FUNCIÓN. Por ejemplo el costo de un pastel, depende de los precios y cantidades de harina, huevos, leche y mantequilla. Y diremos que y=f(2)=8

Transcripción

1 FUNCIÓN Explicación General: Si podemos expresar un variable en términos de uno o más variables diremos que una variable es función o depende de una o más variables. Por ejemplo el costo de un pastel, depende de los precios y cantidades de harina, huevos, leche y mantequilla. Por lo cual podemos decir que el costo de un pastel es función de dichas variables, en lenguaje matemático lo podemos expresar así: Costo = f(harina, huevos, leche, mantequilla) Si usáramos variables más comunes en el lenguaje matemático tendríamos Z=f(r, s, l, m) independiente será la x y esto lo expresaremos así: Y= f(x) Para el caso tenemos la formula Y=3X+ Podremos decir que Y es función de x y la expresaremos así F(x)=3x+ Si x= Calculamos f()= 3()+ = 6+=8 Y diremos que y=f()=8 Representación gráfica: Una función lineal puede ser representada en el plano cartesiano como una línea recta, que cumple con la condición que si trazamos una línea imaginaria vertical, solo toca un punto. Si lo expresamos como una fórmula matemática podríamos tener algo como f(r, s, l, m)= Z = 7r + 5s + l + 50m Como todas las variables tienen exponente, diremos que esta es una función lineal, de Z respecto a r, s, l y m. Las funciones tienen una característica muy importante, para cada grupo de valores de las variables independientes (r, s, k, m), solo existe un resultado posible para la variable dependiente (Z) Por ejemplo si r=5 libras de harina, s = 4 huevos. L= litro de leche, m= libra de mantequilla diremos: Z = f(5, 4,, ) = 7(5) + 5(4) + () + 50() = =49 lempiras En esta clase solo trataremos con funciones de una variable independiente. Y al resultado de la función la relacionaremos con la variable y que llamaremos variable dependiente y la Conceptos matemáticas relacionados con la función A. Conjuntos B. Par Ordenado C. Producto Cartesiano D. Relacion E. Funcion

2 Como podemos ver para poder llegar al concepto de función debemos comprender varios conceptos previos. A. CONJUNTO Es el concepto más general. Es una colección de elementos que se denota por una letra mayúscula y cuyos elementos se expresan de dos maneras: a) Por extensión: describiendo todos los elementos: A { rojoverde, } b) Por comprensión: describiendo la lógica detrás de los elementos A{( x, y) RR x, yx} Esto se lee: A es el conjunto de todos los pares de datos representados por (x, y) que pertenece al producto todos los pares ordenados de los reales, y que cumple la condición que yx B. PARES ORDENADOS Es un conjunto de dos elementos en los cuales importa el orden y se representan por (x, y), de tal maneara que (3,) no es lo mismo que (,3). REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN PAR ORDENADO. El punto (4,3) representa el par ordenado (x, y), de manera que x=4, y y=3. Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en la dirección de x, y 3 unidades en la dirección de y y C. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano A B es un conjunto que resulta de combinar dos conjuntos simples A y B. A {,,3,4} B { ab, } B= AxB a b (,a) (,b) A= (,a) (,b) 3 ( 3,a) ( 3,b) 4 ( 4,a) ( 4,b) D. RELACIÓN Es un subconjunto del producto cartesiano Del ejemplo anterior de producto cartesiano o: C= relación de AxB = {(, a), (, b)} E. Función: es un subconjunto del producto cartesiano que cumple la regla, que todo elemento del dominio solo tiene como pareja un elemento del rango. D= función de AxB = {(, a), (, b)} Gráfica de Otras funciones (4,3) x

3 APLICACIONES DE PRODUCTO CARTESIANO, Y FUNCIÓN. José debe tener una decisión en dos etapas: La primera decisión es si se transporta en auto o en moto. La segunda decisión es si va al cine o aun restaurante. El conjunto de todas las posibilidades resulta ser un producto cartesiano. A X B restaurante cine moto (moto,restaurante) (moto,cine) auto (auto,restaurante) (auto,cine) Donde A= conjunto de los medios de transporte Donde B = conjunto de los destinos Una relación C seria = {(auto, restaurante), (auto, cine)} Para la decisión de ir en auto existen dos opciones, restaurante o cine. Por lo que es no es una decisión exacta Una función D seria = {(moto, restaurante), (auto, cine)} Como se puede ver la relación produce decisiones dudosas, pero la función produce decisiones exactas: si se va en moto se va ira al restaurante si se va en auto se ira al cine FUNCIONES APLICADAS AL PLANO CARTESIANO. Las funciones en el campo de la matemática se pueden graficar en el plano cartesiano. CASO : PRODUCTO CARTESIANO DE PUNTOS Datos los conjuntos A{,,3,4} Graficado en el eje de las x B{,} Graficado en el eje de las y Producen el producto cartesiano siguiente A X B (,) (,) (,) (,) 3 (3,) (3,) 4 (4,) (4,) El cual se puede graficar así en el plano cartesiano B (4,) CASO : PRODUCTO CARTESIANO DE INTERVALOS A x,4 B y 3 4 A,3 El producto cartesiano resultante será el siguiente: _ EJEMPLO DE RELCIONES DENTRO DE AXB

4 REGLA GENERAL: Se dice que una gráfica en el plano cartesiano representa una función si se cumple que al trazar una línea vertical solo suceden dos casos. Solo toca un punto, o no toca ningún punto. Si toca dos puntos en algún momento entonces no es una función es una relación. CASO 3: FUNCIÓN La función A, es un grupo de puntos (x, y) que cumple la regla de la ecuación. y/3x /3 Y los valores de x están limitados entre y 4, y los de y entre y 3 Se expresa así: A{( x, ytalque ), y/3x/3, Y su grafica es: x,4, y,3} 4. Evaluación de una función y f( x) 3x Si: f() 3() 8 f(3) 3(3) 5. Dominio: es el conjunto de todas las x, que forman parte de la gráfica. 6. Rango o Recorrido: es el conjunto de todas las y que forman parte de la grafica Línea vertical solo toca un punto: si se traza una línea vertical en cualquier parte de la función f(x) solo se tocara un punto. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES EN EL PLANO CARTESIANO Las funciones pueden ser racionales e irracionales a las que también se les llama funciones algebraicas; asimismo, existen las funciones trascendentes dentro de las cuales se ubican las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas GRAFICA DE UNA FUNCIÓN: Una función de dos variables se grafica en el plano cartesiano. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO. Variable dependiente y. Variable independiente x (sola) 3. Expresión algebraica y f( x) formula_ de_ x 4

5 EJEMPLOS DE FUNCIONES DE POLINÓMICAS Funciones racionales Lineal: f( x) ax b Cuadrática: f( x) ax bx c f( x) a mxb c f( x) axb xaxb Cubica: ( ) 3 f x ax bx cx d 5

6 TÉRMINOS MATEMÁTICOS EN EL CONTEXTO DEL PLANO CARTESIANO Producto Cartesiano en un plano cartesiano: son todos los puntos posibles que se pueden representar gráficamente del producto cartesiano de todos los valores posibles de x con todos los valores posibles de y o mas sencillamente RR Relación en el plano cartesiano: es un subconjunto del plano cartesiano RR : Y Nota: El área sombreada representa un subconjunto de todo el plano cartesiano RR por tanto es una relación. Función en el plano cartesiano: es un subconjunto del plano cartesiano que cumple que para cualquier valor de X (conjunto de partida) solo le corresponde un valor Y (conjunto de llegada) A continuación se muestra en un plano cartesiano una gráfica que es una función. X Y f(x) 0 - X Nota: gráficamente se considera una función a toda grafica que cumple que al trazar en cualquier punto de la gráfica una línea vertical, dicha línea solo toca un punto. Esta función se puede definir como: Función=todos los pares ordenados (x, y) que pertenecen al producto cartesiano [-4, 3[x[-3, ], y que definen la gráfica anterior. Función A: todos los partes ordenados (x, y) que cumplen la ecuación Y=(/4)(x-3)(x+5), donde x pertenece al conjunto de partida definido por [-4, 3[ O mas simplemente f(x)=(/4)(x-3)(x+5) talque x pertenece a [-4, 3[ Dominio: es el conjunto de todos los valores del conjunto de partida que pertenecen a una relación que también es función. En el caso de la gráfica anterior decimos Dominio de F: x=[-4, 3[ Rango: es el conjunto de todos los valores del conjunto de partida que pertenecen a una relación que también es función. En el caso de la gráfica anterior decimos Rango de F: x=[-3, [ 6

7 DIFERENCIAS ENTRE ECUACIÓN, RELACIÓN Y FUNCIÓN. Una ecuación define una relación, pero no necesariamente define una función. Para que una ecuación que defina una función debe poder despejarse la variable dependiente en términos de la variable independiente. Por convención se considera la x como variable inapetente, y y como variable dependiente Para el caso la ecuación x=, define una línea vertical, y al no poderse despejar la variable y, simplemente no es función. x= define una ecuación de línea recta de la forma y=mx + b Donde m es una pendiente indefinida INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES EN EL CONTEXTO ECONÓMICO: m 0 Sean dos conjuntos de datos relacionados por pares cartesianos como ser: Precio =p Cantidad = q = quantity (cantidad en inglés) Si decimos que ambas variables están relacionados por la ecuación: 7p-4q=7 Matemáticamente podemos despejar para p y tendremos la ecuación: 7p4q 7 pq Donde podemos decir que p es una función respecto a q expresada como: p f( q) q Siendo la variable independiente q la variable dependiente p Nota: es importante recordar que en el contexto real, normalmente la decisión se toma en el precio, y la cantidad es la consecuencia del precio, por lo que la función debería ser cantidad en términos de precio q= f(p), pero por convención o costumbre en el contexto económico, se grafica la función p=f(q)pero por : y=precio=lps 4 3 f(x) 0 - x=q=quantity=unidades En el contexto matemático: El dominio de p=f(q) son los reales El rango de p=f(q) también son los reales Pero en el contexto económico: El domino de la función: p=f(q) son todos los números positivos y el cero El rango de la función: son todos los números mayores o iguales a y= Esto debido a que los precios ni las cantidades pueden ser negativos 7

8 FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función de la forma: f(x) mx b Características de la ecuación: El exponente de las variables es La función se acostumbra que y depende de x Características de la grafica: Intercepto en x: Ix(?, 0) Intercepto en y: Iy(0,?) Pendiente m, si m= positiva es creciente, si m = negativa es decreciente Características de la función Variable dependiente = x Variable independiente = y Dominio = reales Rango = reales y yy m x xx A continuación tipos de pendientes de una función Nota: una recta vertical no es una pendiente Para determinar la ecucacion se sustituye un punto (x, y) en la siguiente formula: yy m( x x) LÍNEA RECTA DE PENDIENTE VERTICAL: Cumple que para todo punto y, solo existe un valor en x. De manera que los puntos (,3), (,4) pertenecen a la recta, y por tanto no es función. Y su representación grafica es Si aplicamos la formula yy (4) (3) m indefinido x x () () 0 Para calcular la pendiente de una recta se toman dos puntos y se sustituye 8

9 EJERCICIOS: CASO : Dados dos puntos determinar ecuación de la recta (, ) y (3,5) Paso : determinamos X=, y= X=3, y=5 Paso : aplicamos la fórmula: y yy m x x x (5) () 3 m (3) () Paso 3: determinar la ecuación de la recta aplicando yy m( x x) 3 ( y()) x() 3 3 y x 3 3 y x 3 y x Sustituimos en 3 y x 3 0 x Y despejamos 3 x x 3 x 3 Plateamos formalmente Ix,0 3 Paso 6: tabla de valores Tipo x y (x, y) Ix 0 3 (0,/) (0) Iy -/3 3 (-/3,0) ( ) 0 3 Paso 7: graficamos Paso 4: verificación X=3 3 y (3) 0/ 5 Se cumple (3,5) Paso 5: intercepto en y o sea Iy(0, ) Sabemos que x=0 Sustituimos en la ecuación 3 y (0) Planteamos formalmente Ix 0, Paso 6: Intercepto en x o sea Ix(, 0) Sabemos que y= 0 Paso 8: las características de la función Dominio (valores de x) = Reales=, Rango (valores de y) = Reales=, 9

10 TAREA MÉTODOS CUANTITATIVOS Cuenta: Nombre: 5. Tabla de Valores Datos los puntos (,3) y (7,4). Determinar la pendiente (m). Determinar le ecuación (Y) y verificar 6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente) 3. Determinar Intercepto en X 7. Dominio y Rango 4. Determinar Intercepto en Y 0

11 . Dados los puntos (-3,-4) y (-,5). Determinar la pendiente (m). Determinar le ecuación (Y) y verificar 6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente) 3. Determinar Intercepto en X 7. Dominio y Rango 4. Determinar Intercepto en Y 5. Tabla de Valores

12 3. Dados los puntos (5,6) y (8,). Determinar la pendiente (m). Determinar le ecuación (Y) y verificar 6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente) 3. Determinar Intercepto en X 7. Dominio y Rango 4. Determinar Intercepto en Y 5. Tabla de Valores

13 4. Dados los puntos (3,4) y (9,). Determinar la pendiente (m). Determinar le ecuación (Y) y verificar 6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente) 3. Determinar Intercepto en X 7. Dominio y Rango 4. Determinar Intercepto en Y 5. Tabla de Valores 3

14 5. Dados los puntos (-3,3) y (3,-3). Determinar la pendiente (m). Determinar le ecuación (Y) y verificar 6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente) 3. Determinar Intercepto en X 7. Dominio y Rango 4. Determinar Intercepto en Y 5. Tabla de Valores 4