x ) x + 8 b) : R R / ( x ) x 6 : R 6; / ( x ) x 6 c) [ ) : ; ; / ( x ) x + d) [ ) ( ] e) : R R / ( x ) x : R / ( x ) ) R { } x x +. Determinar A, B R (máximos con respecto a la inclusión) de manera tal que las unciones sean biyectivas. Deinir cartesianos. y representar ambas unciones en un mismo sistema de ejes 6

7 a) : A B / ( x) x b) : A B / ( x) x c) [ ) B x ( x ) : ; + / ( ) + d) x : A B / ( x) x + :, B / ( x) x + x + e) ( ] ) x + : A B / ( x) + x ) : A B / ( x) x + h) : A B / ( x) x i) : A B / ( x) x + j) : A B / ( x) + x + :, B / ( x ) x k) [ 6] : A, / ( x ) x + l) [ ] :, B / ( x ) + x + m) ( ) :, + B / ( x ) + x + n) ( ) x + : A, + / ( x ) x o) ( ) :, B / ( x ) x + x p) [ ] ax + : R R a / ( x ). Calcular a R para que x valor de a hallado, deinir ( x ).. Sea { } { } (6). Con el 7

8 : R / ( x ) x ; : R R / ( x ) x ; x h x.. Sean R { } h ( x) ( )( ). Deinir ( ). A continuación se muestra el ráico de la unción : R { ;} R ( x y x - son asíntotas verticales e y - es asíntota horizontal ) a) Observando el ráico de, restrinir convenientemente el dominio o codominio (cuando sea posible), para que las unciones deinidas cumplan con las condiciones pedidas. Si no es posible, explicar por qué. sea inyectiva y no sobreyectiva :, ( ] sea sobreyectiva y no inyectiva [ ) :,+ sea biyectiva : (, ) sea biyectiva : sea inyectiva : (,] (, ) (, ] b) Se deine : [,) [,+ ) 6, se pide raicar en el mismo sistema de ejes coordenados, en orma aproximada, la unción inversa de 6 indicando dominio y codominio de c) Se deine ( + ) ( ) :,,. Calcular 7 7 ( ). 6. RESPUESTAS ) Dr ; D n ( ; ] [ ; + ) t [ ; ) w ) C Im r C + r N C r r N + Cl Cl ; Cl ; Iml ;8 + C C ; + C ; Im 9; + D + D ( ; + ) D [ ;) ( ; + ) [ ) { } ( ) [ ) [ ) { } + + R R Im R { } + ( ; ] R Im ( ;8] { } + R + { } Im R + p p p p C C C C C C C C C h h h h u 8

9 + + { } ( ; ) Im + { } [ ; ) Im [ ; ) + { } [ ; ) Im [ ; ) + { 6 } [ ;6 ) ( 6; ) Im ( ; ] + { } [ ; ) Im [ ;] { } + R { } { } Im R + + [ ;) ( ; ] Im [ ;) ( ; 7] C C + C R j j j j C C + C + k k k k C C + C + m m m m C C C + n n n n C C C s s s s C C C t t t t C C C u u u u u ) a) F b) F c) V ; ; ) D ( ] [ + ), [ ;) ) a) a b) Im ( ;) 6) a) 8 K b) ( K F )( x) x + 7 K 7) b) C ; D k, no es posible deinir D C + ; C ; ; + ( ) 8) a) ( h )( ) b) ( )( ) 6 c) ( )( ) - d) ( )( ) e) ( )( ) no es posible ) ( )( ) 6 ) - es una raíz de o. h) { ;6 } 9) C + ( ;) C ( ; ) ( ; + ) ) h : R R / h( x ) x x A ) a b ) ( x) x + + ) ; ( ; + ) h( x) x + 8 Im( h) ; C ) c) C + z ( ;) d) C zo { ;;6} C + zo (,) (,6) + ) i. - ii. x -6 o x 6 iii. C ( ; ) ( ; ) 8) A ; + B R o A ; B R a) [ ) ( ] b) A R B [ ; + ) c) A [ ; + ) B [ ; + ) o A ( ;] B [ ; + ) ( h) ; ր ց C ( h) ; + ) a) Biyectiva b) no inyectiva, no sobreyectiva c) sobreyectiva, no inyectiva d) biyectiva e) biyectiva ) inyectiva, no sobreyectiva ) a) A B R : R R / ( x) x + x b) A R { } B R { } : R { } R { } / ( x) x B ; + : ; + ; + / ( x) + x c) [ ) [ ) [ ) x A B : / ( x) x d) R { } R { } R { } R { } 9

10 e) [ ) [ ) ( ] ) B + + x x + ; : ; ; / ( ) A R B R : R R / ( x) x x ) [ ) [ ) A ; + B ; + :[ ; + ) [ ; + ) / ( x) + ( x ) h) A B R : R R / ( x) x i) A [ ; ) B ( ;] + :( ;] [ ; + ) / ( x) ( x) j) R { } R { } R { } R { } A B : / ( x) x B ; : ; ;6 / ( x) x + k) [ ] l) [ ] [ ] [ ] n) ( ) ( ) ( ) o) ( ) ( ) ( ) p) [ ] [ ] [ ] A ; : ; ; / ( x) x + x + m) B ( ; ) : ( ; ) ( ; ) / ( x) x B ; + x + : ; + ; + / ( x) x A ; + x + : ; + ; + / ( x) x B ; 9 + x : ; ; / ( x) + ) a ; x : R { } R + { } / ( x ) x ) { } { } h : R R / h ( x ) x ) a) Se puede considerar como codominio de cualquier conjunto que contena a[ ) Como dominio de se debe considerar el conjunto (-;). ; ;+. Se puede considerar como dominio de el conjunto ( ) o el conjunto ( ;+ ). El dominio de la unción - es: [ ;+ ). Por el modo en que está deinido el dominio de, no es posible completar la deinición para que la misma sea inyectiva. c)