FUNCIONES Una relación f definida entre dos conjuntos A y B es una función, si cada elemento de A tiene una y sólo una imagen en B.

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Francisco Castillo Acuña
hace 6 años
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1 FUNCIONES Una relación f definida entre dos conjuntos A y B es una función, si cada elemento de A tiene una y sólo una imagen en B. Ejemplo A1: xn/xsean { 5BxZ/2x= < }, = { < 8f:A} y B/una fxrelación 2xdefinida de A en B que asigna a cada elemento de A su doble en B; es decir: ( ) = Realizar un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no una función. Los conjuntos A y B por extensión son: A = {0, 1, 2, 3, 4} y B = { 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Se calculan las imágenes de cada elemento de A: f(x) = 2x f(0) = 2(0) = 0 f(1) = 2(1) = 2 f(2) = 2(2) = 4 f(3) = 2(3) = 6 f(4) = 2(4) = 8 Conclusiones: f es una función ya que a cada elemento del conjunto A le asigna una y sólo una imagen en B El conjunto A es el dominio de f El conjunto B es el codominio de f El conjunto {0, 2, 4, 6, 8} es el rango de la función f. Ejemplo 2: PxZ/xSe define del conjunto { 2MxN*/x= } al conjunto = { 6} la siguiente relación: g:pm/gxx22 ( ) = +. Realizar un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no una función. Los conjuntos P y M por extensión son: P = { 2, 1, 0, 1, 2} y M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Se calculan las imágenes de cada elemento de P: g(x) = x g(-2) = (-2) = 6 g(-1) = (-1) = 3 g(0) = (0) = 2 g(1) = (1) = 3 g(2) = (2) = 6 Conclusiones: g es una función ya que a cada elemento del conjunto P le asigna una y sólo una imagen en M Dom g = P Codominio = M Rgo g = { 2, 3, 6 } Funciones 1

2 h4h9ejemplo 3: BxN*/xSean A = {1, 4, 9, 16, 20, 25}, = { 5} y h una relación definida de A en B de la siguiente h:ab/hxxforma: ( ) =. Realizar un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no una función. El conjunto B por extensión es: B = {1, 2, 3, 4, 5} Se calculan las imágenes de cada elemento de A: xhx( ) = 11() = = 42( ) = = 93( ) = = h16164( ) = = h2020( ) h25= 2= 5= h1( ) 5Conclusión: h no es una función ya que la imagen del número x = 20 no pertenece al conjunto 20BB. Es decir, Ejemplo 4: Sean A = { 3, 1, 2} y B = { 2, 0, 2, 4}. Se define de A en B una relación R de la siguiente forma: Un elemento xryx de xa yestá relacionado con un elemento y de B si y sólo si x es menor que y. Es decir, < Realizar el producto cartesiano AxB, un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no función: Producto cartesiano: AxB ={(-3,-2),(-3,0),(-3,2),(-3,4),(1,-2),(1,0),(1,2),(1,4),(2,-2),(2,0),(2,2),(2,4)} Las parejas que pertenecen a la relación son: R ={(-3,-2),(-3,0),(-3,2),(-3,4),(1,2),(1,4),(2,4)} Conclusión: R no es una función ya que existen elementos en el conjunto A que tienen múltiples imágenes Funciones 2

3 Ejercicio 1: Determina para cada uno de los siguientes diagramas sagitales, si representa una función o no. Justifica tu respuesta. Ejercicio 2: Determina para cada uno de los siguientes diagramas tabulares, si representa una función o no. Justifica tu respuesta. Ejercicio 3: Determina en cada caso, si el conjunto de pares ordenados corresponde a una función del conjunto X en el conjunto Y. Justifica tu respuesta. a) X = {0, 1, 2, 3, 4}, Y = {2, 3, 4, -5, 5, 8} R 1 = {(1, 3);(2, -5);(3, 8);(0, -5);(4, 8)} b) X = {a, b, c, d, e}, Y = {3, 4, 8, 11, 12, 13} R 2 = {(a, 3);(b, 4);(b, 8);(c, 11);(d, 8);(e,12)} c) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {x, y, z, w} R 3 = {(1, x);(2, x);(3,x);(4, x);(5, x);(6,x)} d) X = {a}, Y = {1, 3, 5, 13} R 4 = {(a, 3);(a, 1);(a, 5);(a, 13)} Funciones 3

4 Función inyectiva: Una función es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas en el codominio. Ejercicio 4: Determina para cada uno de los siguientes diagramas sagitales, si representa una función inyectiva. Justifica tu respuesta. Ejercicio 5: Determina para cada uno de los siguientes diagramas tabulares, si representa una función inyectiva. Justifica tu respuesta. Funciones 4

5 Función sobreyectiva: Una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio son imágenes de elementos del dominio. Es decir, codominio = rango Ejercicio 6: Determina para cada uno de los diagramas sagitales dados en el ejercicio 4, si representa una función sobreyectiva. Justifica tu respuesta. Ejercicio 7: Determina para cada uno de los diagramas tabulares dados en el ejercicio 5, si representa una función sobreyectiva. Justifica tu respuesta. Función biyectiva: Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez Ejercicio 8: Determina para cada uno de los diagramas sagitales dados en el ejercicio 4, si representa una función biyectiva. Justifica tu respuesta. Ejercicio 9: Determina para cada uno de los diagramas tabulares dados en el ejercicio 5, si representa una función biyectiva. Justifica tu respuesta. Funciones 5

6 1) De los siguientes diagramas sagitales anexos, representan una función: A) Sólo I B) Sólo I, II Y III C) Sólo II y IV D) Sólo I y IV E) Sólo I y III 2) Cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados representa una función? A) {(0,4), (3,3), (0, 2), (4,1)} B) {(5,5), (5,2), (5,3)} C) {(4,1), (3,2), (3,3)} D) {(1,0), (5, 1), ( 2, 2), (3, 2)} E) {(2,1), (2,3),(2,5), ( 1,4)} Nota: Las primeras componentes de los pares ordenados representan los elementos del conjunto de partida y las segundas componentes los elementos del conjunto de llegada 3) De los siguientes conjuntos de pares ordenados el que no representa una función es: A) {(x,2), (y,2), (m,3), (p,3)} B) {(a,x), (b,x), (c,x), (d,x)} C) {(5,2), (3,0), (2,3), (9,1)} D) {(1,2), (2,8), (2,9), (5,5)} E) {(0,9), (1,9), ( 2,1), (4,4)} 4) De los diagramas tabulares anexos, representan una función: A) Sólo IV B) Sólo II y IV Nota: Los números en el eje X representan los elementos del C) Sólo II y III conjunto de partida (A) y los números en el eje de las Y los D) Sólo I y III elementos del conjunto de llegada (B) E) Sólo II, III y IV 5) De las siguientes representaciones gráficas, corresponden a una función: (Nota: Para saber si una gráfica representa una función, trace una recta paralela al eje Y. Si la recta corta a la gráfica en un solo punto, la gráfica representa una función. Si la recta corta a la gráfica en dos o más puntos, la gráfica no representa una función.) A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I, II y III E) Sólo I, II y IV 6) Cuál de las siguientes expresiones define a x como una función de y, de acuerdo a la tabla de valores adjunta? x y 0 3/2 8/3 15/4 24/5 35/6 3yxA) = 2( 13x1x1x1y( x 1 ) B) = )x2 2 x 1 y( + )( C) y = D) y = E) = )2xx x + 1 Funciones 6

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