Unidad 4: Límite, continuidad, asíntotas

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1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Dada la función = = a) Demostrar que no es continua en =., se pide: b) Existe una función continua que coincida con para todos los valores?. En caso afirmativo, dar su expresión. c) Existe alguna asíntota oblicua de?. En caso afirmativo, calcularla. a lim = = lim = lim +5 = 10 0=5 No es continua en =5 b) Como = +5, si 5. La recta =+5 es una función continua que en todos los valores distintos de 5 coincide con la función dada. c) lim ± = = lim ± = lim ± = 1 = lim ± = lim ± =+5 es la = lim 5 ± 5 = 5 asíntota oblicua; 2. La temperatura (en ºC) de un objeto viene dada por la función =, donde t es el tiempo en horas. Calcula la temperatura inicial, la temperatura 5 horas más tarde y la que puede alcanzar el objeto si se deja transcurrir mucho tiempo. Si =0, 0=10 = 8ºC es la temperatura inicial Si =5, 5=10 lim 10 tiempo, pero nunca llegará a alcanzarla. 3. Sea = <0 = 19,75ºC es la temperatura después de 5 horas. =º es la temperatura a la que se aproximará si transcurre mucho a) Existe algún valor del parámetro a para el que sea continua en =? b) Para = compruebe si = / es asíntota vertical de. lim 0 2 2= 2 a) lim = lim = 1. Si queremos que sea continua en =0 se debe cumplir que lim = lim 2= 1/ =/ Matemáticas CCSS II Página 1 de 5

2 b) Si =2, = 2 < lim / +2 = = = 0 =/ no es asíntota vertical (el limite debe ser ± ) / 4. Sea una función real de variable real que cumple las siguientes condiciones: a) es continua en todos los puntos excepto en x=3 b) =, = c) =, = Dibuja la gráfica de una función que verifique las condiciones anteriores. Razona la gráfica dibujada. Según el apartado b) la recta =3 es una asíntota vertical de la curva, y según c) la recta =2 es una asíntota horizontal. Hay muchas posibilidades de dibujar la gráfica, pero la curva más sencilla que cumple estas condiciones es la siguiente Se trata de una hipérbola equilátera igual a la gráfica de la función =, trasladada hacia la derecha y hacia arriba. 5. Sea = + <3 a) Calcular los valores del parámetro a para los que f(x) es continua en =. b) Para = calcular las asíntotas verticales y horizontales de. a) lim = lim 3+2=20. lim = Como se debe verificar que lim = lim 20 = 3=1/2 =/ b) Si =4 la función es = 3+2 <3 3 y su dominio es {4} Matemáticas CCSS II Página 2 de 5

3 Unidad 4: Límite, continuidad, asíntotas A.V. lim =+ ; lim =- = es una asíntota vertical 4 4 A.H. lim = - ; lim =0 = es una asíntota horizontal 4 6. Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo punto: = = La función es continua para cualquier valor de 2 porque es una función racional. Para que sea continua en =2 debe cumplirse que 2= lim lim =lim = = lim = lim +2+4 = 12 = 7. Se considera la función real de variable real definida por: = Determínense las asíntotas de, especificándolos valores del parámetro real a para los cuáles tiene una asíntota vertical, dos asíntotas verticales, o bien no tiene asíntotas verticales. =0 = ± Si 1+4>0 4> 1 > 1/4, la función tiene dos asíntotas verticales: =, = Si 1+4=0 = 1/4, = / es una asíntota vertical de Si 1+4<0 < 1/4, no tiene asíntotas verticales 8. Dada la función rea de variable real definida por = a) Especificar su dominio de definición. b) Estudiar su continuidad. c) Calcular las asíntotas, si las hubiera. a) 3+2=0 =1, =2 = {.} b) La función es continua en su dominio (es una función racional) y discontinua en =1, =2 Estudiemos el tipo de discontinuidad en dichos puntos: lim = = lim = en = hay una discon- tinuidad evitable lim lim 2 = = ± lim = = en = hay una discontinuidad con salto infinito c) A.V. en = Hay una asíntota vertical = lim = 2 0 = A.H. lim ± = 1 = es una asíntota horizontal A. O. No hay. Matemáticas CCSS II Página 3 de 5

4 9. Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de euros) en relación con el valor x (en cientos de euros) de lo vendido por cada uno., < 100 Dicho incentivo sigue la función: = >100 a) Estudia la continuidad de. Indica si el incentivo recibido por un empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a b) Cuál es la cantidad máxima que un empleado podría recibir como incentivo si sus ventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta. a) Para 100, la función es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos definidos. lim 0,01=1 Si =100 lim =1,2 Hay una discontinuidad con salto finito 100=1 Para , = 100 y si el valor de las ventas es inferior: lim 0,01 =1 se reciben, y si es superior : lim =1,2, se reciben, luego hay cierta diferen- cia en el incentivo recibido según sea ligeramente inferior o superior a b) lim =lim = 15 es la cantidad a la que se aproximarán el incentivo de los empleados con ventas muy grandes. 10. Se considera la función real de variable real definida por = a) Determinar su dominio de definición. b) Obtener sus asíntotas. a) 0 0. Para resolver dicha inecuación, calculamos las raíces del numerador y denominador: = 1,= 1, =2,= 2 que dividen la recta real en los intervalos siguientes:, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1,. Estudiamos el signo del radicando en los diferentes intervalos (x+2) (x+1) (x-1) + + (x-2) = 1,= 1 son valores que anulan el denominador, por lo que no está definida la función en ellos. El dominio de la función es: =,, [, Matemáticas CCSS II Página 4 de 5

5 b) A.V. lim = ; lim no existe = es una asíntota vertical lim no existe ; lim = = es una asíntota vertical A. H. lim ± = 1 = es una asíntota horizontal Matemáticas CCSS II Página 5 de 5