Parte I: Producto Cartesiano. Relaciones. Dominio e imagen. Relaciones Inversas. Relaciones de equivalencia y orden.

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1 Facultad de Ciencias Naturales Museo Trabajo Práctico Nº 5 TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 Parte I: Producto Cartesiano. Relaciones. Dominio e imagen. Relaciones Inversas. Relaciones de equivalencia orden. EJERCICIO Nº 1: Dados los conjuntos A = {/ N 0 <3} B = {/ Z -2 < 2} a) Hallar el producto cartesiano de AB b) Hallar el producto BA. Es conmutativo el producto cartesiano? EJERCICIO Nº 2: Dados los conjuntos A B representar en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales los conjuntos AB BA a) A = {/ N <3} B= {/ Z -2 < 2} b) A = {/ R <3} B= {/ R 0 < 3} c) A = {/ Z <3} B= {/ Z -2 < 2} d) A = [ -1;5 ] B = [ 2 ; 5) e) A = ( 2 ; 8] B = (-2 ; 8) f) A = { 2; 5 } B = [2;5] EJERCICIO Nº 3: a) Definir relación. Cómo se representa una relación? b) Definir domino e imagen de una relación. c) Definir relación inversa d) Dar dos ejemplos de relaciones. Dar en cada caso, dominio, imagen gráfica. Representarlas en diagrama de Venn coordenadas cartesianas. Escribir para cada una de ellas su relación inversa representarla. EJERCICIO Nº 4: Qué es una relación definida en A? Para las relaciones definidas en A, enunciar las propiedades refleiva, simétrica, transitiva antisimétrica. Dar un ejemplo que cumpla cada propiedad otro que no la cumpla. EJERCICIO Nº 5: Qué propiedades debe cumplir una relación para ser una relación de equivalencia?. Dar un ejemplo de relación de equivalencia. EJERCICIO Nº 7: Qué propiedades debe cumplir una relación para ser una relación de orden?. Dar un ejemplo de relación de orden. EJERCICIO Nº 6: Qué propiedades cumplen las siguientes relaciones definidas en N: a) es menor que b) es menor o igual que c) es divisor de EJERCICIO Nº 7: Qué propiedades cumplen las siguientes relaciones de parentesco: a) es hermano de b) es hijo de

2 Facultad de Ciencias Naturales Museo Trabajo Práctico Nº 5 Parte II: Contenidos: Funciones. Funciones inectivas, surectivas, biectivas. Funciones inversas. Funciones polinómicas. Función lineal cuadrática. Funciones eponencial logarítmica. Funciones trigonométricas EJERCICIO Nº 1: a) Qué condiciones debe cumplir una relación para ser función. b) Cómo se manifiestan estas condiciones en la representación de la relación mediante diagramas de Venn? c) Cómo se manifiestan las condiciones en la representación cartesiana. d) Dar dos conjuntos A B una relación entre los elementos de ellos que sea función. Representarla en la forma más conveniente. EJERCICIO Nº 2: Dados los conjuntos A = {Córdoba, Roma, París} B = {España, Argentina, Italia} La relación es ciudad de verifica las condiciones para ser función? EJERCICIO Nº 3: De las siguientes gráficas G: R R, cuáles corresponden a funciones? En caso de no ser funciones, eplicitar qué condición/nes falla/n.

3 Facultad de Ciencias Naturales Museo Trabajo Práctico Nº 5 EJERCICIO Nº 4: a) Graficar la función identidad la función constante b) Graficar cada una de las siguientes funciones. Indicar el dominio, la imagen el nombre de cada una de ellas. b 1 ) f() 1 si < 0 0 si = 0 1 si > 0 b 2 ) = EJERCICIO Nº 5: Hallar el dominio e imagen de las siguientes funciones graficarlas. a) f() = -4 si -2-1 si 2 < 2 3 si 2< b) f() = X + 3 si 3 2 si =3 EJERCICIO Nº 6: Hallar el dominio e imagen de las siguientes funciones graficarlas 1 a) f() = 2 b) f() = + 3 c) f() = d) f() = e) = f) f() = 2 5 EJERCICIO Nº 7: a) Qué condiciones debe cumplir una función para admitir inversa? b) Cuándo una función es surectiva? Cómo se manifiesta la surectividad en la representación cartesiana de la función? Cómo se relaciona la surectividad con la condición de eistencia para que la relación sea función? c) Cuándo una función es inectiva? Cómo se manifiesta la inectividad en la representación cartesiana de la función? Cómo se relaciona la inectividad con la condición de unicidad para que la relación sea función? EJERCICIO Nº 8: Dadas las siguientes funciones f(): R R, cuáles admiten inversa?. En caso de ser necesario, restringir e dominio para que la función admita función inversa. Hallar f -1 (). Representar en el mismo gráfico f() f -1 (). a) f() = b) f() = 2 c) f() = 3 EJERCICIO Nº 9: Definir función lineal. Qué representa gráficamente? Qué representa cada una de las constantes? EJERCICIO Nº 10: En los gráficos siguientes la cuadrícula representa la unidad de longitud. Determinar para cada recta: la pendiente, la ordenada al origen, los puntos de intersección con cada uno de los ejes coordenados.

4 Facultad de Ciencias Naturales Museo Trabajo Práctico Nº 5 a) b) c) d) EJERCICIO Nº 11: Las gráficas del ejercicio 4 son funciones? Son surectivas e inectivas? Hallar, cuando sea posible, la función inversa representarla en el gráfico dado. Qué observa? EJERCICIO Nº 12: Dadas las siguientes funciones cuadráticas, hallar las raíces el vértice, escribirlas en forma canónica, graficarlas, determinar el dominio la imagen. a) f() = 2-2 b) g(t) = t 2 + 2t +1 c) h(z) = -z 2 + 3z -1 EJERCICIO Nº 13: Las funciones del ejercicio 12 son biectivas? Restringir el dominio de las mismas para que admitan función inversa. Hallar en cada caso la función inversa graficarla junto a la función. EJERCICIO Nº 14: Una represa cua capacidad es de 116 millones de litros de agua, tiene una filtración. Desde el primer día del mes pierde agua de manera uniforme, a razón de 18 millones de litros diarios, aproimadamente. a) Se desea hallar la formula de la función que describe la cantidad de agua que permanece en la represa cada día. Graficar la función. b) En cuanto tiempo se podría vaciar la represa, en el caso que no se solucione el problema de la pérdida de agua? c) En cuanto tiempo la represa tendría 70 millones de litros de agua. EJERCICIO Nº 15: En las víboras hembras Lampropeltis Polizona, se sabe que la longitud total casi varía linealmente respecto de la longitud de la cola. A partir de los siguientes datos eperimentales

5 Facultad de Ciencias Naturales Museo Trabajo Práctico Nº 5 = longitud de la cola 60 mm 455 mm = longitud total 140 mm 1050 mm obtener la ecuación de la recta que representa la longitud total en función de la cola. EJERCICIO Nº 16: Un antropólogo puede utilizar las funciones lineales para estimar la altura de una persona, dada la longitud de alguno de sus huesos. El húmero es el hueso del brazo entre el hombro el codo. La altura, en centímetros, de un hombre de una mujer con un húmero de longitud, esta dado por M() = 2,89 +70,64 F() = 2, ,48 respectivamente. Se desea saber si el hueso encontrado de 35 cm era de un hombre, cuál sería su estatura? Y si hubiese sido de una mujer, cuanto mediría? EJERCICIO Nº 17: Estudiando la composición del aire entre las hojas de un prado de hierba alta se ha observado que la concentración de anhídrido carbónico varía a lo lago del día. Se han tomado datos durante las 24 horas del día se ha concluido que la concentración media c medida en v.p.m. (volumen por millón) en función de la hora del día t, viene dada por la epresión: c(t) = 2t 2-48t Determinar: a) la menor concentración b) el horario de crecimiento de decrecimiento de la concentración. EJERCICIO Nº 18: Se quiere estudiar la variación de la temperatura promedio de la superficie de un planeta, sabiendo que recibe radiaciones de una estrella cua temperatura aumenta, aunque mu lentamente. La temperatura promedio del planeta se puede calcular a través de la siguiente formula T = (+3) con en millones de años T en ºC. Se desea averiguar si en un período de 4 millones de años, la temperatura promedio puede llegar a tomar el valor de 0ºC. EJERCICIO Nº 19: El Servicio Meteorológico utilizó como modelo para la variación de la temperatura ( en ºC) durante cierto día la siguiente formula T(t) = 0,04t (t 12) (t-24), donde t está medido en horas, t = 0 corresponde a 6 horas. Se quiere averiguar a qué hora la temperatura fue de 0ºC. En qué momentos del día la temperatura tomó valores superiores a 0º C? e inferiores a 0º C. EJERCICIO Nº 20: Graficar en un mismo sistema cartesiano las funciones = 2, = (1/2). Indicar en cada caso el dominio la imagen. EJERCICIO Nº 21: Graficar en un mismo sistema cartesiano las funciones = 2, = log 2. Indicar en cada caso el dominio la imagen. Qué conclusión puede sacar? EJERCICIO Nº 22: Un fósil tiene una masa de Carbono 14 ( C14), que es una sustancia radiactiva, igual a un gramo. Después de un período de aproimadamente 6000 años, llamado período de semidesintegración, la masa radiactiva se reduce a la mitad, a que la otra mitad se fue desintegrando en forma continua a lo largo de ese período. Al cabo de otro período similar, queda solo la mitad de la mitad anterior, así sucesivamente.

6 Facultad de Ciencias Naturales Museo Trabajo Práctico Nº 5 a) Construir una tabla con los valores de la masa M de carbono 14 que permanece inalterable después de 0,1,2,3,...t períodos. b) Obtener la función que relaciona M con t, M(t) c) Puede tomar la variable t valores enteros negativos? En caso afirmativo, eplicar el significado de t = -1; -2-3, hallar los correspondientes valores de M. d) Puede la variable t tomar valores racionales no enteros? En caso afirmativo, hallar el número de años los valores de M que corresponden. EJERCICIO Nº 23: Se encuentran dos fósiles de un organismo que cuando estaba vivo contenía 1 mg de carbono 14 (C-14). Se realizan mediciones de la cantidad de masa de C-14 que contiene, se obtienen los valores de 0,0625 mg 0,02 mg. a) Qué edad aproimada tienen los fósiles? b) Relacionar el cálculo de la edad de los fósiles con el cálculo de la cantidad de masa de C-14, cuando se conoce el número de períodos de la desintegración. c) Si es posible, definir una función g que relacione la cantidad de masa de C-14 con el número de períodos. Cómo se relaciona la función g con la función definida por f() = 1 2 X, para 0? EJERCICIO Nº 24: Representar en coordenadas cartesianas ortogonales las funciones trigonométricas seno, coseno tangente para un ángulo, -2π 2π. Indicar en cada caso el dominio, la imagen, el período los intervalos de crecimiento decrecimiento. Son biectivas? EJERCICIO Nº 25: Restringir el dominio de las funciones trigonométricas seno, coseno tangente para que admitan inversa. Hallar en cada caso la función inversa correspondiente representar la función su inversa en el mismo gráfico cartesiano (utilizar la misma escala para ambos ejes). EJERCICIO Nº 26: Representar en el mismo gráfico las funciones = sen, = sen (2), = 2 sen, = sen ( + π/2) Es distributiva la función sen con respecto al producto? EJERCICIO Nº 27: Sea la función = A sen (ω +α) Cómo se llama cada constante? Observando las gráficas del ejercicio 6 eplicar cómo modifica cada constante a la función = sen.