Podemos calcular el valor de y sustituyendo en ( 2 3) 1 y f( x) Nos queda
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- Daniel Ruiz Valenzuela
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1 TAREA 5: MÉTODOS CUANTITATIVOS Cuenta: Nombre: DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL ): p( x) y f( x), q( x) 0 q( x) A continuación haremos ejemplos con puntos faltantes Dada la grafica ( x 5x 6) y f( x) ( x 3x 10) Factorizamos por tanteo ( x 3)( x ) y f( x) ( x 5)( x ) Como vemos existe un facto repetido que es (x+) por lo cual lo podemos cancelar ( x 3) y f( x) ( x 5) 1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo. Ubicación Factor Valor x Tipo Hace 0 el factor Arriba (x+3) X=1 Intercepto en x (x+) X=- Punto faltante Abajo (x-5) X=5 Asíntota vertical (x+) X=- Punto faltante ) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical Vemos que el polinomio (x-5) no puede ser igual a cero porque se produciría un error matemático. Por lo cual el valor prohibido de x ocurre cuando: x-5=0 Despejando nos queda X=5 Formalmente Asíntota Vertical (AV): x=5 En el caso del punto faltante también tenemos un punto prohibido en el factor (x+) Que nos dice que x=- no se puede evaluar. Sin embargo si factorizamos esa limitación es removible y se le llama punto faltante. Podemos calcular el valor de y sustituyendo en ( 3) 1 y f( x) ( 5) 7 Por tanto el punto faltante es (-, - 1/7) 3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea: ( x 3) 0 ( x 5) Nos queda 0( x 5) ( x 3) 0 ( x 3) Despejando nos queda x=-3 Formalmente Intercepto en x = Ix (-3, 0) 4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0 Sustituimos ((0) 3) 3 3 y f(0) 0.60 ((0) 5) 5 5 Formalmente Intercepto en y = Iy (0,-3/5) 5) Asíntota Horizontal AH: y x 1 x Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y= ( x 3) y 1 ( x 5) Y despejamos 1( x 3) ( x 5) x 3 x 5 55
2 3 5 es falso Por tanto no cruza la 6) Elaboramos ahora la tabla de valores Tipo x y (x, y) (( 100) 3) (-100, 1.96 (( 100) 5) 0.9) Ix -3 (( 3) 3) 0 (1,0) 0 (( 3) 5) 8 Iy 0 ((0) 3) 3 (0,-0.60) 0.60 ((0) 5) 5 AV- 5- ((4.99) 3) ((4.99) 5) AV 5 ((5) 3) 8 ((5) 5) 0 AV+ 5+ ((5.01) 3) ((5.01) 5) ((100) 3) 1.08 ((100) 5) 7) Elaboramos la grafica Ubicamos las asíntotas. AV: X=5 AH: y=1 (4.99, -799) No Def. (5.01, 801) (100, 1.08) Tercero unimos por el camino más corto Y finalmente tenemos la grafica Segundo ubicamos las tendencias, intercepto y punto faltante. 8) Determinamos el dominio El dominio lo podemos definir como todos los números reales menos los valores prohibidos, el valor prohibido en este caso es la asíntota vertical. R,5 Dominio = O Dominio =,,5 Dominio =,,5 5, 9) Determinamos el rango El rango lo podemos definir como todos los reales menos la asíntota, a menos que la función cruce la asíntota. R 1/7,1 Rango = Rango =, 1/ 7,1 56
3 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL ): ( )( x 5x 6) 1) y ( x x 8) 7. Determine el punto faltante 8. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 9. Grafica (indicar dominio y rango 10. Dominio y Rango 57
4 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL ): ( 7)( x 9x 14) ) y ( x 4x 1) 7. Determine el punto faltante 8. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 9. Grafica (indicar dominio y rango 10. Dominio y Rango 58
5 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL ): ( x 7x 18) 3) y ( x 11x 18) 7. Determine el punto faltante 8. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 9. Grafica (indicar dominio y rango 10. Dominio y Rango 59
6 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL ): ( x 16x 55) 4) y ( x 8x 33) 7. Determine el punto faltante 8. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 9. Grafica (indicar dominio y rango 10. Dominio y Rango 60
7 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL ): ( x 19x 84) 5) y ( x 10x 4) 7. Determine el punto faltante 8. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 9. Grafica (indicar dominio y rango 10. Dominio y Rango 61
8 DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 3): p( x) y f( x), q( x) 0 q( x) A continuación haremos ejemplos con dos asíntotas verticales, y asíntota Y=0 Dada la grafica ( x 4) y f( x) ( x x 56) Factorizamos por tanteo ( x 4) y f( x) ( x 8)( x 7) Como vemos el grado del polinomio de arriba es 1, y el de abajo es, y no hay factores repetidos para puntos faltantes 1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo. Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor Tipo Arriba (x+4) X=-4 Intercepto en x Abajo (x-8) X=8 Asíntota vertical (x+7) X=-7 Asíntota vertical ) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical En este casos los valores prohibidos son -7 y 8, y constituyen las asíntotas verticales cuando x-8=0 x+7=0 Despejando nos queda X=8 X=-7 Formalmente Asíntota Vertical (AV): x= 8 Asíntota Vertical (AV): x= -7 ( x 4) 0 ( x 8)( x 7) Nos queda 0( x 8)( x 7) ( x 4) 0 ( x 4) Despejando nos queda x=-4 Formalmente Intercepto en x = Ix (-4, 0) 4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0 Sustituimos ((0) 4) y f( x) ((0) 8)((0) 7) ( 8)( 7) Formalmente Intercepto en y = Iy (0,-1/14) 5) Asíntota Horizontal Calculamos x 1 AH: y x x Nota: como no nos queda una constante debemos evaluar que ocurre en infinito y + infinito Usamos y nos queda 1/(-1000)= Usamos y nos queda 1/(+1000)= Lo cual nos dice que tiene a la recta y=0 REGLA GENERAL: cuando el grado del polinomio del numerador sea menor que el del denominador la asíntota siempre será y=0 Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=1 ( x 4) 0 ( x 8)( x 7) Y despejamos ( x 8)( x 7)0 ( x 4) 0 ( x 4) X=-4, por lo tanto si cruza cuando x=-4 3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea: 6
9 6) Elaboramos ahora la tabla de valores Tipo x y (x, y) ( 100 4) ( 100 8)( 100 7) (-100, ) = AV (-7.01, ) AV -7 No definido No Definido AV (-6.99, ) Ix -4 0 (-4,0) Iy 0 =-1/14= (0, ) AV (7.99, ) AV 8 No definido No Definido AV (8.01, ) (100, 0.011) Segundo ubicamos las tendencias, interceptos Tercero unimos por el camino más corto 7) Elaboramos la grafica Primero ubicamos las asíntotas AV: X=-8, x=7 AH: y=0 Cuarto unimos y logramos la grafica 8) Dominio R 8,7 Dominio = 9) Rango Rango = R 0 63
10 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3): ( x 3) 1) y ( x x 35) 7. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 8. Grafica (indicar dominio y rango 9. Dominio y Rango 64
11 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3): ( 7)( x ) ) y ( x x 8) 7. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 8. Grafica (indicar dominio y rango 9. Dominio y Rango 65
12 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3): ( x 3) 3) y ( x 3x 10) 7. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 8. Grafica (indicar dominio y rango 9. Dominio y Rango 66
13 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL ): () 4) y ( x 8x 0) 7. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 8. Grafica (indicar dominio y rango 9. Dominio y Rango 67
14 DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3): ( x 1) 5) y ( x 3x 15) 7. Tabla de Valores. Determine la asíntota vertical 8. Grafica (indicar dominio y rango 9. Dominio y Rango 68
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