Álgebra homológica, día 5

Transcripción

1 Álgebra homológica, día 5 Alexey Beshenov (cadadr@gmail.com) 12 de agosto de Categorías abelianas: imagenes y coimagenes 1.1. Deinición. Sea A una categoría aditiva. Supongamos que para cada morismo : M N existen su núcleo ker M y conúcleo N coker. Entonces deinimos la imagen y coimagen de como im := ker(n coker ), coim := coker(ker M) Observación. Sea A una categoría aditiva con núcleos y conúcleos. Entonces para cada morismo : M N existe un único morismo : coim im tal que el siguiente diagrama es conmutativo: ker i M N p coker q coim j im Demostración. Antes de todo, tal es único porque q es epi y j es mono. Para construir, notamos que i = 0; entonces por la propiedad universal de coker(ker M) =: coim existe un único morismo g coim N tal que g q =. Luego p = p g q = 0. El morismo q es epi, por lo que p g = 0. Por la propiedad universal de ker(n coker ) =: im, existe un único morismo tal que j = g. ker i M q coim g N j im p coker Por in estamos listos para deinir las categorías abelianas: 1.3. Deinición. Una categoría A es abeliana si 1) A es aditiva (tiene objeto cero, adición de morismos, (bi)productos); 1

2 2) para cada morismo : M N existen su núcleo ker M y conúcleo N coker ; 3) para cada morismo : M N el morismo canónico : coim im es un isomorismo. La condición 3) parece un poco rara, pero quiere decir lo siguiente. Supongamos que m : M N es un monomorismo. Entonces se ve que la condición 3) impone que m, salvo isomorismo, debe ser el núcleo del morismo N coker m: m ker(n coker m). 0 M m N p coker m M j im De modo similar, si e : M N es un epimorismo, la condición 3) nos dice que e coker(ker e N). Entonces la condición 3) básicamente signiica que 3 ) cada monomorismo en A es un núcleo y cada epimorismo es un conúcleo. La condición 3 ) implica que en las categorías abelianas isomorismo = epimorismo + monomorismo En general tenemos solo la implicación, mientras que la implicación, tal y como hemos mencionado, es alsa en muchas categorías. Sin embargo, en las categorías abelianas, si es mono, entonces = ker g para algún morismo g, en particular g = 0. Pero si es también epi, esto implica g = 0. Y como el núcleo del morismo cero, debe ser un isomorismo. De hecho, 3 ) es equivalente a 3), pero la demostración es un poco tediosa; véase por ejemplo [Borceux, vol. II, Theorem 1.5.5] Ejemplo. En la categoría de grupos Grp (no necesariamente abelianos) se ve ácilmente que el núcleo de un homomorismo de grupos : G H es (isomoro a) {x G (x) = 1}. Además, es ácil observar que los monomorismos son inclusiones de subgrupos H G. Como sabemos, los núcleos de morismos : G H corresponden a los subgrupos normales de G. Entonces, si H G es un subgrupo que no es normal, la inclusión H G es un monomorismo que no es un núcleo. Es otra razón por qué Grp no es abeliana, pero, como hemos notado en la última lección, ni siquiera es aditiva Ejemplo. Existen categorías que son aditivas pero no son abelianas. Por ejemplo, en la categoría de R-módulos libres los conúcleos no existen porque el cociente de dos módulos libres M/N no es libre en general (ni siquiera sobre buenos anillos como Z y módulos initamente generados). Sin embargo, si R = K es un cuerpo, entonces tenemos la categoría de espacios vectoriales sobre K que es abeliana (cada módulo sobre un cuerpo es automáticamente libre) Ejemplo. Hemos observado que la categoría de R-módulos es aditiva, y para cada morismo existen su núcleo y conúcleo. Cada morismo : M N se actoriza por su imagen im N: 2

3 ker M N coker im Y por el teorema del isomorismo im ker(n coker ) coker(ker M) M/ ker. Cuando todos los núcleos y conúcleos existen, son untoriales: 1.7. Observación. Supongamos que tenemos el diagrama conmutativo Entonces M d N h M d N 1) induce un único morismo ker d ker d tal que el diagrama correspondiente es conmutativo; 2) h induce un único morismo coker d coker d tal que el diagrama correspondiente es conmutativo. ker d i M d N p coker d ker d i M d N h p coker d Demostración. Tenemos d i = h } d {{ i } = 0, 0 y entonces por la propiedad universal del núcleo el morismo i se actoriza de modo único por ker d. Para coker d coker d usamos la propiedad universal del conúcleo. El hecho de que cada morismo de R-módulos : M N se actoriza de modo único (salvo isomorismo) en la composición de un epimorismo M im y monomorismo im N se generaliza a cualquier categoría abeliana: 1.8. Observación (actorización epi-mono). Sea : M N un morismo en una categoría abeliana. Entonces se actoriza de modo único como una composición de un epimorismo seguido de un monomorismo. 3

4 Demostración. Ya hemos observado en 1.2 que tal actorización existe: es dada por M coim im N; tenemos que demostrar que es única. Supongamos que existe otra actorización M I N. Tenemos p j q = p = 0, pero q es epi, entonces p j = 0. Entonces existe un único morismo j : I im tal que j = j j, y j es mono porque j es mono. De la misma manera, existe un único morismo q : coim I tal que q q = q, y q es epi. ker i M q j N p coker q coim q I j j im Luego j j q q = j q =, entonces j q = porque está deinido de manera única (1.2). Pero es un isomorismo, por tanto epi y mono, y esto quiere decir que q es también mono y j es también epi. Concluimos que q y j son isomorismos, porque son epi y mono al mismo tiempo Ejercicio. Observe que las nociones de núcleo y conúcleo son duales: las deiniciones son las mismas, solo que las lechas van en la dirección opuesta. Entonces los núcleos en una categoría abeliana A corresponden a los conúcleos en A. La categoría A es abeliana si y solamente si A es abeliana. Un poco de la historia. El álgebra homológica ue sistemáticamente desarollada por Henri Cartan y Samuel Eilenberg en el libro Homological algebra que ue publicado en 1953 pero había sido escrito mucho tiempo antes, con resultados solamente para R-módulos. En los años 50 los matemáticos se dieron cuenta de que una teoría similar podía ser desarollada para haces de R-módulos y otros contextos. David Buchsbaum, un estudiante de Eilenberg, descubrió en su tesis Exact Categories and Duality (1954) una lista de axiomas abstractos que eran suicientes para el álgebra homológica. En 1957 Alexander Grothendieck publicó en la revista matemática de la Universidad de Tohoku (Japón) su amoso artículo Sur quelques points d algèbre homologique, que hoy en día se conoce como el artículo de Tohoku. Grothendieck demostró que era posible de aplicar las mismas construcciones a los haces y otras situaciones y dio una lista de axiomas (similar a la de Buchsbaum) bajo el término categoría abeliana. En particular, Grothendieck demostró que los haces también ormaban una categoría abeliana. Por cierto, Cartan y Eilenberg, como geómetras, ya sabían que la cohomología de haces tenía que ser otro caso particular de cierta teoría general, pero no sabían resolver algunos problemas técnicos (existencia de suicientes objetos inyectivos en la categoría de haces de R-módulos). 17. Sucesiones exactas Deinición. Consideremos una sucesión de morismos en una categoría abeliana (por ejemplo, una sucesión de morismos de R-módulos) (M, n 1 n 1 ) : M M n n M n+1 4

5 Supongamos que n n 1 = 0. Entonces la composición im n 1 M n n M n+1 es también cero y im n 1 M n se actoriza por ker n. De la misma manera, M n im n se actoriza por coker n : im n 1! ker n M n 1 n 1 M n n M n+1 coker n 1! im n Se dice que la sucesión es exacta en M n si se cumple una de las siguientes propiedades (ejercicio: son equivalentes): 1) la composición ker n M n coker n 1 es cero, 2) im n 1 ker n es un isomorismo, 3) coker n 1 im n es un isomorismo. Si la sucesión es exacta en M n para cada n, se dice simplemente que (M, ) es una sucesión exacta Ejemplo. En el caso de R-módulos im n 1 y ker n se identiican con submódulos de M n y la n 1 n sucesión M n 1 M n M n+1 es exacta si y solamente si im n 1 = ker n (esto implica en particular n n 1 = 0, es decir im n 1 ker n ) Ejemplo. Todo morismo : M N orma parte de la sucesión exacta Ejemplo. Una sucesión exacta de la orma 0 ker M N coker 0 0 L i M p N 0 se llama una sucesión exacta corta y va a tener un rol undamental en nuestro curso. En la categoría R-Mód esto signiica que L puede ser visto como un submódulo de M y que p induce un isomorismo N M/L Ejercicio. 1) 0 M N es exacta si y solamente si es un monomorismo. 2) M N 0 es exacta si y solamente si es un epimorismo. 3) 0 L i M g N es exacta si y solamente si i = ker g. 4) L M p N 0 es exacta si y solamente si p = coker. 5

6 19. Funtores exactos Deinición. Sea F : A B un untor aditivo entre dos categorías abelianas. Consideremos una sucesión exacta corta en A: (*) 0 L i M p N 0 1) Se dice que F es exacto por la izquierda si para cada sucesión exacta corta (*) la sucesión correspondiente en B 0 F(L) i F(M) p F(N) 2) Se dice que F es exacto por la derecha si para cada sucesión exacta corta (*) la sucesión correspondiente en B F(L) i F(M) p F(N) 0 3) Se dice que F es exacto si es exacto por la derecha y por la izquierda. Es decir, si F preserva la exactitud de cada sucesión (*): 0 F(L) i F(M) p F(N) 0 A veces se usa otra deinición un poco dierente, pero equivalente: Ejercicio. Sea F : A B un untor aditivo entre categorías abelianas. 1) F es exacto por la izquierda si y solamente si para cada sucesión exacta la sucesión correspondiente 0 L i M N 0 F(L) i F(M) F(N) Esto es equivalente a la preservación del núcleo de todo morismo : M N: 2) F es exacto por la derecha si para cada sucesión exacta la sucesión correspondiente ker(f(m) F(N)) = F(ker(M N)). L M p N 0 F(L) F(M) p F(N) 0 Esto es equivalente a la preservación del conúcleo de todo morismo : L M: coker(f(l) F(M)) = F(coker(L M)). 6

7 Cuando F es un untor contravariante A B, la noción de exactitud F es la misma, solo que hay que tener en cuenta que en la categoría A los morismos van en la dirección opuesta: F es exacto por la izquierda si 0 L M N 0 exacta 0 F(N) F(M) F(L) exacta; F es exacto por la derecha si F es exacto si 0 L M N 0 exacta F(N) F(M) F(L) 0 exacta; 0 L M N 0 exacta 0 F(N) F(M) F(L) 0 exacta Ejemplo. El untor olvidadizo R-Mód Ab (que olvida la acción de R sobre M y trata a M solo como un grupo abeliano) es exacto, porque la deinición del núcleo y conúcleo no tiene nada que ver con la acción de R, sino con la estructura de grupo abeliano. Aquí hay un ejemplo undamental de untor exacto: Ejercicio. 1) El untor Hom A (K, ) : A Ab es exacto por la izquierda, es decir, para cada sucesión exacta corta en A la sucesión correspondiente de grupos abelianos 0 L M g N 0 0 Hom A (K, L) Hom A (K, M) g Hom A (K, N) 2) El untor (contravariante) Hom A (, K) : A Ab es también exacto por la izquierda, es decir, para cada sucesión exacta corta en A la sucesión correspondiente de grupos abelianos 0 L M g N 0 Hom A (N, K) g Hom A (M, K) Hom A (L, K) Ejemplo. En general, el untor Hom A (M, ) (resp. Hom A (, N)) es exacto por la izquierda y no es exacto por la derecha. Para n 2 consideremos una sucesión exacta corta de grupos abelianos (Z-módulos) Apliquemos el untor Hom Z (Z/nZ, ): 0 Z n Z Z/nZ 0 0 Hom Z (Z/nZ, Z) Hom Z (Z/nZ, Z) Hom Z (Z/nZ, Z/nZ) 7

8 El grupo Z/nZ es de torsión y el grupo Z es libre de torsión; por lo tanto el único morismo Z/nZ Z es 0 y Hom Z (Z/nZ, Z) = 0. Sin embargo, Hom Z (Z/nZ, Z/nZ) Z/nZ (en general, Hom Z (Z/nZ, Z/mZ) Z/(n, m)z donde (m, n) es el máximo común divisor de m y n). Entonces el epimorismo Z Z/nZ deja de ser epimorismo después de aplicación de Hom Z (Z/nZ, ). Si a la misma sucesión exacta corta apliquemos Hom Z (, Z), tenemos la sucesión donde el último morismo no es epi. 0 Hom Z (Z/nZ, Z) Z n Z } {{ } 0 Sin embargo, si en los untores Hom A (K, ) y Hom A (, K) podemos variar el objeto K, entonces tenemos Observación. Consideremos una sucesión de morismos en A L M g N 1) La sucesión es exacta en M si para cada objeto K la sucesión correspondiente es exacta en Hom A (K, M). Hom A (K, L) Hom A (K, M) g Hom A (K, N) 2) La sucesión es exacta en M si para cada objeto K la sucesión correspondiente es exacta en Hom A (M, K). 0 Hom A (N, K) g Hom A (M, K) Hom A (L, K) Demostración. Demostremos la parte covariante. Consideremos K = L. Tenemos la sucesión exacta Hom A (L, L) Hom A (L, M) g Hom A (L, N) En particular, g = (g ) (id L ) = g (id L ) = 0, entonces im ker g. Luego consideremos K = ker g. Tenemos la sucesión exacta Hom A (ker g, L) Hom A (ker g, M) g Hom A (ker g, N) En particular, para el morismo canónico i : ker g M tenemos g (i) = g i = 0 y por lo tanto i = (φ) = φ para algún morismo φ : ker g L. Entonces ker g = im i im Corolario. 1) Una sucesión es exacta si y solamente si la sucesión 0 L i M g N 0 Hom A (K, L) i Hom A (K, M) g Hom A (K, N) es exacta para cada K. 2) Una sucesión es exacta si y solamente si la sucesión es exacta para cada K. L M p N 0 0 Hom A (N, K) p Hom A (M, K) Hom A (L, K) 8

9 20. Funtores adjuntos y exactitud Recordemos que tenemos untores aditivos Hom R (M, ) : R-Mód R-Mód y Hom R (, N) : R-Mód R-Mód, exactos por la izquierda, pero en general no exactos por la derecha. Hom R (M, ) es adjunto por la derecha a R M: Hom R (L R M, N) Hom R (L, Hom R (M, N)). Resulta que R M es también exacto por la derecha, y esto no es una coincidencia: Observación (Adjunto por la izquierda es exacto por la derecha; adjunto por la derecha es exacto por la izquierda). Supongamos que tenemos una adjunción entre dos untores F : A B y G : B A entre categorías abelianas A y B: Hom B (F(M), K) Hom A (M, G(K)). (Como ya sabemos, F y G son automáticamente aditivos y la biyección de arriba es un isomorismo de grupos abelianos.) Entonces F es exacto por la derecha y G es exacto por la izquierda. Demostración. Por ejemplo, veamos por qué F es exacto por la derecha. Si tenemos una sucesión exacta (*) L M N 0 tenemos que ver que la sucesión correspondiente F(L) F(M) F(N) 0 Pero, como hemos observado en 19.7, esto es equivalente al hecho que para cada K B la sucesión 0 Hom B (F(N), K) Hom B (F(M), K) Hom B (F(L), K) es exacta. Ahora la adjunción entre F y G dice que hay un diagrama conmutativo de grupos abelianos 0 Hom B (F(N), K) Hom B (F(M), K) Hom B (F(L), K) 0 Hom A (N, G(K)) Hom A (M, G(K)) Hom A (L, G(K)) aquí los cuadrados son conmutativos porque las biyecciones Hom B (F( ), K) Hom A (, G(K)) son naturales. La segunda ila es exacta porque la sucesión (*) es exacta y el untor contravariante Hom A (, G(K)) es exacto por la izquierda. Entonces la primera ila En particular, tenemos Corolario. El untor R M : R-Mód R-Mód es exacto por la derecha. En particular, si N N es un submódulo, entonces (N/N ) R M Si R es un anillo y I R un ideal, entonces N R M im(n R M N R M). M R (R/I) M/IM. 9

10 Demostración. Porque R M es adjunto por la izquierda a Hom R (M, ) Ejercicio. Demuestre directamente que R M es exacto por la derecha sin usar el argumento con adjunciones: si tenemos una sucesión exacta N N p N 0 entonces la sucesión N R M N R M p N R M Ejemplo. En general, un monomorismo N N no siempre induce un monomorismo N R M N R M. Por ejemplo, consideremos nuestra sucesión exacta preerida 0 Z n Z Z/nZ 0 Si aplicamos Z Z/nZ, entonces la multiplicación por n induce el morismo trivial 0: Z/nZ Z/nZ. Entonces R M en general no es exacto por la izquierda. Los R-módulos M tales que R M es exacto se llaman módulos planos Ejemplo. Un ejemplo importante del álgebra conmutativa: cada localización S 1 R respecto a un subconjunto S R es un R-módulo plano. En particular, para R = Z el Z-módulo Q es plano. Gracias al isomorismo natural M R N N R M, el untor M R : R-Mód R-Mód es también exacto por la derecha porque es también adjunto por la izquierda a Hom R (M, ). La adjunción entre Hom R (, N) y sí mismo Hom R-Mód (Hom R (L, N), M) Hom R-Mód (L, Hom R (M, N)) nos dice que Hom R (, N) : R-Mód R-Mód es exacto por la derecha y Hom R (, N) : R-Mód R-Mód es exacto por la izquierda. Es un poco conuso, pero ser exacto por la izquierda sobre la categoría opuesta R-Mód es la misma cosa que ser exacto por la derecha sobre R-Mód. 10