FUNCIONES: GENERALIDADES

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1 FUNCIONES: GENERALIDADES DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.- Una unción,, es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos A y B, que asigna a cada número, x, del primer conjunto A, un único número, y, del conjunto B. Si los dos conjuntos numéricos A y B son de números reales, a la unción., se le llama: unción real de variable real. En realidad una unción,, trabaja como una máquina que transorma números reales en números reales de la siguiente orma: R (A) 0 1 D() x R y=(x) Im() 0 1 (B) Se simboliza: Se utiliza la siguiente notación: : A B x a y = (x) x: número real que se transorma mediante en y (o nº real que entra en la máquina) = valor de la variable independiente = original de y. y: número real transormado de x mediante, (o nº real que sale de la máquina) = valor de la variable dependiente.= imagen de x. = (x) (se lee de x). : criterio de asignación de imágenes. A: se le llama dominio de la unción, y se nota con D() (se lee D de ), y es el conjunto de todos los números reales x,que tienen por una imagen real. (Es el conjunto de todas las entradas válidas en la máquina ). El D(), no se indica explícitamente, sino que se calcula para cada unción, a partir de su deinición, salvo que el enunciado del problema nos indique lo contrario.

2 B: se le llama conjunto imagen o recorrido de la unción, y se nota con Im(), o, R(); y es el conjunto de todos los números reales que son imágenes de los números reales x que orman el dominio de.(es el conjunto de todos los números reales posibles, que salen de la máquina ) Todos los elementos, x, del D() tienen que tener una única imagen, y, en el º conjunto; pero no todos los números reales del º conjunto han de tener un original, x, en el primero, ni ser único en caso de que lo tenga. Ejemplo1: La unción que asigna a cada número real, su cuadrado : y = ó : x x ( x) = x (indica que: 1 1; 1 1; ; ; ; ; etc.) Ejemplo: La unción que asigna a cada número real, su inverso : g 1 g : x y = ó x 1 ( x) = x g g g g (indica que: 1 1; 1 1; ; ; etc.). 4 3 FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN.- Las unciones pueden venir deinidas de dierentes ormas, (no necesariamente excluyentes) mediante: El enunciado de un problema. Ejemplo1: En una rutería, 1 Kg de naranjas vale Consideramos la unción que asigna a cada peso su precio, es decir, la unción: 1 Kg 0'60 ; Kg 1'0 ; 5 Kg 3 ;...; 10 Kg 6 ;... que se deine: ( x) = 0' x : x y = 0'60 x ó 60 Ejemplo: En un bloque de viviendas las ventanas son rectangulares y deben tener m de luz. Obtener la altura, y, de cada una en unción de la medida, x, que se le dé a la base. (Área=base altura = x y y = ). x Una tabla de valores: en la que aparece cada original (o entrada), x, con su imagen ( o salida) correspondiente, y. Ejemplo1: Se han medido las temperaturas de un líquido a medida que se calentaba, obteniendo la tabla siguiente:

3 Tiempo t (min) Temperatura T (ºC) Esta unción asigna a cada instante, la temperatura que tiene el líquido en dicho momento. La tabla no tiene por qué cubrir todos los valores del dominio de la unción. En el ejemplo: para cada valor de t comprendido entre 0 y 5, existe un valor de T, que podríamos calcular aproximadamente, a partir de la tabla, mediante un procedimiento matemático llamado interpolación. Ejemplo: El número de bebés nacidos en un hospital durante los primeros días del mes de abril vienen dados en la tabla siguiente: Día del mes Número de bebés Esta unción asigna a cada día del mes de abril, el número de bebés nacidos en ese día. Una Gráica: Si consideramos cada pareja de valores correspondientes (x, y) u (original, imagen) o (entrada, salida), como un punto del plano, y los dibujamos en un sistema de ejes coordenados, obtenemos la gráica de la unción, que se nota Grá(): Grá()= { P ( x, y) / y = ( x) } x: es la 1ª coordenada de ó abscisa del punto P de la gráica. y: es la ª coordenada de u ordenada del punto P de la gráica. Ejemplo: La unción que asigna a cada número real su cuadrado: ( x) = x x (x) Cada punto P x, y) Grá ( ) (. Por muchos puntos que conozcamos de la gráica es arriesgado unirlos por trazos continuos, sin hacer un estudio previo de las propiedades de la unción. La gráica de una unción permite hallar ácilmente imágenes y originales de dicha unción.

4 En el ejemplo: La imagen de es 4, y se expresa: ( ) = 4 Los originales del 4 son, y, y se expresa: 1 (4) = {,}. La gráica de nos permite interpretar de manera muy sencilla las propiedades de la unción (Dominio, recorrido, simetrías, signo, variación, continuidad, etc.) Una órmula matemática, llamada expresión algebraica (o expresión analítica) de la unción, que relaciona cada valor, x, del D(), con su imagen y ó (x) Dicha órmula es el criterio de asignación de imágenes. Ejemplos: La unción que asigna a cada número real, su cuadrado: ( x) = x ó y = x La unción que asigna a cada número su inverso: 1 ( x) = ó x 1 y = x La supericie del círculo en unción de su radio: S( r) r = π ó A = π r 3 3 El volumen de un cubo en unción de su arista: V ( a) = a ó V = a La mayoría de las unciones se pueden expresar mediante una órmula o expresión algebraica. Es la orma más deseable de expresar la unción, ya que acilita el estudio de las propiedades de la unción por métodos matemáticos rigurosos y exactos. A partir de la expresión algebraica de la unción, se pueden obtener las otras ormas de expresarla (tabla y gráica). Hay unciones que no están deinidas por una única órmula, sino que se expresan con una expresión algebraica dierente en cada parte de su dominio. Se llaman: unciones deinidas a trozos o unciones de dominio partido. DETERMINACIÓN DE IMÁGENES Y ORIGINALES: PUNTOS DE LA GRÁFICA Si el punto P( x, ( x)) Grá ( ), se dice también (por abuso del lenguaje) que P es un punto de la unción. En la práctica se presentan las siguientes cuestiones: 1. Comprobar si P( a, b) Grá ( ) : Mediante la gráica: P( a, b) Grá ( ) P' ( a', b') Grá ( ) Mediante la órmula y = (x) : Si ( a) = b P Grá ( ) Si ( a) b P Grá ( )

5 . Conocida la abscisa, a, de P, cuál es su ordenada?,o también: cuál es la imagen de a,por?: Mediante la gráica: observando el dibujo anterior: ( a b) P, o también: ( a) = b (la imagen de a por es b) Mediante la órmula: Si conocemos la órmula de la unción ( y = (x) ), la imagen de a, (a), es el número b, que se obtiene al sustituir en y = (x), x por a: ( a) = b. (b es único para cada valor a). Ejemplo: ( x) = x. La imagen de -3 es 9, ya que: ( 3) = ( 3) = 9 3. Conocida la ordenada, b, de P, cuál es su abscisa?, o también: cuáles son los originales de P?: Mediante la gráica: Los puntos de ordenada b, son: A ( a, b) y '( a', b) A ; o también: los originales de b son: 1 ( b) = { a, a' } Mediante la órmula: Hacemos: y = b ó ( x) = b, que es una ecuación en x, de la que se despeja x, y si sale x a y x = a'. = 1 ( b) = { a, a' } Ejemplo: Si ( x) = x. Cuáles son los originales del 9? 1 Solución: Hacemos = 9 x = ± 3 ( 9) = { 3, 3} x. PROPIEDADES O CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES Venga expresada la unción mediante su expresión algebraica o mediante su gráica, es importante reconocer las siguientes propiedades: 1. Es unción?.- Algebraicamente: No puede haber ningún número real que tenga dos imágenes dierentes. Ejemplos: ( x) = x es unción, pues cada número real tiene una sola imagen. ( x) = ± x no es unción, pues el 4 tendría dos imágenes dierentes: y. Gráicamente: No puede haber ninguna recta vertical que corte a la gráica en más de un punto: No unción Función

6 . Dominio de.- Al conjunto de números reales que tienen imagen real mediante la expresión algebraica,, y = (x), de la unción, se le llama dominio natural de. Si conocemos su órmula: Si y = (x) es la órmula conocida de la unción, para calcular su dominio natural, D(), tendremos en cuenta que en R: a) No se puede dividir por 0, por lo que el denominador 0. b) No se pueden extraer raíces de índice par de los números negativos, por lo que el radicando 0 c) Los números reales negativos y el 0, no tienen log a, por lo que el argumento>0. Las demás operaciones con números reales, siempre dan lugar a otro número real. A veces el dominio natural de la unción queda limitado por las condiciones del problema, ya sea por el contexto real del que se ha sacado la unción, o por voluntad de quien lo propone. Ejemplo: ( x) = 3x 1, tiene como dominio natural: D()=R, y ( x) = 3x 1 por dominio: D(g)= [,], en lugar de R. g x [,], tiene Ejemplos: Calcula el dominio de deinición de las unciones: a) x 1 ( x) = b) g ( x) = x 1 x 4 Si conocemos su gráica: El valor a está en el dominio de sólo si la recta vertical trazada en (a,0), corta a la Grá(). Luego trazando rectas verticales perpendiculares al eje de abscisas, la zona del eje de abscisas en la que hay deinida gráica es el D(). Ejemplos: D()=R D(g)= [ 1,+ [ 3. Imagen o recorrido.- Es el conjunto ormado por los números reales que son imágenes de los valores de D() Si conocemos su gráica: El número b, está en Im(), sólo si la horizontal trazada por (0,b), corta a la Grá()

7 Im()= [ 1,+ [ Im(g)= [ 1,+ [ 4. Puntos de corte con los ejes.-signo de la unción.- Es importante conocer la posición relativa de la gráica de la unción respecto de los ejes coordenados: Si conocemos la órmula: si la expresión algebraica de es y = (x) : -Los puntos de corte con el eje de abscisas, se calculan resolviendo el sistema ormado por la órmula de la unción y la ecuación del eje de abscisas: y = 0 y = ( x) y = 0 A((a),0) (puede haber más de uno) Los puntos de corte con el eje de ordenadas, se calculan resolviendo el sistema ormado por la órmula de la unción y la ecuación del eje de ordenadas: x = 0 y = ( x) x = 0 B(0,(0)) (sólo puede haber uno). Ejemplo: Los puntos de corte de la unción: y = x 4 con los ejes coordenados son: y = x x 4 = 0 y = 0 x = ± y = 0 Con el eje de abscisas: A(,0) A' (,0) y = 0 y = x 4 y = 4 x = 0 Con el eje de ordenadas: B( 0, 4) x = 0 4 Si conocemos la gráica: sólo hay que buscar los puntos comunes de la gráica con cada eje. Ejemplo: Los puntos de corte con el eje de abscisas son: A(,0) A' ( 1,0) A'' ( 3,0) B (0,3) ; y con el eje de ordenadas:

8 Determinar el signo de una unción, y = (x), es obtener los valores de su dominio para los cuales se cumple que: ( x) > 0, ( x) = 0 y ( x) < 0. Si conocemos la gráica: Si observamos la gráica del ejemplo anterior: La unción es positiva en el intervalo: I = (,1) ( 3 + ) +, La unción es negativa en el intervalo: I = (, ) ( 1,3) La unción se hace 0 en: {,1,3} Si conocemos la órmula: El signo de puede cambiar en: -Los valores, x, en los que ( x) = 0, es decir, en las abscisas, x, de los puntos de corte con el eje de abscisas. -Los valores, x, que no están en el D(). El signo de, solo pueden cambiar en dichos valores; por lo que se representan todos sobre la recta graduada, de manera que la recta queda dividida en zonas. Por último, se estudia el signo de en cada una de ellas (dando un valor a x en cada zona y observando el signo de (x)). Ejemplo.- x + 1 ( x) = x 4 Abscisas de los puntos de corte con el eje de abscisas (A( 1,0)): x = 1 Valores de x que no están en el D(): x = 4. Los llevamos sobre la recta graduada: Signo de y Valores de x Luego: I = (, 1) ( 4 + ) y I = ( 1,4) +, 5. Simetrías: Paridad de.- Una unción, y = (x),es par o simétrica respecto al eje de ordenadas, si veriica que cada dos números reales y opuestos de su dominio: a, a D( ), tienen la misma imagen: ( a) = ( a) Ejemplo: ( x) = x, es par porque: ( a) = a ( a) = ( a) = a observamos que: ( a) = ( a) Una unción, y = (x), es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas, si se veriica que cada dos valores reales y opuestos de su dominio: a, a D( ), tienen imágenes opuestas: ( a) = ( a). Ejemplo: 3 ( x) = x, es impar porque: 3 ( a) = a 3 3 ( a) = ( a) = a observamos que: ( a) = ( a)

9 Gráicamente se releja de la siguiente orma: Función par Función impar Si se trata de una unción par, al doblar el papel por el eje de ordenadas, la gráica de, queda dividida en dos ramas que están superpuestas. Si se trata de una unción impar, al doblar el papel por el eje de ordenadas ( primero) y por el eje de abscisas ( después), la gráica de queda dividida en dos ramas que están superpuestas. 6. Continuidad de una unción.- Gráicamente: Una unción es continua en x = a, si su gráica no se interrumpe al pasar por a (dibujándola de izquierda a derecha); en caso contrario, se dice discontinua en x = a. Las discontinuidades que se pueden producir en un punto de la gráica, reciben un nombre dierente dependiendo del tipo de interrupción del que se trate. Ejemplos.- Discontinuidad de salto ininito en x=1 Discontinuidad de salto inito en x=1 Discontinuidades evitables en x=1 Continua

10 Estas unciones son discontinuas en a, por distintos motivos: La primera gráica presenta en x=1 ramas ininitas, es decir, los valores de y crecen indeinidamente cuando los de x se aproximan cada vez más a 1. La segunda gráica presenta una interrupción en x=1 de salto (que mide 1 unidad). A las gráicas tercera y cuarta, o le alta el punto (1, ), o dicho punto está uera de los puntos del resto de la gráica (1, 3). Una unción es continua en un intervalo, I D( ), si no presenta ninguna discontinuidad en él. (Podemos dibujar la Grá() de izquierda a derecha en el intervalo I, sin levantar el lápiz del papel). 7. Variación de una unción: Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de la unción.- Si I es un intervalo del D(): I D( ) : -Se dice que y = (x) es creciente en I (I c ) si a medida que aumenta (o disminuye) x en I, aumenta (o disminuye) y: Si a, b I c con a<b, se cumple que ( a) ( b). A I c se le llama intervalo de crecimiento de Si en lugar de ( a) ( b), se cumple ( a) < ( b), se dice que y = (x), es estrictamente creciente en I. -Se dice que y = (x) es decreciente en I (I D ) si a medida que aumenta (o disminuye) x en I, disminuye (o aumenta) y: Si a, b I con a<b, se cumple que ( a) ( b). D A I D se le llama intervalo de decrecimiento de Si en lugar de ( a) ( b), se cumple ( a) > ( b), se dice que y = (x), es estrictamente decreciente en I. Una unción puede ser creciente en unos intervalos y decreciente en otros. -Se dice que y = (x) presenta un máximo relativo en x=a, cuando el valor de la unción en a, (a), es mayor que el valor de la unción en los valores del alrededor de a. En un máximo relativo, la unción pasa en a, de ser creciente a ser decreciente. -Se dice que y = (x) presenta un mínimo relativo en x=a, cuando el valor de la unción en a, (a), es menor que el valor de la unción en los valores del alrededor de a. En un mínimo relativo, la unción pasa en a, de ser decreciente a ser creciente. A los máximos y mínimos relativos de una unción, se les llama: extremos relativos de dicha unción. Estos conceptos se reconocen gráicamente de la siguiente orma:

11 Creciente Decreciente Máximo relativo:(,4) Mínimo relativo:( 1, ) 8.Tendencia y Periodicidad.-Asíntotas.- Ejemplo1: La siguiente gráica presenta la cantidad media de ejemplares por hectárea de una cierta especie vegetal que se encuentra con recuencia en una comarca, en unción de la altura a la que se encuentra el terreno: Nº ejemplares por ha Altura (m.) Observamos que, a partir de una cierta altura, cuanto más se sube menos ejemplares se encuentran; y que a partir de 1700 m, casi no hay plantas de este tipo. Podemos airmar que: Cuando la altura aumenta por encima de los 1700 m, el número de plantas tiende a 0 Hay unciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo donde han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Ejemplo: Si observamos la siguiente gráica:

12 A medida que los valores de x se aproximan cada vez más a a, los valores de y se hacen cada vez más grandes en valor absoluto. Por eso se dice que la recta: x=a, es una asíntota vertical. A medida que los valores de x los tomamos cada vez más grandes en valor absoluto (ya sea cada vez más a la derecha, o cada vez más a la izquierda), los valores de y se acercan cada vez más a b. Por eso se dice que la recta: y=b es una asíntota horizontal. Ejemplo3: Si representamos la variación de la altura de uno de los cestillos de una noria cuando esta da vueltas, obtenemos la gráica siguiente: Observamos que cada 30 segundos da una vuelta completa; y en este tiempo, sube, llega al punto más alto (45 m) al cabo de 15 seg, baja y llega al suelo. Este movimiento se repite a cada vuelta, y la gráica en [0, 30], se repite reiteradamente: Se dice que esta unción es : periódica de periodo 30. Una unción es periódica, si su comportamiento se repite cada vez que la variable x recorre un cierto intervalo. La longitud de dicho intervalo se llama periodo. Muchos enómenos reales siguen un comportamiento periódico. La consideración de estas unciones es de gran ayuda para estudiar dichos enómenos, ya que estudiando lo que ocurre en un periodo, se puede extender al resto de la unción. La unción es periódica de periodo T, si ( x + T ) = ( x) para todos los valores de x D( ) menor número positivo T que cumple esta condición, se llama periodo.. Al