ACTIVIDADES INICIALES. a) La ecuación buscada es de la forma y 2x n y debe cumplir n. Así pues, despejando n 3y, la ecuación es y 2x 3.

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1 Solucionario 0 Derivadas ACTIVIDADES INICIALES 0.I. Calcula las ecuaciones de las siguientes rectas. a) Pasa por A(, ) y tiene pendiente. b) Pasa por los puntos B(, 0) y C(, ). c) Forma un ángulo de 0 con el eje y pasa por el punto D(4, ). a) La ecuación buscada es de la orma y n y debe cumplir n. Así pues, despejando n y, la ecuación es y. b) La pendiente de la recta buscada es m 0 ( ) ( ) 5 la ecuación de la recta es y 5 5. c) Conocemos la pendiente m tg 0 6 y 4. y se debe veriicar que 0 n. Así pues, 5, luego 4 n y la ecuación buscada es 0.II. Calcula las TVM de las siguientes unciones en los intervalos indicados. a) g() cos, en 0, b) (), en [, ] cos cos 0 0 a) TVM g 0, ( 6 ) b) TVM [, ] 0 () EJERCICIS PRPUESTS 0.. Sea la unción (). 4 a) Calcula su tasa de variación media en el intervalo [0, ]. b) Utilizando la calculadora, estima cuánto vale la tasa de variación instantánea para 0. c) btén el resultado anterior sin calculadora. a) TVM [0, ] 4 b) TVM [0, 0,] 4, 0, 0,4845 TVM [0, 0,0] 4, 0 0 0,498, 0 TVM [0, 0,00] 4, 00 0,4998 TVI (0) lím TVM [0, ] 0,5 0, c) TVI (0) lím 0 () (0) lím 0 4 ( 4 )( 4 ) lím 0 ( 4 ) lím 0 ( 4 ) Calcula la tasa de variación instantánea de la unción () para. ( ) () TVI () lím TVM [, ] lím 0 0 lím 0 [( ) ( ) ] [6] 4 perando se obtiene: TVI () lím 6 lím lím ( 7) Solucionario

2 0.. Utiliza la calculadora, trabajando con radianes, para obtener la tasa de variación instantánea de () sen en 0. TVI sen (0) lím 0 sen sen 0 lím se n. Se calcula se n para valores pequeños de : 0 se n 0, 0, 0,994, se n 0 0,0,0 0,99998, se n 0,00 0 0, ,00 Luego TVI sen (0) lím se n btén la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados y dibújalas, junto con la recta obtenida en cada caso. a) (), en el punto P(, ) b) () 5, para c) (), para a) La pendiente de la recta tangente es m () lím 0 ( ) lím. 0 La recta tangente pasa por P(, ) y tiene pendiente m, luego es de la orma y n con n. Así pues, su ecuación es y. b) Calculamos la pendiente de la recta tangente: m () [( ) lím 5( ) ] [() 5() ] lím 0 0 lím ( ) 0 La recta tangente pasa por el punto P(, ()) P(, 8) y tiene pendiente m. btenemos n de la epresión 8 () n. La ecuación de la tangente en el punto P(, ()) es y 6. c) Calculamos la pendiente de la recta tangente: ( ) m () lím lím ( 4 )( 4 ) lím lím 0 0 ( 4 ) 4 ( 4 ) Como la recta tangente pasa por el punto P(, ()) P(, ) y tiene pendiente m 4, su ecuación es y Sea la tabla de valores de una unción.,97,0,,99 4 4,0 (),5 6, ,059 7,5 8,98 9 9, a) Utiliza esta tabla para aproimar (). b) A la vista de los valores de la tabla, crees que eiste (4)? Justiica tu respuesta. a) () lím 0 ( ) () Se toman los distintos valores de para los que conocemos ( ), con pequeño. Si Si 0,0 Si 0,0 Luego (). ( ) () () (),5 7 5 ( ) () (,9 7) 0 (),0 6,9 05 7,6 ) 0,0 ( ) () (,0 ) 0,0 () 7, ,95,0 Solucionario 65

3 Solucionario b) No, pues si calculamos (4 ) (4) para valores pequeños de para los que conocemos (4 ), obtenemos Si 0,0 (4 ) (4) (,9 9) 0 (4),0 8, ,0 Si 0,0 (4 ) (4) (4,0 ) 0,0 (4) 9, 9 0,0 0 Por lo que parece que no va a eistir (4) bserva la gráica de y () y calcula, aproimadamente, (), (), (0), (), (), (5). Por lo que se puede ver, (), () 0, (0) 0,7, (), () 0, (5), Dibuja la gráica de una unción y () para que cumpla las siguientes condiciones: (), () 0, (0), () 0, (5) Dibuja la gráica de (). Crees que tiene tangente en el origen? Intenta obtener (0). Como siempre que aparecen unciones que tienen en su epresión un valor absoluto, para estudiar y representar es conveniente escribirla como una unción a trozos: () 0 0 No tiene tangente en el origen, ya que, si nos acercáramos al origen por la izquierda, la ecuación de la tangente sería y, y si nos acercáramos por la dereca sería y. Al intentar calcular (0) por deinición obtenemos: (0) lím ( ), pero la epresión de () depende del signo de : 0 Si 0: (0 ) lím ( ) lím lím ( ) Si 0: (0 ) lím ( ) lím lím ( ) Luego el límite no eiste, y, por tanto, la unción no es derivable en Se considera la unción () si si a) Es continua en? b) Comprueba que no eiste (). c) Eiste recta tangente en P(, ())? a) La unción g() es continua en todo R, luego lo es en el intervalo (, ). La unción () es continua, ya que es polinómica. Debemos estudiar, pues, los límites laterales de en. lím () lím ( ), lím () lím ( ), () Luego la unción también es continua en y, por tanto, lo es en todo R. 66 Solucionario

4 b) () lím 0 ( ) (), pero la epresión de ( ) depende del signo de : Si 0 (0 ) lím ( ) () lím 0 0 [( ) ] lím ( ) 0 Si 0 (0 ) lím ( ) () [( ) ] lím lím Como los límites no coinciden, la unción no es derivable en. c) En la gráica se ve que no eiste tangente en, y además se acaba de comprobar que no es derivable en dico punto. Por tanto, no ay tangente Esboza la gráica de y () a partir de la de y (): () () 0.. Halla la derivada de estas unciones. a) () 5 b) () c) () 8 Todas las unciones son de la orma () k n y, por tanto, sus derivadas son () k n n. a) () 5 5 b) () 8 4 c) () 0.. Calcula la derivada de estas unciones. a) () 4 c) () ( 4 )( 6 ) b) () ( ) d) () ( 7)(5 ) a) () 4 b) () ( ) () 4 4 c) () (4 6)( 6 ) ( 4 )( 6) d) () (5 ) ( 7) () 0.. Calcula las siguientes derivadas. a) () b) () c) () 5 a) () [( ) ] ( c) () ) ( ) 4 ( ) ( ( ) ) ( b) () 5) 5 ( ( 5) 5 ) 0.4. Si (0), g(0), (0) 7, g(0), calcula la pendiente de la tangente en el punto de abscisa 0 de las unciones: a) s() () g() b) p() () g() a) Debemos calcular m s(0). Como s() () g(), tenemos que s(0) (0) g(0) () 7 b) En este caso, p() ()g() ()g(), luego p(0) (0)g(0) (0)g(0) 7 () Solucionario 67

5 Solucionario 0.5. Copia y completa la siguiente tabla. () g() () g() ( g)() ( g)() ( g)(0) (g(0)) () 4 ( g)(0) (g(0)) g(0) () ( g)() (g()) () ( g)() (g()) g() () 4 4 ( g)() (g()) () ( g)() (g()) g() () ( g)() (g()) (0) ( g)() (g()) g() (0) 4 0.6*.Sean () y g(), calcula (g )() y (g )(). Como (), utilizando la regla de la cadena se obtiene: (g )() g(()) () (() ) () (g )() g(()) () ( ) Aplicando la regla de la cadena, calcula las derivadas de las siguientes unciones. a) () ( ) 5 c) () ( ) 6 b) () ( ) 4 d) () a) () 5( ) 4 5( ) 4 c) () 6( ) 5 ( 4 ) b) () 4( ) ( ) d) () 0.8. Utilizando las reglas de derivación de operaciones y la regla de la cadena, alla las derivadas de las unciones siguientes. a) () ( )( 4 ) 4 c) () b) () 4 d) () ( ) 5 4 a) () 4( 4 ) 4 ( ) 4 ( 4 ) ( 4) 4( 4 ) ( ) b) () 4 ( 4) c) () ( ) ( ) 5 d) () 5 4 ( ) ( ) 6 ( ) A partir de las reglas de derivación de operaciones y la regla de la cadena, calcula: a) () ( 5) 5 c) () ( ( 4 ) ) b) () ( ) d) () ( ) 5( 5) a) () 4 ( 5) 5 b) () () 5( 5) 4 ( 5) 5 ( ) ( ) 68 Solucionario

6 [4( c) () ) ( )] ( ) [( ) 4 ] [( ) ( )] [( ) ] ( ) [4( ) ( ) ( ) (( ) 4 ) ( )] ( ) 6 ( ) ( ( 4 ) ( ) ) ( ) 4 ( ) 4 bserva que () ( 4 ) ( ( ) ). Así escrita, la epresión de la derivada es muco más ( ) sencilla. ( ) ( ) ( ) d) () ( ) 4 ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 0.0*. Sean y g las unciones dadas en las gráicas de la igura y sea () ( g)(). a) Calcula () y (). b) Estima (), (), g(), g(). c) Cuál es el signo de ()? Eplica cómo lo obtienes. d) Escribe la ecuación de la tangente a la curva y () en P(, ()). g a) () (g()) (), () (g()) () b) (), (), g(), g() 0 c) () ( g)() (g()) g() () () Como es creciente en, () () 0 d) P(, ()) P(, ), () ( g)() (g()) g() () 0 0 Luego la recta tangente es orizontal, y su ecuación es y. 0.. Justiica si las siguientes airmaciones son verdaderas o alsas: a) Si ( 0 ) 0, entonces es decreciente en 0. c) Si es decreciente en 0, entonces ( 0 ) 0. b) Si ( 0 ) 0, entonces es creciente en 0. a) Falsa. Considera (). En 0 la unción tiene un mínimo (el vértice de la parábola), luego allí no es ni creciente ni decreciente y (0) 0 0. b) Verdadera. En eecto: si ( 0 ) 0, entonces la recta tangente en P( 0, ( 0 )) tiene pendiente positiva, luego es creciente en ese punto. c) Verdadera, ya que, usando el apartado anterior, si ( 0 ) uera positiva, la unción sería creciente, luego si es decreciente, debe ser (0) Señala las abscisas de todos los puntos donde es posible que la unción presente un máimo o un mínimo relativo. Calculamos () ( ) 5 ( )( ). La derivada se anula si 0, o. La unción puede tener etremos relativos en los puntos P(0, ), Q(, ) y R(, ). Para saber si los tiene y si son máimos o mínimos, debemos estudiar el signo de la derivada a la izquierda y a la dereca de esos valores de la abscisa: 0 5 ( ) ( ) () () 0 si (, 0) (0, ) y () 0 si (, ) (, ). Así pues, la unción tiene un máimo en Q(, ) y un mínimo en R(, ). En el punto P(0, ) la unción es decreciente. Solucionario 69

7 Solucionario 0.. Es creciente la unción () en el punto P(0, )? Como (0) 0, la derivada en el punto no nos da muca inormación sobre el crecimiento en ese punto. Estudiemos el signo de la derivada a izquierda y dereca del cero. () ( ) Si 0, entonces () 0, y si 0, entonces () 0, luego en 0 la unción tiene un máimo Determina los máimos y mínimos relativos, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes unciones: a) () 4 4 b) () 5 5 a) Calculamos la derivada de la unción y la igualamos a cero. () 4 4 4( ) 4( )( ); 4( )( ) 0 0,, Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos (, ), (, 0), (0, ) y (, ). (, ) (, 0) (0, ) (, ) 4 ( ) ( ) Signo de Comportamiento de () 0 si (, ) (0, ), luego allí la unción es decreciente. () 0 si (, 0) (, ), luego allí la unción es creciente. La unción tiene un máimo relativo en P(0, 4) y mínimos relativos en Q(, ) y R(, ). b) Calculamos () ( ) 0. La unción es creciente en todo su dominio Dibuja una posible gráica para y () sabiendo que () 0 en (, ), () 0 en (, ), () 0 y () Calcula el valor máimo y mínimo de: 0 en el intervalo [0, 4] d) () 4 6 en el intervalo [, 4] a) () 6 b) () en el intervalo [, 5] e) () en el intervalo [5, ] c) (t) t t en el intervalo [, 4] ) () 4 6 en el intervalo [, ] En todos estos ejercicios se calcula la derivada de la unción y se iguala a cero. A continuación se comparan los valores de la unción en los etremos del intervalo y en los valores que anulan la derivada y pertenecen al intervalo. 6 a) () ; 6 0 [0, 4] 60 (0) 0 ; () ; (4). Luego el valor máimo de la unción en ese intervalo es 0 (se alcanza para 0), y el mínimo es (se alcanza en ). b) (), ; 0 [, 5] (), 9 4 y (5) 0. El valor máimo de la unción es 0, y el mínimo, 9 4. c) (t) t 6t t(t ); se anula para t 0 [, 4] y para t [, 4]. () 4; (0) 0; () 4; (4) 6. El valor máimo de la unción es 6, y el mínimo, 4, que se alcanzan, respectivamente, en t 4 y en t o t. d) () 8, que se anula si 8 5 4,5 [, 4] o si , [, 4] Solucionario

8 () 0, 4 6,065. 0,879, 4 6,065; (4) 6. El valor máimo es 6, y el mínimo e) () ; , (5) 6550; () 6; () 8; () 8; () 6 El máimo es 8, y se alcanza para, y el mínimo, 6550, que se alcanza en 5. ) () 4 4( ) se anula para 0,. () 8, () 9, (0) 0, () 9 y () 8. El máimo es 0, y el mínimo, Halla dos números reales positivos cuyo producto sea 5 y su suma tenga el menor valor posible.. o Nombramos los dos números:, y.. o Escribimos la unción que queremos minimizar: S y.. o Dica unción depende de dos variables, pero entre ellas eiste la relación de ligadura y 5. Así, se puede despejar una de las variables, por ejemplo, y, y sustituir en la unción S. y 5 S 5 4. o Como los números buscados son positivos, debe estar en el intervalo (0, ). 5. o Por último, buscamos el mínimo de S 5 en el intervalo (0, ). S() 5, que se anula para 5 y solamente 5 (0, ). Estudiamos el signo de la derivada por la izquierda y por la dereca de 5. (, 5) (5, ) Signo de Comportamiento de Así pues, el mínimo se alcanza para 5, con lo que los números buscados son 5, y 5, y el valor mínimo de la suma, Los beneicios de una ábrica de camisetas dependen del número de unidades producido cada día según la unción () 6 5, donde indica miles de camisetas producidas al día, y (), miles de euros. Si las limitaciones de personal y máquinas obligan a producir entre 000 y 500 camisetas, cuántas debe producir diariamente para obtener máimos beneicios? Como indica miles de camisetas, se trata de encontrar el máimo de la unción () 6 5 en el intervalo [,,5]. () 6 [,,5] () (,5),75 Así pues, el máimo beneicio es de 750 euros al día y se obtiene produciendo 500 camisetas Queremos delimitar una parcela rectangular para acer una uerta y disponemos de 00 m de alambre. Solamente tenemos que utilizar alambre para tres lados de la parcela, pues para el cuarto aprovecamos un muro. Calcula las dimensiones de la parcela de área máima.. o Llamamos e y a los lados del rectángulo.. o Escribimos la unción que queremos maimizar: A y.. o Encontramos la relación de ligadura entre las variables y 00. Despejamos y sustituimos en la unción A: y 00 A() (00 ) o Como los números buscados son positivos, debe estar en el intervalo [0, 00]. 5. o Buscamos el máimo de A() en el intervalo [0, 00]. A() 4 00, que se anula para 50 [0, 00] A(0) A(00) 0, A(50) 500 Así pues, el área máima es de 500 m y se obtiene alambrando dos lados de 50 m y el tercero de 00 m. Solucionario 7

9 Solucionario Derivada de una unción en un punto 0.0. Considera la unción (). Usa la calculadora para completar la siguiente tabla: 0 0,5 0, 0, 0, (),44,4,0777 0,90 Calcula la tasa de variación media en los intervalos [0; 0,5], [0; 0,], [0; 0,] y [0,; 0]. A partir de los resultados obtenidos, alla una aproimación para la tasa de variación instantánea en 0. TVI (0) 0,7 TVM [0; 0,5] 0, 5 0, 5 0 0,44 0,5 0,884 TVM [0; 0,] 0, 0, 0 0, ,777, 0, TVM [0; 0,] 0, 0, ,77048 TVM [0,; 0], 0 ( 0, 0,) 0, ,66967, Teniendo en cuenta los resultados obtenidos para la tasa de variación media en los intervalos [0; 0,] y [0,; 0], parece que la tasa de variación instantánea en 0 será, aproimadamente TVI (0) (0,777 0,66967)/ 0,694. En unidades posteriores se justiicará que dico número es, eactamente, ln 0, Halla la derivada de () en. La recta tangente en pasa por los puntos (, 0) y (, ). Por tanto su ecuación es y. Como la derivada en coincide con la pendiente de la tangente en el punto P(, ()), tenemos que (). = 0.. Considera la gráica de la igura y contesta: a) Entre qué pareja de puntos consecutivos es negativa la tasa de variación media? b) Entre qué pareja de puntos consecutivos es máima la tasa de variación media? c) Entre qué pareja de puntos consecutivos es más próima a 0 la tasa de variación media? a) Entre D y E b) Entre A y B c) Entre B y C A B C D E 0.. El volumen de una esera, en unción del radio, viene dado por la órmula V(r) 4 r. Despeja el radio y, usando la calculadora, estima la tasa de variación instantánea del mismo cuando V 000 cm. V r(v) 4 TVI r(000) lím TVM r[000, 000 ] lím 0 0 r(000 ) r(000) Calculamos r(000 ) r(000) para algunos valores pequeños de ,0557 6, r(000 ) r(000) 0, , 0 0, 4 00 r(000 0,) r(000) 0, , 0, Luego parece que TVI r(000) 0, Solucionario

10 0.4. Aplicando la deinición, alla las siguientes derivadas en los puntos indicados. a) (), en y en, b) () 5, en 0 y en 5 c) () 5, en y a) () lím 0 lím 0 lím 7 ( 7) 7 0 () lím 0 ( ) () [( ) ( )] lím lím 5 ( 5) b) (0) lím () (0) ( lím 5) (5) lím lím ( ) 0 (5) lím 0 (5 ) (5) [(5 ) (5 ) 5] 5 lím lím lím ( 5 76) 76 0 c) () lím 0 ( ) () ( ) () () lím 0 ( ) () lím 0 lím 0 [( ) ( )] [() ()] [( ) 5] () [( ) 5] () lím 0 lím 0 4 lím ( 4) lím ( 4) Aplicando la deinición de derivada, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráica de () en el punto P,. Dibuja en un mismo sistema de ejes la curva y la tangente obtenida. () lím 0 ( ) () lím 0 lím 0 ( ) ( ) lím 0 lím ( ) 0 ( ) 4 La ecuación de la recta que pasa por el punto P, tiene pendiente m 4 y es y Calcula la ecuación de la recta tangente a la parábola y trazada desde el punto P(0, ). Dica tangente tocará a la curva en el punto P(a, a ), pudiendo escribir su pendiente como a o como a. Igualando, a a a, obtenemos a. a Los puntos de tangencia son, pues, A(, ) y B(, ), y las rectas pedidas, y e y Halla en qué puntos de la curva y 5 la recta tangente es orizontal y calcula, en cada caso, la ecuación de dica tangente. La derivada en los puntos buscados tiene que ser cero, ya que la tangente es orizontal. (a) lím 0 (a a ) (a) a 0a. Igualando a cero: a 0a 0 a Los puntos buscados son A(, ()) (, ) y B,, 4 uno de los puntos es: y en A, y 4 en B La ecuación de la tangente en cada Solucionario 7

11 Solucionario 0.8. En cada caso, calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a las curvas para. a) () 4 b) () 5 a) Tanto la recta tangente como la normal pasan por el punto P(, ()) P(, ). La pendiente de la recta tangente es m (), y la pendiente de la recta normal es m m. Por tanto, la ecuación de la recta tangente es y 5, y la de la normal es y 5. b) Tanto la recta tangente como la normal pasan por el punto P(, ()) P,. La pendiente de la recta tangente es m () 8, pues (). La pendiente de la recta normal es m 8. ( 5) m Por tanto, la ecuación de la recta tangente es y 8 8, y la de la normal es y 8 7. Aplicaciones de la interpretación geométrica 0.9. Dibuja una posible gráica para y () si tienes estos datos sobre la derivada: () 0 en el intervalo (, ) () 0 para y para () 0 para y para Las gráicas de las unciones y g son las de la igura. Calcula aproimadamente (9) si () () g(). (9) (9) g(9) 0, pues g cte g 0.4. Si la gráica de una unción es la de la igura, dibuja aproimadamente la gráica de una unción g tal que g(0) y g() () para todos los números Dibuja aproimadamente la gráica de una unción para la que (0) 0, (0), () 0 y (). 74 Solucionario

12 Derivada y continuidad. Función derivada 0.4. Supón que es una unción para la que lím 0 ( ) () 0. Cuáles de las siguientes airmaciones tienen que ser verdaderas, cuáles pueden ser verdaderas y cuáles son con seguridad alsas? a) () c) es continua en 0. b) () 0 d) es discontinua en. a) Falsa. Por deinición de derivada en un punto sabemos que () lím 0 ( ) (), luego si una unción veriica que lím 0 ( ) () 0, sabemos que es derivable en y que () 0. b) No tiene por qué ser cierta. Podría serlo o no. Por ejemplo, si (), se veriica que lím 0 ( ) () 0, pero (), luego b sería alsa. Sin embargo, si () se veriica tanto que lím 0 ( ) () 0 como que () 0, luego b sería verdadera. c) Puede ser cierta o alsa. Consideremos las unciones cuyas gráicas son: Ambas cumplen que lím 0 ( ) () 0 y, sin embargo, una es continua en cero y la otra no. d) Falsa. Como vimos en el apartado a, una unción que veriica que lím 0 ( ) () 0 es derivable en y, por tanto, debe ser continua allí Aplicando la deinición, calcula la derivada de las siguientes unciones. a) () 5 4 b) () a) () lím 0 ( ) () lím 0 lím 0 lím 0 (5 0 4) 0 4 lím 0 [( ) ]( ) ( ) [5( ) 4( ) ] (5 4 ) 5( ) b) () lím 0 ( ) () ( ) lím 0 lím 0 lím 0 lím 0 [( ) ]( ) ( ) [( ) ] [( ) ]( ) lím 0 ( ) [( ) ]( ) Calcula la segunda derivada de las siguientes unciones utilizando la deinición. a) () 5 b) () Como () ( ) (), debemos calcular primero la derivada primera: a) () lím 0 ( ) () lím 0 () lím 0 ( ) () lím 0 [( ) 5( ) ] ( 5 ) [( ) 5] ( 5) lím 0 lím 0 ( 5) 5 Solucionario 75

13 Solucionario b) () lím 0 ( ) () lím 0 lím 0 ( ) [( ) ] ( ) lím 0 () lím 0 ( ) () lím 0 ( ) lím 6 lím (6 ) (TIC) Calcula, aplicando la deinición, la derivada de la unción (). bserva que ambas unciones son proporcionales e identiica la constante de proporcionalidad. A continuación representa la gráica de () y de su derivada, y estima la constante de proporcionalidad mencionada calculando la pendiente de la recta tangente en P(0, ). Compara este resultado con el obtenido en el ejercicio resuelto 5. Crees que eistirá un número real a para el que () () a? Entre qué valores debería encontrarse a? () lím 0 ( ) () lím lím lím ( ) lím 0 (0) Luego () (0) () y la constante de proporcionalidad es la derivada de la unción en 0. Con ayuda de la calculadora aproimamos numéricamente el valor de la derivada en el cero: 0, 0,,6 0, 0,,0404 0, 0, 0,0 0, 0,0467 0,0 0,0,096 0,0 0,0 Luego (0), Como ( ) 0,7 y ( ),, si queremos que (a )a, entonces a. Derivadas de las operaciones con unciones Halla la unción derivada de las unciones. a) () b) () c) () 5 4 d) () ( 5 )( 5 ) a) () b) () c) (jo, esto no es un cociente) () d) Podemos derivarla como un polinomio, realizando primero el producto: () ( 5 )( 5 ) () directamente como producto de polinomios: () (9 5)( 5 ) ( 5 )( 5 4 ) Solucionario

14 0.48. Calcula las siguientes derivadas. a) () 5 4 c) () b) () 7 9 a) Cociente: () ( 0 6 ) ( 5 4 ) d) () ( 5 ) b) Cuadrado de un cociente de polinomios () 7 9 (7 9) 9( ) 6 (7 9) (7 9 ) Esta unción también se puede derivar como un cociente de polinomios elevando al cuadrado el numerador y el denominador. ( ) 4 c) Cociente de polinomios () ( ) ( ) (5 ) () ( ) (5 ) d) Cociente de polinomios () 65 ( ) ( ) Calcula estas derivadas aplicando la regla de la derivada de n. a) () c) () 4 b) () d) () a) () () b) () () 4 4 c) () 4 () d) () () Encuentra las siguientes derivadas. a) (t) t 9 4t 5 d) () 5 b) () e) () ( ) ( 4) c) () ) () ( ) 5 5 a) (t) 4t 9 5 4t (t) 4 t 9 7 8t 8t 8 6 b) () c) () 5 ( ) () 5 5 d) () () 5 6 e) () ( ) ( 4) ( ) (4) ( )(6 4 4) ( )(6 0) ( )(5 8) ) () () ( 5) 5 5 ( 5) ( 5) t 5 6 Solucionario 77

15 Solucionario 0.5. Halla la ecuación de la recta paralela a y que es tangente a la parábola y 4 5. La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa aes m (a). Si queremos que la recta tangente sea paralela a la recta dada, se debe cumplir que m (a). Derivamos la unción e igualamos la derivada a para obtener a. 8a 5 a 4. Así pues, la recta buscada tiene pendiente y pasa por el punto P 4, 4 P 4,, luego su ecuación es y Sean las unciones () y g(). Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a dicas unciones en el punto de abscisa 0. Comenta el resultado obtenido. Como (0) y (0) 4 ya que () ( ), la recta tangente a en el punto de abscisa 0 es y. Como g(0) y g(0) (ya que g() ), la recta tangente a g en el punto de abscisa 0 es también y. Así pues, estas dos curvas son tangentes en el punto (0, ) Sea (). Calcula las cuatro primeras derivadas sucesivas:,, y IV. A la vista de los resultados, deduce una órmula para encontrar la derivada enésima. Para allar las derivadas sucesivas es conveniente escribir la unción y sus derivadas como potencias de eponente negativo. () () () () () (n) () () n n n! n () n n (TIC) Utilizando la calculadora elabora una tabla de valores y representa en los mismos ejes las gráicas de las unciones: () 4 4yg() 4 0 Puedes epresar g en unción de? Compara sus tasas de variación en cada punto y epresa g en unción de. () g() g g() () 6. Las tasas de variación en cada punto son iguales, pues la curva y g() es la misma que la curva y () desplazada acia arriba y, por tanto, las rectas tangentes en puntos de igual abscisa tienen la misma pendiente. 78 Solucionario

16 0.55. (TIC). Haz lo mismo que en el ejercicio anterior con las siguientes unciones: a) () 4 4 y g() 4 4 b) () 4 4y g() c) () 4 4y g() 4 4 a) g() (). Las tasas de variación en cada punto tienen signo distinto. Donde la unción crece, la unción g decrece a la misma velocidad. g() () b) g() (). La tasa de variación de g en cada punto es el doble que la de. g() () c) g() (). Las tasas de variación en cada punto cumplen que g() (). g g g Derivada de la unción compuesta Dadas las unciones (), g() ( ) 5, () 5, calcula estas derivadas en los puntos indicados. a) () () en d) () en 0 b) ( g)() en e) 8 g( ) en ( ) c) (g )() en 0 ) g( ) ( ) en 5 ( ) Calculemos primero la derivada de cada una de las unciones: () 6, g() 0( ) 4, () 6 5 a) (() ()) () () () (). Entonces, ( )() () () () () b) ( g)() (g()) g(). Entonces, ( g)() (g()) g() () c) (g )() g(()) (). Entonces, (g )(0) g((0)) (0) g() 0 0 ( ) ( 0) d) (() ). Entonces, ()(0) ( ) ( 0) 0 0 e) 8 g() ( ) Entonces, 8 g 8 g() () 8 g() () () () (()) 6 ) g () ( ) 5 ( ) g() 5 8 g()() 8 g()() (()) () () () () (()) Entonces, g 5 () g () () () () () 0 4 ( ) (()) Solucionario 79

17 0.57. Aplicando la regla de la cadena, calcula las derivadas de las unciones siguientes. a) () ( 5 ) c) () ( 4 ) e) () 5 b) () ( 5 ) 4 d) () ( ) 4 ) () 4 Solucionario a) () ( 5 ) (9 5) d) () 4( ) 5 (6 ) 4 4 ( ) 5 6 b) () 4( 5 ) (5 4 4) e) () c) () ( 4 ) (4 ) 4 4 (4 ) () ) Halla las siguientes derivadas. a) () d) () g) () b) () e) () ( 4) 4 c) () ) () ( ( )) a) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ) () b) () ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) c) () d) () e) () 4( 4) ( 4) 4 8( 4) 8( 4) ( ) ( 4) 4 8 ( ( 4) ) ( 4) ( 4) ( 4) 4 ) () (( )) ( ) ( ) ( ) ( )( ) bserva que () (( )) ( ) y de este modo es más ácil calcular la derivada. g) () 5 5 ( ) ) () ( ( ) ( ) ) 80 Solucionario

18 0.59. (TIC) Representa en los mismos ejes las gráicas de las unciones: () 4 4yg() ( 5) 4( 5) ( 5) 4 Puedes epresar g en unción de? Compara la pendiente de la recta tangente a en (a 5, (a 5)) con la pendiente de la recta tangente a g en (a, g(a)) para algunos valores de a. Qué observas? Epresa la unción g en unción de. g() ( 5). Las curvas son iguales salvo por un desplazamiento en sentido orizontal. La recta tangente a la curva y () en el punto de abscisa a 5 es paralela a la recta tangente a la curva y g() en el punto de abscisa a, luego sus pendientes son iguales y, por tanto, g() ( 5). g (TIC) Representa en los mismos ejes las gráicas de las unciones: () 4 4yg() bserva que g() (). Compara la pendiente de la recta tangente a en (a, (a)) con la pendiente de la recta tangente a g en (a, g(a)) para algunos valores de a. Qué observas? Epresa la unción g en unción de. La recta tangente a la curva y () en el punto de abscisa a está menos inclinada que la recta tangente a y g() en el punto de abscisa a. g() (). g Crecimiento y decrecimiento. Etremos 0.6. Encuentra los máimos y mínimos relativos de estas unciones e indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Si en algún caso no tuviera etremos relativos, eplica con claridad por qué es así. Utiliza los datos obtenidos para esbozar la gráica de cada unción. a) p() 5 c) q() b) r() d) s() ( )( ) a) p() 5 0 5, 5 5, Signo de Comportamiento de Luego p es decreciente en el intervalo, 5 y creciente en el intervalo 5,. Tiene un mínimo (absoluto) en el punto 5, 4. El ejercicio está resuelto en la orma general, pero en el caso de una parábola, los alumnos saben que alcanza su único etremo en el vértice y, mirando el signo del coeiciente principal, saben si es cóncava acia arriba o acia abajo, de modo que pueden decidir si es un máimo o un mínimo sin necesidad de estudiar el signo de la derivada. Solucionario 8

19 Solucionario b) r() 6 6 6( ) 0 0o (, 0) (0, ) (, ) 6 ( ) Signo de Comportamiento de La unción es decreciente en el intervalo (0, ) y creciente en (, 0) (, ). Por tanto, tiene un máimo relativo en el punto P(0, 0) y un mínimo relativo en el punto Q(, ). ( ) ( ) c) q() 0 para cualquier valor de. ( ) ( ) Luego la unción es creciente en todo su dominio (R {}). d) s() ( ) ( ) 0 Como es una parábola cóncava acia arriba y con vértice en P, 45, sabemos que en el vértice tiene un mínimo (absoluto) y que es decreciente en, y creciente en, Calcula qué valores deben tener las constantes a, b, c y d para que la unción () a b c d tenga un mínimo relativo en el punto P(, ) y un máimo relativo para y (0). Planteamos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas con las condiciones: En primer lugar, si el polinomio tiene un mínimo en P(, ), debe cumplirse que () y que () 0, que dan lugar a las ecuaciones: a () b () c () d 8a 4b c d y a () b () c 0 a 4b c 0 Si la unción tiene un máimo relativo en, debe veriicarse que () 0, luego tenemos la ecuación: a b c 0 a b c 0 Además, para que se veriique que (0) debe ser d. 8a 4b c Planteamos las ecuaciones aciendo d y obtenemos el sistema a 4b c 0 cuya única solución es a b c 9 a 5, b, c Por tanto, la ecuación del único polinomio de grado tres que veriica las condiciones anteriores es () Solucionario

20 0.6. Halla los valores de las constantes a, b y c que acen que la parábola () a b c pase por el punto P(, 0) y tenga un máimo relativo en Q(, ). Planteamos tres ecuaciones con tres incógnitas: por un lado, para que la parábola pase por el punto P(, 0) se debe veriicar que 0 a () b () c a b c. Además, si tiene un máimo relativo en Q(, ), por una parte sabemos que Q es un punto de la parábola y, por tanto, se debe veriicar que a b c 9a b c, y por otra, que la derivada de la unción en debe ser nula, a b 0. a b c 0 Así pues, debemos resolver el sistema que tiene por solución a, b, c 9a b c. 6a b 0 Por tanto, la ecuación de la única parábola que cumple las condiciones es () Esboza la graica de una unción que tenga las siguientes propiedades. a) () 0si o si 4 b) () 0si 4 c) () 4 y (4) ptimización (TIC) Utiliza una calculadora gráica para representar la gráica de (). Encuentra el máimo absoluto y el mínimo absolutos de la unción en el intervalo [5, 5]. ( ) 4 () 4 ( ) 0 () ( ) Igualando a cero el numerador: ( ( ) ) 0 si 0 o si ( ) 0, que no tiene raíces reales. En este ejercicio se observa la diicultad de resolver algunas ecuaciones y la utilidad de las calculadoras gráicas en estos casos. Gráicamente se observa que el máimo en el intervalo se alcanza cuando 5 y es M 5 6, y el mínimo cuando 5 y es m 5 6. Solucionario 8

21 Solucionario Calcula las dimensiones de una caja sin tapa en orma de paralelepípedo de base cuadrada y de 9 cm de área total para que el volumen sea máimo.. Nombramos las dimensiones de la caja, y. y. Escribimos la unción que queremos maimizar: V y. Dica unción depende de dos variables, pero entre ellas eiste la relación de ligadura del área total: 4y 9. Así, se puede despejar la y, y sustituir en la unción V. y 9 4 V Como los números buscados son positivos, debe estar en el intervalo abierto (0, 9 ). y 5. Por último, se busca el mínimo de V 4 48 en el intervalo (0, 9 ). V (0, 9 ) o 8 (0, 9 ) Como los límites de la unción en los etremos del intervalo son cero y V(8) es mayor que cero, el máimo de la unción V se alcanza en 8, y tenemos que las dimensiones de la caja que maimizan el volumen son cm y su volumen será, por tanto, de 56 cm Halla los puntos de la parábola y de abscisa no negativa que estén más cerca del punto P 0,.. Nombramos las coordenadas del punto buscado, y.. Escribimos la unción que queremos minimizar: 4. Como la abscisa debe ser no negativa, tenemos que [0, ). 5. Por último, buscamos el mínimo de D D P(0, ) _ y D. Dica unción depende de dos variables, pero entre ellas eiste la relación de ligadura, ya que el punto P(, y) pertenece a la parábola y. Sustituimos en D en el intervalo [0, ). 0 si ( ) 0 0, y [0, ). 5 Como D(0),5, lím D() y D(),, se tiene que la distancia mínima es y se alcanza en el punto de la parábola P(, ) Solucionario

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