Matemáticas. Matías Puello Chamorro. Funciones y graficas de funciones.

Transcripción

1 Matemáticas Funciones y graficas de funciones Matías Puello Chamorro matiaspuello@unimetro.edu.co 15 de mayo de 2017

2 Índice 1. Introducción 3 2. Funciones Matemáticas: Conceptos Básicos Funciones Matemáticas Tipos de funciones Función constante Función lineal Función lineal Función lineal Función cuadrática Función Exponencial

3 1. Introducción El concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa. El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos que acontecen a nuestro alrededor. Así, podemos nombrar fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos, con aspectos económicos, como la inflación o la evolución de los valores bursátiles, con todo tipo de fenómenos físicos, químicos o naturales, como la variación de la presión atmosférica, la velocidad y la aceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la función de onda de una partícula a escala cuántica, la desintegración de sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales.

4 2. Funciones Matemáticas: Conceptos Básicos 2.1. Funciones Matemáticas Definición En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

5 Conjunto X Conjunto Y Ejemplo 1 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos Angela 55 Pedro 88 Manuel 62 Adrian 88 Roberto 90

6 Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla doble del número más 3. x 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Conjunto X Conjunto Y Desarrollo -2-1 f( 2) = 2( 2) + 3 = = f( 1) = 2( 1) + 3 = = f(0) = 2(0) + 3 = = f(1) = 2(1) + 3 = = f(2) = 2(2) + 3 = = 7

7 2.2. Tipos de funciones Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones: Función constante Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante. Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3 }, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal. Funcion constante

8 Función lineal Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas. Ejemplo: La función f(x) = 2x 1 es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, 1). Su gráfica es una recta ascendente. Funcion lineal

9 Función lineal Ejemplo 1 Construcción de la grafica conocida la función Cómo construir la grafica, conocida la función? f(x) = 2x Primero se buscan varios puntos que pertenecen a la función Porejemplo: Para x = 1 se tiene que f(1) = 2(1) + 1 = = 3, con esto se forma el par ordenado (1, 3) 2 Luego se representan en un plano cartesiano los puntos 3 Por último se traza la linea que une los puntos

10 Función lineal Ejemplo 2 Construcción de la grafica conocidos varios puntos Cómo construir la grafica, conocidos varios puntos? x f(x) = y Se observa que en cada casilla se forma una pareja ordenada Porejemplo: (1, 6) 2 Luego se representan en un plano cartesiano todas las parejas ordenadas, formando los puntos 3 Se traza la linea que une los puntos 4 Con un poco de matemáticas se busca la función que genera la gráfica

11 Función cuadrática Una función de la forma f(x) = ax 2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula: Funcion cuadratica ( b 2a, f ( )) b 2a

12 Función Logarítmica Se llama función logarítmica a la función real de variable real: f(x) = log a [g(x)] Ejemplo y = log(x 2 1) ( ) x y = log 5 x y = ln(2x + 3) Funcion logaritmica

13 Funcion exponencial 2.3. Función Exponencial La función exponencial (de base e) es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como f(x) = e x. donde e es la base de los logaritmos naturales. En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma siendo a y K números reales con a 0. Ejemplo F(x) = K a x y = e (x 1) y = 2 x y = e x