ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 1

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1 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 1 Conjuntos y aplicaciones (Curso ) 1. Dados los siguientes conjuntos: A = {2, 3, 5, 7, 11} B = {x Z x 4} C = {x Z x < 5} D = {x N x es impar} Hallar: i) (A B) C. Tenemos: y de donde: A B = {5, 7, 11}. C = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4} (A B) C = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 11}. ii) (Z D) C. Z D = {x Z x D} = {x Z x no es impar o no positivo} = = {x Z x es par o no positivo} Entonces: (Z D) C = {x C x D} = {0, 1, 2, 2, 3, 4, 4}. iii) (C A) B. C A = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 11}. y entonces: (C A) B = {5, 7, 11}. iv) (A (Z B)) (C D). Podemos aplicar la propiedad distributiva y queda: (A (Z B)) (C D) = (A C) (A D) ((Z B) C) ((Z B) D)

2 Entonces: A C = {2, 3} A D = {3, 5, 7, 11} (Z B) C = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4} (Z B) D = {2, 3} de donde: (A (Z B)) (C D) = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 5, 7, 11}. 3. Sean A, B, C tres conjuntos. Discutir razonadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmacioens. (A C ó B C) = A B C. VERDADERO. Se tiene: Por tanto: A B A y A B B. (A C ó B C) (A B A C ó A B B C) A B C. (A C ó B C) = A B C. FALSO. Por ejemplo si A = C = {0}, B = {1}; entonces A C, pero A B = {0, 1} C = {0}. A B C = (A C ó B C). FALSO. Por ejemplo, si A = {0}, B = {1} y C = {2}, entonces A B = C, pero ni A C, ni B C. A B C = (A C y B C). FALSO. Como ejemplo pude tomarse el mismo del caso anterior. 4. Sean A, B, C tres conjuntos. Razona la falsedad o veracidad de las siguientes afirmaciones: (iii) Si A C = C entonces C A. VERDADERO. Supongamos que A C = C. Para probar que C A tomaremos x C y probaremos usando la hipóteiss que x A. Si x C y C = A C, entonces x A C y por tanto en particular x A. (iv) Si A B = A B entonces A = B. VERDADERO. Supongamos que A B = A B. Veamos primero que A B: Y análogamente B A: x A x A B = A B x B. x B x A B = A B x A.

3 5. Sea f : X Y una aplicación, y sean A, B dos subconjuntos de X. Decidir razonadamente si las siguientes afirmaciones son ciertas en general y para las que resulten no serlo, si son verdaderas bajo la hipótesis suplementaria de que f sea inyectiva o sobreyectiva. (a) f(a B) f(a) f(b) y f(a B) y = f(x), x A B y = f(x), x A ó x B y f(a) ó y f(b) y f(a) f(b) Por tanto ES CIERTO SIEMPRE. (b) f(a) f(b) f(a B) y f(a) f(b) y f(a) ó y f(b) y = f(x), x A ó y = f(x ), x B y = f(x), x A B y f(a B) Por tanto ES CIERTO SIEMPRE. Como consecuencia de (a) y (b): f(a B) = f(a) f(b) (e) f(x \ A) Y \ f(a) ( OJO!) y f(x \ A) y = f(x), x X, x A Vemos que y es imagen de un elemento x que no está en A. Pero?podemos asegurar entonces que y no está en f(a)?. En general NO podemos asegurarlo. De nuevo si f no es inyectiva, pudiera haber otro elemento x A, x x, tal que f(x ) = f(x) = y. Así la propiedad es cierta si f es INYECTIVA. En el ejemplo del apartado anterior. y por tanto f(x \ A) Y \ f(a). f(x \ A) = {0} f(a) = {0} Y \ f(a) = IR \ {0} (f) Y \ f(a) f(x \ A) ( OJO!) y Y \ f(a) y Y, y f(a) y f(x) para todo x A Sabemos que y no es imagen de ningún elemento de A. Sin embargo, si f NO es SOBREYECTIVA pudiera ocurrir que y no fuese imagen de ningún elemento de X y por tanto y f(x \ A). Así la propiedad NO es cierta en general. Si es cierta si f es sobreyectiva. En el ejemplo anterior tampoco se cumple Y \ f(a) f(x \ A).

4 6. Sea f : IR IR + definida por f(x) = x 2 y g : IR + IR definida por g(x) = + x. Es una aplicación inversa de la otra? Razonar la respuesta. Para que f y g sean una inversa de la otra, ha de cumplirse: f g = id IR +; g f = id IR ; Primero sea x IR +. Tenemos: luego se cumple g f = id IR +. Sea ahora x IR. Se tiene: (f g)(x) = f(g(x)) = f(+ x) = ( x) 2 = x (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = + x 2 = x Por tanto si x es negativo no se cumple que (g f)(x) = x y vemos que las aplicaciones no son inversas la una de la otra. En realidad ya sabíamos que esto tenía que ser así: sobreyectiva, luego nunca pueden tener inversa. f no es inyectiva y g no es Intuitivamente la raíz cuadrada es la inversa de la función elevar al cuadrado, pero para que las cosas funcionen bien, hemos de restringirnos únicamente a los números no negativos. 7. Dadas las siguientes aplicaciones estudiar si son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Calcular también las aplicaciones inversas de las que resulten ser biyectivas (b) f 2 : IR + IR, x y, si y 2 = x. Estamos definiendo la aplicación que lleva un x en un número real que elevado al cuadrado nos de x. Sin embargo en realidad, f 2 NO es una aplicación, porque cada elemento x mayor que cero tendría dos imágenes, ya que hay dos números que elevados al cuadrado nos dan x: y = x ó y = x. (b ) f 2 : IR + IR +, x y, si y 2 = x. Ahora f 2 SI es una aplicación. La diferencia con el caso anterior es que ahora como conjunto final tomamos sólo los números NO negativos. Entonces para cada x IR + existe un único y IR + tal que y 2 = x; en concreto y = + x. Sabemos por tanto que la aplicación puede escribirse ahora como f 2 (x) = + (x). f 2 SI es inyectiva. Ya que dados x, z IR + cualesquiera, si f 2 (x) = f 2 (z) entonces (x) = (z) luego elevando al cuadrado obtenemos x = z. f 2 SI es sobreyectiva. Ya que cualquier y IR + es imagen de x = y 2, porque, f 2 (x) = f 2 (y 2 ) = y 2 = y = y.

5 f 2 SI es biyectiva. Por ser inyectiva y sobreyectiva. Por tanto tiene inversa. Su inversa es: f 1 2 : IR + IR +, y y 2 Es la inversa porque f2 1 (f(x)) = ( x) 2 = x y f 2 (f2 1 (y)) = + y 2 = y = y, para cualesquiera x IR +, y IR +. (c) f 3 : IR IR, x tg(x). De nuevo hay que tener cuidado. En realidad f 3 NO es una aplicación, porque hay puntos del conjunto inicial dónde no está definida la tangente. En concreto aquellos en los que se anula el coseno. Por ejemplo para x = π/2. (d) f 4 : IR IR, x x 9. f 4 es inyectiva, ya que si x 9 1 = x9 2 entonces x 1 = x 2 (OJO: esto no sería cierto si el exponente fuese par ya que x y x elevados a exponente par dan el mismo resultado). f 4 es sobreyectiva, ya que dado cualquier y R, tomando x = [9]y se cumple que f 4 (x) = ( [9]y) 9 = y. f 4 es biyectiva, porque es inyectiva y sobreyectiva. La aplicación inversa es: (e) f 5 : IN IN, n n!. f 1 4 : IR IR, x x 1/9 f 5 es inyectiva, ya que dos números distintos tienen distinto factorial. Veámoslo rigurosamente. Sean m, n IN. Supongamos que son distintos. Entonces uno es mayor que el otro. Suponemos por ejemplo m > n. Entonces: m! = n.(n + 1).....m = n!(n + 1).....m y por tanto m! > n! y f 5 (m) f 5 (n). f 5 NO es sobreyectiva, porque el conjunto final y el imagen son diferentes, ya que hay números naturales que no son factorial de ningún otro. De hecho, hemos visto que el factorial es una función creciente, es decir si m > n, m! > n!. Los factoriales de los primeros números son 1, 2, 6,... luego vemos que quedan números (p.ej. 3, 4, 5) que no son factorial de ningún otro. f 5 NO es biyectiva porque no es sobreyectiva. (f) f 6 : IR \ {3} IR \ {2}, x 2x 4 x 3.. ado y IR, vemos cuando existe un x tal que f 6 (x) = y, es decir, cuando tiene solución la ecuación: y = 2x 4 x 3 Despejando x obtenemos x = 3y 4. Vemos que esta expresión tiene sentido excepto y 2 cuando el denominador se anula, es decir, cuando y = 2. Por tanto: Conjunto imagen=ir \ {2}.

6 f 6 es inyectiva, ya que si f 6 (x 1 ) = f 6 (x 2 ), o equivalentemente, 2x 1 4 x 1 3 = 2x 2 4 x 2 3 ; operando obtenemos que x 1 = x 2. (OJO: hay que suponer x 1, x 2 3 para que las expresiones tengan sentido). f 6 es sobreyectiva, ya que dado y IR, existe un x tal que f 6 (x) = y. Para ello estudiamos cuando tiene solución la ecuación: y = 2x 4 x 3 Despejando x obtenemos x = 3y 4. Vemos que esta expresión tiene sentido excepto y 2 cuando el denominador se anula, es decir, cuando y = 2. Por tanto: Conjunto imagen=ir \ {2}. f 6 es biyectiva, porque es inyectiva y sobreyectiva. La aplicación inversa la hemos obtenido antes, cuando probábamos la sobreyectividad: f 1 6 : IR \ {2} IR \ {5}, x 3x 4 x 2 (i) f 9 : IR \ {0} IR 2, x (x, 1/x). f 9 es inyectiva. Es bastante claro porque en la primera componente la aplicación es la identidad. Es decir, si f 9 (x 1 ) = f 9 (x 2 ), entonces (x 1, 1/x 1 ) = (x 2, 1/x 2 ) y por tanto x 1 = x 2. f 9 NO es sobreyectiva, porque el conjunto imagen es diferente del conjunto final. En particular, no hay ningún elemento x IR \ {0} tal que su imagen sea (0, 0) ya que f(x) = (x, 1/x) y 1/x nunca es nulo. f 9 NO es biyectiva, porque no es sobreyectiva. 9. Sea h : X X una aplicación tal que existe un n IN con h n = id X. Demostrar que h es biyectiva. (Notas: h n = h. n.. h; id X es la aplicación identidad de X). Como la identidad es una aplicación biyectiva y h n = id X, entonces h n es biyectiva y sobreyectiva. Además h n se puede escribir como h h n 1, luego por las propiedades de la inyectividad con respecto a la composición deducimos que h es inyectiva. h n también se puede escribir como h n 1 h, luego por las propiedades de la sobreyectividad con respecto a la composición deducimos que h es sobreyectiva. Por tanto h es biyectiva. En realidad como id X = h n = h h n 1 = h n 1 h deducimos que la h n 1 es la función inversa de h y por tanto ésta es biyectiva.

7 10. Sea f : A B una aplicación. Demostrar que (a) f es inyectiva si y sólo si existe una aplicación g : B A tal que g f = i A. (b) f es sobreyectiva si y sólo si existe una aplicación h : B A tal que f h = i B. (a) Veamos que: f inyectiva g : B A/g f = i A Se trata de definir una aplicación g de B en A que, sobre elementos de la forma f(x) nos permita recuperar x. Sobre elementos que no sean de la forma f(x) nos da igual como funcione. Podemos por ejemplo enviarlos sobre un elemento fijo a 0 cualquiera de A. Definimos por tanto: g(y) = { x, si y = f(x) para algún x A; a 0, si y f(x) para todo x A. Primero hay que ver que es efectivamente una aplicación, es decir, que está definida de manera unívoca. Podría ocurrir que y = f(x 1 ) pero también y = f(x 2 ) con x 1, x 2 A. Pero por ser inyectiva si f(x 1 ) = f(x 2 ), entonces x 1 = x 2, luego está bien definida. Es claro además por construcción que: (g f)(x) = g(f(x)) = x y así g f = id A. Veamos el recíproco: g : B A/g f = i A f inyectiva Simplemente tenemos en cuenta que i A es biyectiva y en particular inyectiva. tanto si g f = i A, entonces f es inyectiva. Por (b) Veamos que: f sobreyectiva h : B A/f h = i B Ahora por ser f sobreyectiva, dado y B siempre podemos elegir un elemento x que verifica f(x) = y. Llamamos a este elemento h(y) y tenemos definida una aplicación h : B A. Es importante darse cuenta de que si f no es inyectiva no hay un único elemento que cumpla f(x) = y; ELIGIENDO UNO para cada y B, h está definida de manera unívoca. Por la propia construcción de h se cumple que, dado y B: y así f h = id B. (f h)(y) = f(h(y)) = y Veamos el recíproco: h : B A/f h = i B f sobreyectiva Simplemente tenemos en cuenta que i B es biyectiva y en particular sobreyectiva. Por tanto si f h = i A, entonces f es sobreyectiva.

8 11. Sean X e Y conjuntos y f : X Y una aplciación. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) f es inyectiva. (b) Para cualesquiera subconjuntos A, B de X tales que A B =, se cumple f(a) f(b) =. - Supongamos primero que f es inyectiva. Veamos que se cumple la condición (b). Sean A, B subconjuntos de X tales que A B =. Si la condición no fuese cierta, entonces f(a) f(b), es decir, existiría y f(a) f(b). Por tanto y = f(a) = f(b) para algún a A y b B. Pero por ser inyectiva si f(a) = f(b) entonces a = b y A B, con lo cual llegaríamos a una contradicción. - Supongamos ahora que cumple la condición (b). Veamos que f es inyectiva. Sean a, b B; queremos ver que si a b entonces f(a) f(b). Pero si a b entonces tomamos los subconjuntos de X, A = {a} y B = {b} y se verifica que A B =. Entonces por la condición (b), f(a) f(b) = lo que significa que a y b tienen distinta imagen por f. (Primer parcial, febrero 2003)