a) x =7 b) -x =2 c) x-5 =8 d) 4+3x =6 e) 4/x =8 f) 7x+3 =x

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES CÁTEDRA: Matemática I CURSO: 4 TRABAJO PRACTICO Nº TEMA: Funciones y Cónicas ) Resolver las siguientes inecuaciones, epresar la solución como intervalos y representarla en la recta numérica. a) < b) d) + < e) + > c) < f) g) e > h) > i) + ) Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto. Atención! Recuerda que c implica que c ó -c a) 7 b) - c) -5 8 d) 4+ 6 e) 4/ 8 f) 7+ g) 49 h) 5 ) Resolver las siguientes inecuaciones y epresar la solución en forma de intervalo. Atención! Recuerda que si c>, < c implica que c < < c y que > c implica que >c ó < -c a) <4 b) +7 < c) 5-6 d) 5-8 > 8 e) 4 f) 8 4 g) 5 h) 9 < i) 4) Graficar las siguientes funciones particionadas o de dominio etendido, siendo f :domf R a) + 4 si si f ( ) b) f ( ). si< 5 si> 5) Dadas las siguientes correspondencias f : D R R a) Decidir cuáles son funciones e indicar su mayor dominio.. b) En el caso de las que no lo sean eplicar las razones. TP N Matemática I Pág.

2 6) I) a) Hallar el dominio e imagen de la función dada. b) Teniendo en cuenta la representación gráfica de la función hallar: f () f ( ) f () f (5) c) Para que valor de es f (),5? II) a) Hallar el dominio e imagen de la función dada. b) Teniendo en cuenta la representación gráfica de la función hallar: TP N Matemática I Pág.

3 f ( ) f () f () f (4) c) Para que valor de es: f () f ( ) 5 7) Teniendo en cuenta la función definida por tramos: f ( ) 4+ - si< 4 si 4 Determinar las siguientes imágenes: f ( 5) f ( ) f ( ) f ( 4) f ( ) 8) Teniendo en cuenta las representaciones gráficas de las funciones f y g, determinar: g ( ) g () g (5) f () f () f (,5) Estimar para que valor de f ( ) g( ) 9) Escribir las ecuaciones para las funciones que se obtiene a partir de f ( ), g( ) y h ( ) si: a) Se desplaza unidades hacia arriba. b) Se desplaza,5 unidades hacia abajo c) Se desplaza unidades hacia la derecha. d) Se desplaza unidad hacia la izquierda. e) Se refleja sobre el eje f) Se refleja sobre el eje y ) Representar gráficamente una función que cumpla con las condiciones siguientes: Dominio[,5], Imagen[ 4,4], Raíces (,) y (-,), Mínimo (, -4). La representación gráfica que obtuvo es única?- Por qué?- ) Graficar las funciones teniendo en cuenta los desplazamientos de las funciones elementales y determinar: dominio, puntos característicos y paridad. a.) f ( ) b) ( ) + f c) f ( ) + TP N Matemática I Pág.

4 g e ) g ( ) ( ) d) ( ) 4 f) f ( ) + g) f ( ) h) 4 + f ( ) i) f ( ) + j) ( ) f e k) f ( ) l) ( ) log+ n) f ( ) ñ) f ( ) o) f ( ) + p) f ( ) ln q) f ( ) ln( + ) r) f ( ) ln( ) + ) Investigar el gráfico de las siguientes funciones utilizando un software adecuado a) b) c ) d) e ) f) f m) f ( ) log( + ) ) A partir del gráfico de la función f() cos sen( +.5π ); representar las funciones siguientes indicando en cada caso, qué modificación se produce con respecto a f() y qué características se modifican. (Le recomendamos para una óptima visualización, utilizar un software para obtener la gráfica de estas funciones) h ( ). cos( ) h ( ) cos( ) h ( ). cos( + ) π 4) Hallar el dominio de las siguientes funciones, teniendo en cuenta lo desarrollado en el ejercicio ), para los incisos e) al m). + si< 4 + a) f ( ) b) f ( ) + c) f ( ) 9 si 4 + d) f ( ) ( + ) si si e) y f) y ln + g) ln( e ) y h) y + ln ( - ) i) y ln ( - ) j) y k) y ln l) y + m) y ) Dar ejemplos de funciones cuyos dominios sean: a) R { }, b)( ] [, + ),, c)la semirrecta TP N - Matemática I Pág. 4

5 6) Analizar la eistencia de ( f g o ) ( ) y ( g f o ) ( ). Y en los casos afirmativos hallar la epresión de la función compuesta y su dominio. a) f ( ) e y g ( ) b) f ( ) ln( + ), g( ) 4 c) f ( ) + 5, g( ) + 7) Las siguientes funciones se obtienen de componer otras funciones. Determinar cuáles son las funciones compuestas en cada caso. a ) y ln + b)y - c) y - 8) Dadas las siguientes funciones f: a. Decir si eiste función inversa. Justificar. b. En los casos que no eista, realizar las restricciones necesarias para que eista la función inversa. c. Graficar cada función y su inversa en un mismo sistema de ejes coordenados a) h :[, + ) R / h( ) b) g : R [ ; + ) / g( ) ( ) c) :(, + ) R / h( ) ln( + ) h d) f : R R / f ( ) e) f) u : R R / u( ) sen e 9) a) Determinar la ecuación de las circunferencias graficadas en cada caso. b) Hallar las coordenadas del centro, el radio, la ecuación reducida de las circunferencias y graficar. I) + y 4+ 6y II) + y + 7y 8 III) + y 8y+ 4 IV) 4 + 4y 4 8 TP N - Matemática I Pág. 5

6 ) a) Determinar la ecuación de la cónica graficada en cada caso. b) Dadas las siguientes ecuaciones, analizar de que cónica se trata y hallar la ecuación reducida de la misma y graficar: I) + 4y + 8y+ 4 II) 5 + y + y+ 64 III) + 4y y IV) 4y 8 V) 9y + 4 VI) 6 9y 64 7y+ 64 TP N - Matemática I Pág. 6

7 ) ) En un bosque un depredador se alimenta de su presa, y para las primeras 5 semanas a partir del fin de la temporada de caza, la población de depredadores es una función f de, siendo el número de presas en el bosque, la cuál a su vez, es una función g de t, siendo t el número de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de caza. Si f ( ) + 5 y g ( t) 4t+ 5 donde t 5 48 a) encontrar un modelo matemático que eprese la población de depredadores como una función del número de semanas a partir del fin de la temporada de caza. b) determinar la población de depredadores semanas después del cierre de la temporada de caza. ) En un lago, un pez grande se alimenta de un pez mediano y la población del pez grande, es una función f de, el número de peces de tamaño mediano en el lago. A su vez, el pez mediano se alimenta de un pez pequeño, y la población de peces medianos es una función g de w, el número de peces pequeños del lago. Si f ( ) + 5 y g ( w) w+ 5 a) Encuentre un modelo matemático que eprese la población de peces grandes como una función del número de peces pequeños en el lago. b) Determine el número de peces grandes cuando el lago contiene 9.. de peces pequeños ) La vida media del paladio (Pd-), es de cuatro días (o sea que la mitad de cualquier cantidad dada de Pd- se desintegra al cabo de 4 días). Si la masa inicial de una muestra es de un gramo. a) Encuentre la cantidad que queda luego de 6 días. b) Indique la masa m(t) que queda después de t días. c) Halle la inversa de esta función y eplique su significado. d) Cuándo se reducirá la masa hasta, gramos? EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ) Encuentre el número real k tal que el punto P (, ) se encuentre en la recta k + 7 y 7. Graficar. ) Trazar la recta que pasa por cada par de puntos y calcular su pendiente: a) A(,4 ) y B (, ) b) A(, 5) y B (, ) ) Hallar la ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas y graficar: a) Pasa por A( 7,- ) y es perpendicular a la recta -5y 8. b) Pasa por A(-/7, -/ ) y es paralela a la recta + y. c) Pasa por el origen de coordenadas y forma con el eje un ángulo de α 4) Para qué valores de k, la ecuación k+ a) admite dos raíces reales distintas? b) no admite raíces reales? c) Dar ejemplos y graficar. 45 5) Dadas las ecuaciones de las curvas y y + k TP N - Matemática I Pág. 7

8 Hallar k R, de modo que las curvas tengan: a)un punto en común b)dos puntos en común c) ningún punto en común. 6) Trazar las gráficas de f() para los valores de c, en un mismo sistema coordenado. Utilizar desplazamientos verticales, horizontales y ampliaciones o reducciones. a) f ( ) + c ; c,, /4 b) f ( ) ( c) ; c,, / c) f ( ) ( + c ) + ; c -5,, d) f ( ) ;, + c c e) f ( ) c; c /, 7) Representar gráficamente las siguientes funciones, teniendo en cuenta: dominio, paridad y puntos característicos. Indicar analizando en los gráficos: intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos. a). f ( ) + 5 b) f ( ) + 5 c) ( ) 9 e) f ( ) f) f ( ) f d) f ( ). 9 8) Calcular, cuando sea posible el valor de : a) log 7 b) log / 8 c) log d) log 4 e) log a a f) / g) a log a 7 h) i) log - log 5 9) Resolver las ecuaciones logarítmicas y eponenciales siguientes: a) - 9 b) 4. 5 c) log (5+7) d) log + log (-) e) log 4 + log 8 - log f) log + log - log 4 OBS: Recomendamos resolver los ejercicios 8) y 9), de ecuaciones logarítmicas y eponenciales, ya que facilitan el análisis en los ejercicios ) y ) siguientes: ) Representar gráficamente las siguientes funciones. Analizar asíntotas. Indicar analizando el gráfico, intervalos de crecimiento y decrecimiento. a.) f ( ) (/ ) b) f ( ) (/ ) + c) f ( ) e ) Representar gráficamente las siguientes funciones. Analizar dominio, paridad, puntos característicos, asíntotas. Indicar, analizando el gráfico intervalos de crecimiento y decrecimiento. a.) f ( ) log b) f ( ) log(4 ) c) f ( ) log( 6) ) Dadas: f ( ) + 5, g( ) +, h( ) 6 a) Hallar dominio e imagen de f, g y h. b) Hallar si es posible las composiciones que se indican: f o g, go f, ( f og) oh, f oh, f o f, goh. c) Escribir en todos los casos posibles el dominio de la composición. d) Es ( f o g) ( ) ( g o f ) ( )? ) CONICAS Hallar cuando corresponda la ecuación reducida de las siguientes cónicas y Graficar. ) + y + 6 y 5) 4y 9 + 6y+ 8 9 ) y 4 6) + y + y 5 4 ( ) ( y+ 6) ) + 7) 6 + 6y ) + y 4 5 8) 9 + 5y 54+ y 44 TP N - Matemática I Pág. 8

9 PROBLEMAS ) a) Encontrar la función lineal que da la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius, sabiendo que C F y C F. Graficar. b) Recíprocamente, encontrar la función lineal que da la temperatura en grados Celsius, conocida la misma en grados Fahrenheit. ) Los productos farmacéuticos deben especificar la dosis recomendada para los adultos y para niños. Las fórmulas sugeridas para obtener la dosis para niños a partir de la dosis para adultos son: t+ y. a e y t. a 4 5 Siendo a la dosis para adultos (en mg ) y t la edad del niño en años. a) Si a 5 mg, graficar las dos ecuaciones lineales en el mismo sistema de coordenada para t b) Para qué edad las dos fórmulas especifican la misma dosis? c) Qué fórmula sugiere una dosis más cercana a la del adulto para un niño de años? ) Hacia un tanque de agua que contiene agua pura, fluye agua salada de modo que la concentración de sal t en un tiempo t, está determinada por la siguiente ecuación: c ( t) con ( t > ) t+ Graficar c(t) y discutir el comportamiento de la función cuando el tiempo crece indefinidamente e interpretar su significado. 4) De una jaula se escaparon conejos donde no había otros roedores. En principio no se le dio importancia, pero al cabo de un tiempo empezaron a verse con demasiada frecuencia. Alarmados ante su voracidad, a principio de año se hizo un recuento por métodos aproimados: había unos 4. Han pasado seis meses desde entonces. Se han vuelto a contar y hay unos 7. Suponiendo que los recuentos hayan sido correctos, t y sabiendo que la ecuación que da el número de conejos a cada instante es: y Ca. a) Cuál es la tasa de crecimiento mensual de conejos en esa zona? b) Cuánto tiempo hace que se escaparon los primeros conejos? c) Si no se disponen medios para aminorar su número: cuántos habrá dentro de un año? Y dentro de dos años? TP N - Matemática I Pág. 9