MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #22. = x 2 :

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE # (Tomado de: Stewart, James. "Precálculo". Quinta Edición. Sección.8) FUNCIONES UNO A UNO Y SUS INVERSAS Funciones Uno a Uno De nición Una función f, con dominio D f, se dice uno a uno (1-1) o inyectiva si no hay dos elementos distintos en D f que tengan la misma imagen. Es decir, si x 1 D f y x D f x 1 6= x =) f (x 1 ) 6= f (x ) o equivalentemente f(x 1 ) = f(x ) =) x 1 = x : La función f (x) = x no es uno a uno, ya que hay al menos dos elementos tienen la misma imagen f ( ) = f () = 4. y del dominio de f que A partir de la grá ca de una función se puede saber si la función es o no uno a uno. Prueba de la Recta Horizontal Una función f es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal (paralela al eje x) corta su grá ca en más de un punto. En efecto, consideremos la grá ca de una función f: Hay al menos una recta horizontal que intersecta la grá ca de f en dos puntos distintos, es decir, existen al menos dos elementos a y b del dominio de f tales que f (a) = f (b) : Luego f no es uno a uno. 1

2 Usando la prueba de la recta horizontal, determine si las siguientes funciones son uno a uno: a) f (x) = p x : b) g (x) = jxj 3: c) h (x) = (x + 1) 3 : a) La grá ca de f se obtiene trasladando unidades a la derecha la grá ca de y = p x: Como ninguna recta horizontal corta la grá ca de f en más de un punto, entonces f es uno a uno. b) La grá ca de g se obtiene trasladando 3 unidades hacia abajo la grá ca de y = jxj: Existe al menos una recta horizontales que corta la grá ca de g en dos puntos distintos, luego, g no es uno a uno. c) La grá ca de h se obtiene trasladando 1 unidad a la izquierda la grá ca de y = x 3 : No existe alguna recta horizontal que corte la grá ca de h en más de un punto. uno. Luego, h es uno a

3 Inversa de una Función Sea f una función uno a uno, con dominio D f y rango R f. La función g con dominio R f y rango D f ; tal que g (y) = x () f (x) = y, 8y R f : se llama la función inversa de f y se denota por f 1 : Entonces f 1 es la inversa de f si 8y R f ; f 1 (y) = x () f (x) = y: De acuerdo con la de nición, si f envía a x en y entonces f 1 envía a y en x (lo devuelve al valor inicial). Si g es una función uno a uno y D g = f; 3; 4g y g () = 10; g (3) = 0 y g (4) = 15; entonces g 1 (10) =, g 1 (0) = 3 y g 1 ( 15) = 4: Propiedad de la Función Inversa Sea f una función uno a uno con dominio D f y rango R f. La función inversa f 1 satisface las siguientes propiedades de cancelación: Además, si dos funciones g y h son tales que f 1 (f (x)) = x, 8x D f (ó (f 1 f)(x) = x, 8x D f ) f f 1 (y) = y, 8y R f (ó (f f 1 )(y) = y, 8y R f ) g (h (x)) = x, 8x D h (ó (g h) (x) = x, 8x D h ) y h (g (x)) = x, 8x D g ; (ó (h g) (x) = x, 8x D g ) entonces, h es la inversa de g y g es la inversa de h (en otras palabras, g y h son inversas entre sí). 3

4 Compruebe que las funciones f (x) = 3p x 5 y g (x) = x son inversas entre sí. El dominio tanto de f como de g es R. Calculemos (f g) (x) y (g f) (x): (f g) (x) = f (g (x)) = f x = 3p (x 3 + 5) 5 = 3p x 3 = x, 8x R. (g f) (x) = g (f (x)) = g 3p x 5 = 3p x = (x 5) + 5 = x, 8x R. Por la propiedad anterior de las funciones inversas, concluimos que las funciones f y g son inversas entre sí, esto es, f 1 (x) = g (x) = x y g 1 (x) = f (x) = 3p x 5: Cómo Hallar la Función Inversa de una Función Uno a Uno? Si y = f (x) es una función uno a uno, para hallar su inversa f 1 se procede así: 1. Se escribe y = f (x).. Se despeja x en términos de y, si es posible (se obtiene x = f 1 (y)): 3. Se intercambian x y y en la ecuación anterior para obtener y = f 1 (x). Calcule la inversa de las siguientes funciones uno a uno. a) f (x) = x : b) g (x) = 1 + 3x 5 x : a) Escribimos y = f (x) y despejamos x: y = f (x) y = x y = x y = x y 3 = x 7 x = 7p 3y 3: Intercambiamos x y y y la ecuación resultante es y = f 1 (x): y = 7p 3x 3 f 1 (x) = 7p 3x 3: 4

5 b) Escribimos y = g (x) y despejamos x: y = 1 + 3x 5 x 5y xy = 1 + 3x 5y 1 = 3x + xy 5y 1 = (3 + y) x x = 5y y : Intercambiamos x y y y la ecuación resultante es y = g 1 (x): Grá ca de la Función Inversa y = 5x x g 1 (x) = 5x x. Consideremos una función f uno a uno. Si un punto (a; b) pertenece a la grá ca de f entonces f (a) = b y, por de nición de función inversa, f 1 (b) = a. Es decir, el punto (b; a) pertenece a la grá ca de f 1 : (a; b) grá ca de f () b = f(a) () f 1 (b) = a () (b; a) grá ca de f 1 Además los puntos (a; b) y (b; a) son simétricos respecto a la recta y = x: Esto es, el punto (b; a) se obtiene al re ejar el punto (a; b) con respecto a la recta y = x. Luego, la grá ca de y = f 1 (x) se obtiene al re ejar la grá ca de y = f(x) con respecto a la recta y = x. 5

6 Si la siguiente es la grá ca de una función h, uno a uno. Trace la grá ca de h 1. Trazamos la recta y = x y re ejamos la grá ca de h con respecto a esta recta. la grá ca de h 1. La grá ca que se obtiene es Sea f la función de nida por f(x) = p x + 1: 1. Usando la prueba de la recta horizontal, determine si f es o no una función uno a uno.. En caso a rmativo, halle la función f 1 ; su dominio y rango. 3. En el mismo plano cartesiano trace las grá cas de f y su inversa. 1. Sea f(x) = p x + 1: D f = fx R=x + 1 0g = [ 1 ; 1): 6

7 A partir de la grá ca de y = p x y usando transformaciones de funciones obtenemos la grá ca de f : De la grá ca de f observemos que R f = [0; 1) y además, por prueba de la recta horizontal, concluimos que f es una función uno a uno. Luego, f tiene una función inversa f 1 :. Hallemos la función f 1 : Sea y = f(x) = p x + 1: Despejemos x en términos de y : y = p x + 1 () y = x + 1; y 0 y 1 () = x; y 0 () x = y 1 = f 1 (y); y 0: Intercambiando x y y en la ecuación anterior obtenemos: y = f 1 (x) = x 1 ; x 0: Además D f 1 = R f = [0; 1) y R f 1 = D f = [ 1 ; 1): 3. Recordemos que la grá ca de y = f 1 (x) se obtiene re ejando la grá ca de y = f(x) respecto a la recta y = x: 7