Ejemplo 165. Dada una categoría C y dos objetos A y B, se puede formar la categoría C/AB cuyos objetos son diagramas de la forma
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- Montserrat Villalobos Navarro
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1 42 (Octv clse : teorís de lecs. untores Representles y otros teorís de dirms. continución, un ejemplo de construcción de un cteorí prtir de otr. Dd un cteorí, se construye otr en l que los ojetos son dirms de. Ejemplo 165. Dd un cteorí y dos ojetos y, se puede ormr l cteorí / cuyos ojetos son dirms de l orm Un lec / entre dos ojetos (dirms) es un lec de l cteorí oriinl tl que el dirm de l cteorí oriinl conmut. ormlmente, podrímos deinir / como siue: (/) 0 = {(, ), 1 dom() = dom() cod() = cod() = }, /((, ), (, )) = { (dom(), dom( )) = = }, l composición de / es l de, l identidd de / es l de. Ejercicio 166. ompror que pr tod cteorí y todo pr de ojetos y de, / es un cteorí.
2 43 Un ojeto terminl de l cteorí / es un ojeto (dirm de ) tl que pr todo otro ojeto (dirm de ) existe un únic lec de este último ojeto en el nterior. En términos de l cteorí, un únic lec que conmutr el dirm Es decir, el dirm es un ojeto terminl de / sii dico dirm es el producto (en ) de y. Ejemplo 167. Se puede deinir un untor / dom por dom 0 ((, )) = dom() (que es iul dom()), y dom 1 () = Ejercicio 168. Demostrr que dom es un untor. teorís de lecs. continución lunos ejemplos de cteorís donde los ojetos son lecs de un cteorí dd. Deinición 169. Dd un cteorí y un ojeto 0, se deine l cteorí slice de sore, / cuyos ojetos son lecs que tienen como codominio l ojeto. Más precismente, (/) 0 = { 1 cod() = }.
3 44 Sen y ojetos de est cteorí (es decir, X y X están en ). Entonces, es un lec de en l cteorí / si X X y =, es decir, si el siuiente dirm conmut X X Es decir, los ojetos de / son lecs de de l pint X y ls lecs de /: X X son tmién lecs X X de tles que el dirm X X de conmut. Ejercicio 170. ompror que / es un cteorí, deiniendo composición e identidd decudmente. Ejercicio 171. Se un cteorí con ojeto terminl. Qué puede decir de /1? Ejercicio 172. uál es el ojeto teminl de l cteorí /? Ejercicio 173. Demostrr que los productos de l cteorí / son pullcks de l cteorí. Ejemplo 174. Se P un poset visto como cteorí y se p P. Entonces, P/p = (p), donde (p) es el idel principl (p) = {q P q p}.
4 Ejercicio 175. Deinir nálomente l cteorí coslice de jo, / donde los ojetos or son lecs X, y un lec de en dee stiscer =. Ejercicio 176. Otr lterntiv es deinir l cteorí coslice / utilizndo l cteorí slice / y el operdor de cteorí opuest. Ejercicio 177. Demostrr que 1/Set = Set. Ejemplo 178. Se puede deinir un untor / dom por dom 0 () = dom(), y dom 1 () = Ejemplo 179. Se puede deinir un untor / cod por cod 0 () = cod(), y cod 1 () = Ejercicio 180. ompror que dom y cod son untores. Deinición 181. Dd un cteorí se deine l cteorí lec cuyos ojetos son lecs de. Más precismente, ( ) 0 = 1. (, ) = {(, ) dom() dom( ) cod() cod( ) = }. Es decir, (, ) sii el dirm 45 de conmut. Ejercicio 182. ompror que es un cteorí. Ejercicio 183. Deinir los untores dom cod. Ejercicio 184. Es esto un dirm producto? untores. En su momento deinimos untores y vimos lunos ejemplos, principlmente el untor de olvido y los únicos untores que convierten l cteorí 0 y 1 en ojetos inicil y terminl de l cteorí t. Tmién se mencionó que el producto crtesino de cteorís stisce l deinición de producto deinid cteóricmente, dndo lur los untores π 1 y π 2 de l cteorí D en y D respectivmente, y por supuesto el untor X <, G> D socido los untores X y X G D. Pr luns cteorís de lecs (o dirms), cmos de dr lunos ejemplos de untores que llmmos dom y cod. continución veremos otros ejemplos de untores.
5 46 Ejemplo 185. Dd un cteorí loclmente pequeñ, y un ojeto, se deine el untor representle (covrinte) Hom(, _) Set de l siuiente mner: ddo un ojeto, Hom(, ) = { } dd un lec, Hom(, ) =. sí, Hom(, ) es un uncíon que tom un lec Hom(, ) y devuelve Hom(, ). omo Hom(, ) es un unción del conjunto Hom(, ) en el conjunto Hom(, ), veces result conveniente escriir Hom(, )() = en vez de su equivlente Hom(, ) =. Se puede compror que Hom(, _) es un untor: Sen y, Hom(, )() = = Hom(, )() = Hom(, )(Hom(, )()) = (Hom(, ) Hom(, ))(), donde l últim composición es l composición de unciones. Esto demuestr que se stisce l propiedd Hom(, ) = Hom(, ) Hom(, ). Hom(, 1 ) = 1 = = 1 Hom(, ). Ejemplo 186. Dd un cteorí con productos, se deine un untor de l siuiente mner: ddo un ojeto (, ), ((, )) = dd un lec (, ) (,) (, ) (o se, y ), ((, )) ((,)) ((, )). Éste es exctmente el dirm que ímos denotdo. Oservr que se sume cá que se eleido un dirm π 1 π 2 pr cd pr de ojetos y y en se dic elección se deine el untor. Ejercicio 187. ompror que si tiene productos, es un untor. Ejercicio (posrdo) 188. Se un cteorí, y el siuiente un dirm en, E D Entonces, si E E D
6 47 son pullcks, entonces D tmién lo es. Recíprocmente, si D E D son pullcks, entonces E tmién lo es. Ejercicio (posrdo) 189. Se un cteorí con el siuiente triánulo conmuttivo γ β
7 48 Entonces, si β β β son pullcks, entonces, y un únic lec γ tl que el dirm γ γ β β β conmut. Prop 190. Pullck es un untor. Se en un cteorí con pullcks, entonces y un untor / / que llev el ojeto (de /) en el ojeto (de / ) donde es l prlel en el pullck entre y. El eecto de sore un lec (de /) γ β está dd por el ejercicio 189. En l proposición, l lec está ij. Ddo el ojeto, pr otener () se us que tiene pullcks, en prticulr el de y : de donde () = es el eecto de en ojetos de /. Dd un lec γ β de /, podemos ormr el pullck de y el de β oteniendo un dirm como el del ejercicio 189, l existenci y unicidd de γ nos permite tomr (γ) = γ como el eecto de en ls lecs. Ejercicio (posrdo) 191. ompror que es un untor.
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