SIMULACIONES, GRÁFICOS Y ANIMACIONES PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL

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1 SIMULACIONES, GRÁFICOS Y ANIMACIONES PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL. GALERÍA DE GRÁFICOS Sucesión de unciones que tienden a la unción derivada Rectas secantes, tangente animaciones Este material tiene como objetivo brindar las posibilidades de una poderosa herramienta para la conceptualización de derivadas de unciones de una variable sus aplicaciones; rama del cálculo de undamental importancia en Ingeniería, a que aporta los conocimientos necesarios para el análisis el estudio de los cambios que eperimentan las variables en un determinado problema teórico la posterior comprensión del proceso real. Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200

2 La importancia de las simulaciones interactivas radica en que se puede aprender investigando permitir que puedan inerirse los próimos conceptos. Conceptualización de derivada. Interpretación ísica geométrica. Para entender los resultados del cálculo dierencial es necesario, previamente comprender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. La derivada de una unción puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva, ísicamente como una razón instantánea de cambio. Dada una unción () deinida en [a,b], el crecimiento neto (cn) de la misma en dicho intervalo está dado por: cn = (b) (a) () su razón de cambio promedio (rcp) en [a,b] por: (b) - (a) rcp = (2) b - a Este resultado, nos puede resultar útil en determinadas unciones, como por ejemplo en una unción lineal a que la epresión (2) es la pendiente de la misma. Sin embargo, en otras unciones este resultado puede ser insuiciente para brindarnos inormación sobre la rapidez de variación de la unción en todo el intervalo. Si = (), la variable independiente cambia de un valor inicial a otro +h la variable dependiente lo hace de () a (+h), entonces, la razón de cambio promedio de = () en el intervalo [, +h] para cualquier punto de abscisa es: rcp = ( + h ) h ( ) (3) Interesa conocer la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños, la razón de cambio instantánea (rci): rci= h 0 ( + h ) h ( ) (4) La epresión (4) nos brinda inormación sobre la rapidez de variación de la unción =() para cualquier punto de abscisa interior al intervalo, siempre que este límite eista sea inito. Sea (t) la distancia recorrida por una partícula con respecto al origen en el tiempo t, la rcp tiene una interpretación ísica, es la velocidad media (v m ) de la partícula en el intervalo considerado. Es intuitivo entonces que en cada instante la partícula se mueve con una velocidad instantánea determinada (v i ), que es la rci. La v i es un concepto teórico, no es una cantidad observable, es una abstracción. La importancia de la epresión (4), que nos inorma sobre la razón de cambio instantánea de la unción, en cada punto de abscisa, se ormaliza a continuación. Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 2

3 3. Función derivada: Animación de la sucesión de unciones promedio de crecimiento en el intervalo [, +h] Dada la unción =(), se denomina unción derivada se nota () a: ( ) ( ) + h () = (5) h 0 h El dominio de () es el conjunto de valores pertenecientes al dominio de () tal que () eiste. Conceptos importantes: i) h es un número real distinto de cero; que denominamos perturbación de, ii) cuando varía de a +h ( + h) ( ) a la epresión h se la denomina cociente de dierencias o cociente incremental iii) el numerador: (+h)-() es la variación de la unción, correspondiente a la perturbación h. I) Propuesta de trabajo secciones 2) 3) a) Deine una unción polinómica () de grado tres con sólo un cero real comprendido en el intervalo (-,0), que además corte al eje en un punto de ordenada positiva tal que P(2,) pertenezca al gráico de la unción. Determina el crecimiento neto la razón de cambio promedio en el intervalo [-2,] de la unción. b) Halla la razón de cambio promedio de () en el intervalo [,+h] tabula la misma con 0. h 0.9 con saltos de 0.2. Determina el promedio de crecimiento instantáneo. Compara el resultado con la epresión de (), hallada con el sotware c) Realiza, en un mismo sistema coordenado, las gráicas de la sucesión de unciones del ítem b la gráica de (). d) Realiza la animación de la sucesión de unciones que tienden a la unción derivada. 4. Derivada en un punto. Aplicación: Rectas secantes, tangentes animaciones Dada una unción =(), deinida en un intervalo abierto I, con a I, se deine a la derivada de en a se nota (a) a: con la condición que ese límite eista. ( ) ( ) a + h a (a) = (6) h 0 h Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 3

4 Observamos la Fig. AHa, HaLL BHa+h, Ha+hLL Fig. La recta que pasa por los puntos A B se denomina recta secante s su pendiente, que simbolizamos con m s, es m s = ( a + h ) ( a ) h (7) Si h 0, entonces B A. En esas condiciones la posición de la recta secante s tiende a la posición de la recta tangente t, entonces m s m t, esto lo epresamos como: ( a + h) ( a) = m = t h 0 h (a) (8) Recordemos que la ecuación de la recta de pendiente m punto de paso (a,(a)) es: -(a)=m(-a) (9) reemplazando el resultado (8) en (9), obtenemos la ecuación de la recta tangente a la curva =() en el punto (a,(a)). -(a)= (a)(-a) (0) II) Propuesta de trabajo sección 4) a) Elige dos puntos A B de la gráica de la unción =(), deinida en la propuesta (I) graica las rectas secantes tangente en A, con B A b) Genera la animación de las rectas secantes que tienden a la recta tangente. Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 4

5 5. Dierenciales aproimaciones lineales En la Fig. 2 se visualiza la gráica de una unción (), derivable en = a la de su recta tangente en el punto R. Q R D=d P S a Fig. 2 Observamos que el segmento PS representa el crecimiento neto (cn) de la unción en el intervalo [a, a+ ]: PS = = (a+ ) (a) () PQ el crecimiento neto de la ordenada de la recta tangente en dicho intervalo. Si (a) es la pendiente de la recta tangente a la unción =() en el punto R, entonces: QP (a) = PR ó sea: QP = (a) Gráicamente observamos que si 0 entonces QP PS, QS = ε 0 Este resultado permite realizar aproimaciones lineales que pueden representarse en términos de dierenciales. O sea: (a+ ) (a) + (a). d (2) Concepto que podemos utilizar para realizar aproimaciones lineales. Es decir en las proimidades de =a podemos trabajar sobre la recta, en lugar de utilizar la unción, cometiendo un pequeño error que dependerá de cuán próimo estemos de =a. Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 5

6 III) Propuesta sección 5) El objetivo de esta sección es encontrar una órmula general simbólica, para el error de desviación al comportamiento lineal, en vistas realizadas como en un microscopio. a) º paso: Graica = e en. 5. 5, usando igual escalas en e. b) 2º paso: Focaliza el microscopio en =2/3. c) 3º paso: Realiza las gráicas, de la unción la recta tangente a = e en =2/3, en un mismo sistema coordenado. d) Magniica por 0 el gráico anterior calcula gráicamente los valores de ε cuando 0. e) Utiliza los conceptos de la sección para calcular numéricamente ε compara los resultados. 6. Análisis gráico numérico de unciones de una variable 6. Intervalos de crecimiento decrecimiento de una unción Observa las Fig. 3 4, en las mismas se han graicado dos unciones derivables en el intervalo I rectas tangentes en varios puntos de las curvas: q Fig. 3 Fig. 4 i) En la Fig. 3 se puede visualizar que si una unción tiene la derivada positiva para todo I la misma es creciente en I. (rectas tangentes, de pendiente positiva en cualquier punto de su gráica) ii) En Fig. 4 en cambio se observa que si una unción tiene la derivada negativa para todo I, la unción es decreciente en I. (rectas tangentes, de pendiente negativa en cualquier punto de su gráica) Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 6

7 Enunciado 6. En general si es continua en [a,b] derivable en (a,b) se veriica que: i) Si () >0 en (a,b) es creciente en [a,b] ii) Si () <0 en (a,b) es decreciente en [a,b] iii) Si () =0 en (a,b) es constante en [a,b] Procedimiento Aplicamos el enunciado 6.. a la unción ( ) = 3, buscamos los intervalos de monotonía de la misma. (Intervalos donde la unción es creciente, decreciente o constante). La unción es continua derivable R, pues es una unción polinómica. Observamos los gráicos de, representadas en las Fig. (5) (6): ' Visualizamos entonces que: Fig. 5 Fig. 6 () <0 en (-/3, /3) ()>0 en(-,-/3) (/3, ) () es creciente en (-,-/3] () es decreciente en [-/3, /3] ()es creciente en [/3, ) () cambia de positiva a negativa en =/3 de negativa a positiva en = -/3 Mediante cálculos numéricos, veriicamos los ceros de la unción derivada primera: ()= 9 2, entonces ()= = 0 2 = = 2 = Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 7

8 Procedimiento 6..2 Aplicamos el enunciado 6.. a la unción g ( ) = determinamos sus intervalos de monotonía, para ello graicamos las unciones g() g (), que visualizamos en las Fig. 7 8 respectivamente: H g L - 2 Fig. 7 Fig. 8 Observamos que: g () es negativa en (-,) positiva en (, ) g() es decreciente en (-,] creciente en [, ). g () no eiste en =, g() no es derivable en =. g() presenta un punto anguloso en = En los procedimientos , se detectaron los valores donde la unción derivada se anula o donde no eiste, para determinar los intervalos de monotonía de la unción, por lo que deinimos: =c es un punto crítico de una unción, si (c)=0 o (c) no eiste, con c perteneciente al dominio de la unción. IV) Propuesta de Trabajo sección 6.) A) Deine una unción mediante la composición de una unción eponencial una unción cuadrática en un apropiado intervalo de trabajo obtiene: a. Los intervalos de monotonía en orma analítica. b. Un gráico de '(). Analiza los resultados de a. b. c. Analiza los cambios de '(). B) Deine una unción homográica estudia sus intervalos de monotonía. Es creciente o decreciente en todo su dominio? Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 8

9 d a a + b c c c + d b.c a.d se denomina unción homográica. Qué ocurre si b.c = a. d? Nota: La unción : R R / ( ) = con a,b,c,d R c Búsqueda de los etremos relativos absolutos de una unción 6.2. Etremos relativos Hc, HcLL i) Una unción () tiene un máimo relativo en c, si eiste un entorno de centro c, tal que () (c), para toda perteneciente a dicho entorno. H L H L d c Hd, HdLL ii) Una unción () tiene un mínimo relativo en d, si eiste un entorno de centro d, tal que () (d), para toda perteneciente a dicho entorno. iii) A los valores (c) (d) se los denomina etremos relativos. Fig Etremos absolutos Hc, HcLL Si () está deinida en D=[a,b] c,d D a d Hd, HdLL c D b i) tiene un máimo absoluto en c, si () (c), para todo D ii) tiene un mínimo absoluto en d, si ( ) (d), para todo D iii) A los valores (c) (d) se los denomina etremos absolutos. Fig. 0 Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 9

10 Observamos en la Fig. 9 que la unción presenta un máimo relativo en el punto de abscisa c en el cual, cambia de creciente a decreciente, un mínimo relativo en el punto de abscisa d en el cual cambia de decreciente a creciente, lo que nos permite enunciar: Enunciado 6.2. Si c es un punto crítico de una unción continua derivable en un entorno reducido de centro c: i) Si () cambia de positiva a negativa en c, entonces () tiene un máimo relativo en c. ii) Si () cambia de negativa a positiva en c, entonces () tiene un mínimo relativo en c. iii) Si () no cambia de signo en c, entonces () carece de etremo local en c. Enunciado Si () tiene un etremo relativo en = c entonces c es un punto crítico Procedimiento 6.2 Aplicamos los enunciados 6., a la unción propuesta g() hallamos los intervalos de monotonía los etremos relativos: 4 5 g()= g() es una unción polinómica, por lo que es continua derivable R. Graicamos g() g (), que visualizamos en las Fig. () (2) respectivamente determinamos gráicamente sus puntos críticos: 0 0 g' g Fig. Fig. 2 Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 0

11 Visualizamos que: g es negativa en los intervalos (-,-) en (0,2) g es positiva en los intervalos (-,0) (2, ), entonces: g es creciente en el intervalo [-,0] g es creciente en el intervalo [2, ) g es decreciente en el intervalo (-,-] g es decreciente en el intervalo [0,2] g () cambia de positiva a negativa en = 0 g() presenta un máimo relativo M r = 5/3 = g (0) g () cambia de negativa a positiva en = - en = 2, g() presenta mínimos relativos: m r = 0 = g (-) m r = -9 = g (2) V) Propuesta de trabajo sección 6.2) Deine una unción racional, tal que el numerador sea un polinomio de grado tres el denominador de grado uno. Determina los etremos relativos de la misma los intervalos de monotonía. 6.3 Determinación de los intervalos de concavidad puntos de inleión Observamos las Fig. (3) (4) Fig. 3 Fig. 4 La unción representada en la Fig. (3) es una unción cóncava hacia abajo la representada en la Fig. (4) es una unción cóncava hacia arriba. Analizando las pendientes de las rectas tangentes a estas curvas en distintos puntos de las mismas Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200

12 notamos que en la primera las pendientes cambian de positivas a negativas en la segunda de negativas a positivas, lo que nos lleva a dar la siguiente deinición. Deinición 6.3. i) Una unción es cóncava hacia arriba en I si () es creciente en I ii) Una unción en cóncava hacia abajo en I si () es decreciente en I Se visualiza en la Fig. (5) las gráicas de una unción la de su derivada primera ' P Fig. 5 Podemos observar que la unción () es cóncava hacia arriba en el intervalo en que () es creciente cóncava hacia abajo, dónde es decreciente. Enunciado 6.3 Sea dos veces derivable en I, entonces si: i) ()>0 I es cóncava hacia arriba en I ii) ()<0 I es cóncava hacia abajo en I Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 2

13 Deinición El punto P de la curva se denomina punto de inleión. En él la gráica cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba, es decir () cambia de signo. Procedimiento 6.3 Mostramos las gráicas de h(), h () h () en las iguras (6), (7) (8) respectivamente: h h' Fig. 6 Fig h'' Fig. 8 Observando las gráicas deducimos que la unción h() es: a) Decreciente en el intervalo (-, 0.75] Creciente en el intervalo [0.75, ) b) Presenta un mínimo relativo en = 3/4, pues en ese valor h () cambia de negativa a positiva el mínimo relativo es: m r =h (3/4)= - 27/256 Se debe destacar que si bien =0 es un número crítico, la unción no presenta en él Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 3

14 un etremo relativo, pues h no cambia de signo en = 0. c) La unción es cóncava hacia arriba en los intervalos (-,0 ) en (0.5, ) (la unción h es positiva en esos intervalos) es cóncava hacia abajo en (0, 0.5). d) Los puntos P (0,0) P 2 (/2, -/6) son los puntos de inleión de La unción. Mediante los comandos del Sotware determinamos las epresiones de h () h () 3 sus ceros, siendo h()= 4 2 h ()= h () = 0 =0 = ¾ h () = h () = 0 = 0 = ½ VI) Propuesta de trabajo sección 6.3) Realiza el estudio de los intervalos de concavidad de una unción hiperbólica. Determina, en caso de eistir sus puntos de inleión. 6.4 Análisis de los distintos tipos de asíntotas 6.4. Asíntotas horizontales En la Fig. 9 se observa la gráica de una unción la de la recta r, que es una asíntota horizontal a la curva a r Fig. 9 Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 4

15 Deinición 6.4. La recta de ecuación = a se denomina asíntota horizontal de la curva = () si al menos uno de las siguientes igualdades se veriica: ( ) = a /o ( ) = a Asíntotas verticales Las rectas s q graicadas en la Fig. 20 son asíntotas verticales a la curva representada. s q a b Fig. 20 Deinición La recta de ecuación = a se denomina asíntota vertical de la curva = () si al menos uno de las siguientes igualdades se veriica: a a + + ( ) ( ) = = a a ( ( ) ) = = a a ( ) = ( ) = Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 5

16 6.4.3 Asíntotas oblicuas En la Fig. 2 se representó una unción que presenta una asíntota oblicua q q Fig. 2 Deinición La recta de ecuación = m + h se denomina asíntota oblicua a la curva = () si : ( ) ( m + h ) = [ ] 0 Donde m es la es la pendiente de la recta asíntota h su ordenada al origen. Cálculo de m: Dado que si eiste asíntota oblicua, se debe veriicar que: [ ( ) m h] = 0 entonces, con maor razón se veriica: ( ) m h =0 por lo que, realizando las operaciones necesarias, podemos escribir: ( ) m = (3) Cálculo de h: Siendo que el límite de una constante es igual a la constante, se veriica que: Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 6

17 h = [ ( ) m] (4) VII) Propuesta de trabajo sección 6.4) Utiliza la combinación de unciones trascendentes realiza la graica de dicha unción, la de la unción derivada primera de la unción derivada segunda. Describe lo que visualizas. Veriica la descripción eectuada haciendo los cálculos numéricos correspondientes hallando las ecuaciones de las asíntotas. Lidia Nieto Alicia Tinnirello 200 7