INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA SUPERIOR OPERACIONES CON FUNCIONES. Suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA SUPERIOR OPERACIONES CON FUNCIONES Suma, dierencia, producto y cociente de unciones Terminología Valor de la unción Dominio Suma g g + g D D + Dierencia g ( g) g Producto g g Cociente g g g + + g Dg D g D Dg g D g D Dg D { D D, g( ) 0 OBSERVACIÓN: SIEMPRE ( + g) + g PERO NO SIEMPRE ( a + b) ( a) + ( b) POR EJEMPLO: Sea entonces 0 / g g ab, ( a + b) ( a) + ( b) OF.- Con la inormación que aparece en las tablas determinar el dominio y la unción resultante de la operación que se indica en cada inciso () 5 8 g() 5 0 a) + g b) g c) g OF.- Si las unciones y g están deinidas por : {(, ), (, ), (,4) y g : {(, ), (,5),( 4,8) determinar el dominio y la unción resultante de la operación que se indica en cada inciso. a) + g b) g c) g OF.- Si, g 8 calcular: a) ( 4 ) g ( 4 ) b) ( g )( ) OF4.- + g( ) 5 calcular: a) ( ) g( ) b) ( g )( ) 55

2 OF5.- Si + y g 4 < 5 encontrar los guientes valores: a) ( 5) g( ) b) ( g )( ) c) ( + g)( 4) OF6.- Calcular en cada caso a) + g, b) g i) iii) v) vi) +, g +, g ii) iv), g( ) 4 vi) + 8, g 7 OF7.- Calcular en cada caso a) g( ), b) i) iii) v) 5 +, g g g,, c) indicar dominio y rango. +, g +, g( ) 5, g g, c) indicar el dominio de ( ), g( ), ii) iv) vi) g, g +, g, g 8 y g( ) OF8.- Calcular 8.- < < g < < 6 a) ( + g)( ) b) ( + g), c) ( + g)(.5) d) ( + g)( 5) OF9.- Determinar el dominio y la regla correspondiente a: g a) ( + ), b) ( g)( ) c) ( g) i) / para cada una de las parejas de unciones guientes. 7 g < 56

3 ii) < < g < < 6 iii) g + > iv) + < g 7 5 v) < 6 g 4 < 6 6 > 4 4 vi) g + > OF0.- Determinar cuál o cuáles de las guientes unciones es igual a a) F c) g + b) G + d) ( + ) h OF.- Graicar +. OF.- Si + determinar en cada inciso la unción g que satisaga: a) ( + g) + + b) ( g) + + c) ( g) + + d) ( / ) g TAREA: Swokowski Sec..7 problemas a 8. 57

4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Deinición: La compoción de las unciones y g se denota por o g está deinida { D por ( o g) ( g ), su dominio es D R D y g o g g. OF.- Utilizando las unciones deinidas en la tabla que aparece abajo calcular: g go g a) ( o ) b) ( go ) c) ( o ) d) () 5 8 g() 5 0 OF4.- Con la inormación que aparece en las tablas determinar el dominio y la unción resultante de la operación que se indica en cada inciso () 5 8 g() 5 0 a) o g b) go c) o d) go g OF5.- Calcular para cada pareja de unciones: g a) ( o ) b) ( go ) c) ( o ) d) ( go g) i) 4, g iii), g v) vii) : g : +, g {(, ), (, ), (,4) {(, ), (,5),( 4,8) ii) 0 + iv) + 4, g 5, g 8 vi), g viii) : g : + 5 {(,5),( 4,),( 5,7),( 6,) {(,4),( 5, ), ( 7,5),( 6,) OF6.- Calcular para cada una de las parejas de unciones del ejercicio anterior g a) g( ) b) g ( ) c) indicar el dominio de g( ) y TAREA: Swokowski Sec..7 problemas 9 a 40. OF7.- (S8) Si 5, determinar ( )( ) g o y ( go g) OF8.- Si el dominio de la unción es [0,] Cuál es el dominio de ( )? OF9.- Si el dominio de la unción es [0,] Cuál es el dominio de ( ) ( + 4)? 58

5 OF0.- (S48) Epresar la unción H + en la orma o g. OF.- (S40) Determinar o go h, g, h 4. OF.- (S5) Epresar la unción G( ) en la orma o go h. + Ejercicios adicionales de compoción de unciones OF.- En cada inciso determinar a) g( ) b) g ( ) c) indicar el dominio de ( ), g( ), g( ) y g i), ) g ( ii) (S4), iii) +, g + 5 iv) 9 ( ), g + g 5 TAREA: Swokowski Sec..7 problemas 5 a 60 y ejercicios de repaso 0 a 40, 4 a 7. OF4.- En cada inciso determinar: a) g( ) b) g ( ) i) g 6 > 4 ii) g iii) g / < 5 > 5 INVERSAS FUNCIONES UNO A UNO Y SUS INVERSAS Una unción con domino A y rango B es una unción uno a uno (inyectiva o biunívoca) no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, esto es, cualquiera de las dos condiciones equivalentes guientes se satisace: - Siempre que en A, entonces ( ) en B. - Siempre que ( ) en B, entonces en A. 59

6 OF4.- En cada inciso indicar la unción es inyectiva y no lo es restringir el dominio. Justiicar. a) b) 5 + d) + c) ( 5) Criterio de la recta horizontal Una unción es uno a uno y sólo ninguna recta horizontal interseca su gráica más de una vez. OF5.- En cada inciso indicar la unción es inyectiva y no lo es restringir el dominio. Justiicar. a) (T) b) (T6) Una unción creciente en todo su dominio es inyectiva. Una unción decreciente en todo su dominio es inyectiva. De. (St.p97) Sea una unción uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su unción inversa tiene dominio B y rango A y está deinida por ( y) () y y B. Teorema de las unciones inversas. Sea una unción uno a uno con dominio A y rango B, es la unción inversa de satisace las guientes condiciones. ( ) ( ) Observaciones: i) no quiere decir ii) Im Im D. D ; Una unción tiene inversa y sólo es inyectiva. para cualquier en A para cualquier en B 60

7 OF6.- Veriicar las unciones que aparecen a continuación son inversas. a) (St8), g 4 4 b) (St) 4, 0 ; g 4, 0. Para obtener la unción inversa de una unción uno a uno (St.p99).- Escribir y ()..- Resolver la ecuación para en términos de y es poble..- Intercambiar y y. La ecuación resultante es y. 4.- Veriicar que: ( ) y ( ) D en el dominio de. OF7.- Encontrar la inversa de las guientes unciones ( la unción no es inyectiva restringir el dominio). Indicar el dominio y la imagen de la unción y de su inversa. a) (T) + b) (T4) con 0 c) (T6) + con d) (T) e) (St8) ) (St8) 9, 0 + g) (St4) h) La gráica de se obtiene relejando la de respecto a y. (St.p00) OF8.- Encontrar la inversa de las guientes unciones ( la unción no es inyectiva restringir el dominio). Indicar el dominio y la imagen de la unción y de su inversa. a) (T4) b) (T5) TAREA: Swokowski Sec. 5. problemas a 55 y 57. encontrar g en cada inciso: g g ( ). Sugerencia: utilizar OF9.- Sea 4 a) ( ), b). 6

8 OF0.- Sea 0 + encontrar g en cada inciso: el dominio de a) ( g ) 9 4 +, b) ( ) g. Sugerencia: utilizar. Ejercicios adicionales de inversas OF.- Con la inormación que aparece en las tablas determinar y g, y calcular lo que se indica en cada inciso además de sus dominios () 5 8 g() 5 0 a) o b) g o c) o d) go g OF.- En cada inciso se presenta la recta y y una unción con dominio restringido dibujar la unción inversa correspondiente: : 0, π, g : 0, π, a) [ ] [ ] b) π π c) h : 0,, π (, ] [, ) 6